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3.1用树状图或表格求概率
【知识点1】列表法与树状图法 1
【题型1】三步实验概率 1
【题型2】两步实验概率 2
【知识点1】列表法与树状图法
（1）当试验中存在两个元素且出现的所有可能的结果较多时，我们常用列表的方式，列出所有可能的结果，再求出概率．
（2）列表的目的在于不重不漏地列举出所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，求出概率．
（3）列举法（树形图法）求概率的关键在于列举出所有可能的结果，列表法是一种，但当一个事件涉及三个或更多元素时，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树形图．
（4）树形图列举法一般是选择一个元素再和其他元素分别组合，依次列出，象树的枝丫形式，最末端的枝丫个数就是总的可能的结果n．
（5）当有两个元素时，可用树形图列举，也可以列表列举．
【题型1】三步实验概率
【典型例题】甲口袋中装有2个相同的小球，它们上面分别写有“北京”和“青海”；乙口袋中装有3个相同的小球，它们上面分别写有“重庆”“湖北”和“辽宁”；丙口袋中装有2个相同的小球，它们上面分别写有“香港”和“上海”．从三个口袋中各随机取出1个小球，则3个小球上所标省级行政区中恰好都是长江流经的省级行政区的概率是(参考资料：长江流经青海、四川、云南、湖北、安徽、上海等省级行政区)(　　)
A. B. C. D.
【举一反三1】甲口袋中装有2张卡片，它们分别写有汉字“数”“学”；乙、丙口袋中各装有3张卡片，它们分别写有汉字“数”“学”“美”．从这三个口袋中各随机取出1张卡片，取出的3张卡片恰好有“数”“学”“美”三个字的概率是(　　)
A. B. C. D.
【举一反三2】假定鸡蛋孵化后，小鸡为母鸡与公鸡的概率相同．如果3枚鸡蛋全部成功孵化，那么3只小鸡中恰有1只母鸡的概率是 　 　．
【举一反三3】有1，2，﹣2三个数，小明分别对这三个数求了绝对值；小亮分别对这三个数求了倒数；小颖分别对这三个数求了﹣2次幂．将小明、小亮、小颖三人求得的数各任意选一个相乘，则乘积恰好为整数的概率为 　 　．
【举一反三4】2023年10月29日西安市迎来了一场激动人心的体育盛会——2023西安马拉松，当日，来自全国各地的参赛选手齐聚永宁门，通过参加比赛感受秀美西安的城市魅力和人文风情，彰显挑战自我、超越极限、永不放弃的体育精神，比赛设置“全程马拉松”“半程马拉松”两种不同项目，甲、乙、丙三人分别参加了其中一个项目．
(1)甲恰好参加“半程马拉松”的概率是 　 ；
(2)请画树状图求“甲、乙、丙三人恰好参加同一个项目”的概率．
【举一反三5】二十四节气是中华民族悠久历史文化的重要组成部分，被国际气象学界誉为“中国的第五大发明”．王老师为了让同学们深入了解二十四节气，将每个节气的名称写在完全相同且不透明的小卡片上，洗匀后将卡片倒扣在桌面上，邀请同学上讲台随机抽取一张卡片，并向大家介绍卡片上对应节气的含义．
(1)2024年2月4日是“立春”，若随机抽取一张卡片，则抽到“立春”的概率为 　　；
(2)老师选出写有“谷雨”“芒种”的两张卡片洗匀后倒扣在桌面上，请小张同学从中抽取一张卡片记下节气名称，然后放回洗匀重复此动作共三次．请利用画树状图或列表的方法，求小张同学三次抽到的卡片上写有相同节气名称的概率．
【题型2】两步实验概率
【典型例题】有两辆车按1，2编号，方方和成成两人可以任意选坐一辆车．则两人同坐1号车的概率为(　　)
A. B. C. D.
【举一反三1】在如图所示的电路中，随机闭合开关S1，S2，S3中的两个，能让灯泡L1发光的概率是(　　)
A. B. C. D.
【举一反三2】我国的三位航天员在中国空间站值守，将于24年4月返回地球．空间站的主体结构包括核心舱、问天实验舱和梦天实验舱．假设甲、乙、丙三名航天员从核心舱进入实验舱的机会均等，现在要从这三名航天员中选2人进入梦天实验舱开展科学实验，则甲、乙两人同时被选中的概率为 　 　．
【举一反三3】小秦观察学校外的某个十字路口，每辆汽车来到十字路口后，都有三种选择，分别为左转、右转或直行，如果每种选择可能性的大小一致．
(1)请直接写出经过十字路口的一辆汽车向右转的概率为 　 　；
(2)若两辆汽车同时经过这个十字路口，请用画树状图或列表的方法，求两辆车行驶方向一致的概率．
【举一反三4】“书香润石室，阅读向未来”，为了让同学们获得更好的阅读体验，学校图书馆在每年年末，都将购进一批图书供学生阅读．为了合理配备各类图书，从全体学生中随机抽取了部分学生进行了问卷调查．问卷设置了五种选项：A“艺术类”，B“文学类”，C“科普类”，D“体育类”，E“其他类”，每名学生必须且只能选择其中最喜爱的一类图书，将调查结果整理绘制成如下两幅不完整的统计图．
根据以上信息，解答下列问题：
(1)此次被调查的学生人数为 　 　；
(2)请直接补全条形统计图；
(3)在扇形统计图中，A“艺术类”所对应的圆心角度数是 　 　度；
(4)李老师准备从甲、乙、丙、丁四位学生代表中随机选择两位进行面对面的访问调查．请用列表或画树状图的方法，求李老师选中乙、丙这两位同学的概率3.1用树状图或表格求概率
【知识点1】列表法与树状图法 1
【题型1】三步实验概率 1
【题型2】两步实验概率 5
【知识点1】列表法与树状图法
（1）当试验中存在两个元素且出现的所有可能的结果较多时，我们常用列表的方式，列出所有可能的结果，再求出概率．
（2）列表的目的在于不重不漏地列举出所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，求出概率．
（3）列举法（树形图法）求概率的关键在于列举出所有可能的结果，列表法是一种，但当一个事件涉及三个或更多元素时，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树形图．
（4）树形图列举法一般是选择一个元素再和其他元素分别组合，依次列出，象树的枝丫形式，最末端的枝丫个数就是总的可能的结果n．
（5）当有两个元素时，可用树形图列举，也可以列表列举．
【题型1】三步实验概率
【典型例题】甲口袋中装有2个相同的小球，它们上面分别写有“北京”和“青海”；乙口袋中装有3个相同的小球，它们上面分别写有“重庆”“湖北”和“辽宁”；丙口袋中装有2个相同的小球，它们上面分别写有“香港”和“上海”．从三个口袋中各随机取出1个小球，则3个小球上所标省级行政区中恰好都是长江流经的省级行政区的概率是(参考资料：长江流经青海、四川、云南、湖北、安徽、上海等省级行政区)(　　)
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由树状图表示所有等可能出现的结果如图，
共有12种等可能出现的结果，其中三个小球上所标省级行政区中恰好都是长江流经的省级行政区的有1种，
所以三个小球上所标省级行政区中恰好都是长江流经的省级行政区的概率为．
【举一反三1】甲口袋中装有2张卡片，它们分别写有汉字“数”“学”；乙、丙口袋中各装有3张卡片，它们分别写有汉字“数”“学”“美”．从这三个口袋中各随机取出1张卡片，取出的3张卡片恰好有“数”“学”“美”三个字的概率是(　　)
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】画树状图如图，
共有18种等可能的结果，其中取出的3张卡片恰好有“数”“学”“美”三个字的结果有(数，学，美)，(数，美，学)，(学，数，美)，(学，美，数)，共4种，
∴取出的3张卡片恰好有“数”“学”“美”三个字的概率为＝．
【举一反三2】假定鸡蛋孵化后，小鸡为母鸡与公鸡的概率相同．如果3枚鸡蛋全部成功孵化，那么3只小鸡中恰有1只母鸡的概率是 　 　．
【答案】
【解析】画出树状如图，
共有有8种等可能的情况，其中3只小鸡中恰有1只母鸡的情况有3种，
∴3只小鸡中恰有1只母鸡的概率是.
【举一反三3】有1，2，﹣2三个数，小明分别对这三个数求了绝对值；小亮分别对这三个数求了倒数；小颖分别对这三个数求了﹣2次幂．将小明、小亮、小颖三人求得的数各任意选一个相乘，则乘积恰好为整数的概率为 　 　．
【答案】
【解析】|1|＝1，|2|＝2，|﹣2|＝2，
1，2，﹣2的倒数分别为1，，﹣，
1﹣2＝1，2﹣2＝，(﹣2)﹣2＝，
画树状图如图，
共有27种等可能的结果，其中乘积恰好为整数的结果数为7，
所以乘积恰好为整数的概率＝．
【举一反三4】2023年10月29日西安市迎来了一场激动人心的体育盛会——2023西安马拉松，当日，来自全国各地的参赛选手齐聚永宁门，通过参加比赛感受秀美西安的城市魅力和人文风情，彰显挑战自我、超越极限、永不放弃的体育精神，比赛设置“全程马拉松”“半程马拉松”两种不同项目，甲、乙、丙三人分别参加了其中一个项目．
(1)甲恰好参加“半程马拉松”的概率是 　 ；
(2)请画树状图求“甲、乙、丙三人恰好参加同一个项目”的概率．
【答案】解：(1)由题意得，甲恰好参加“半程马拉松”的概率是．
(2)将“全程马拉松”“半程马拉松”分别记为A，B，
画树状图如图，
共有8种等可能的结果，其中甲、乙、丙三人恰好参加同一个项目的结果有2种，
∴“甲、乙、丙三人恰好参加同一个项目”的概率为＝．
【举一反三5】二十四节气是中华民族悠久历史文化的重要组成部分，被国际气象学界誉为“中国的第五大发明”．王老师为了让同学们深入了解二十四节气，将每个节气的名称写在完全相同且不透明的小卡片上，洗匀后将卡片倒扣在桌面上，邀请同学上讲台随机抽取一张卡片，并向大家介绍卡片上对应节气的含义．
(1)2024年2月4日是“立春”，若随机抽取一张卡片，则抽到“立春”的概率为 　　；
(2)老师选出写有“谷雨”“芒种”的两张卡片洗匀后倒扣在桌面上，请小张同学从中抽取一张卡片记下节气名称，然后放回洗匀重复此动作共三次．请利用画树状图或列表的方法，求小张同学三次抽到的卡片上写有相同节气名称的概率．
【答案】解：(1)由题意得，随机抽取一张卡片，抽到“立春”的概率为．
(2)列树状图如图，
共有8种等可能的结果，其中三次抽到的卡片上写有相同节气名称的结果有2种，
∴两次抽到的卡片上写有相同节气名称的概率为＝．
【题型2】两步实验概率
【典型例题】有两辆车按1，2编号，方方和成成两人可以任意选坐一辆车．则两人同坐1号车的概率为(　　)
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】列表.
所有等可能的情况有4种，其中两人同坐1号车的情况有1种，
所以两人同坐1号车的概率为.
【举一反三1】在如图所示的电路中，随机闭合开关S1，S2，S3中的两个，能让灯泡L1发光的概率是(　　)
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】画树状图如图.
∵共有6种等可能的结果，能让灯泡L1发光的有2种情况，
∴能让灯泡L1发光的概率为＝.
【举一反三2】我国的三位航天员在中国空间站值守，将于24年4月返回地球．空间站的主体结构包括核心舱、问天实验舱和梦天实验舱．假设甲、乙、丙三名航天员从核心舱进入实验舱的机会均等，现在要从这三名航天员中选2人进入梦天实验舱开展科学实验，则甲、乙两人同时被选中的概率为 　 　．
【答案】
【解析】画树状图如图.
∴一共有6种等可能的情况，其中甲、乙两人同时被选中的情况有2种，
∴甲、乙两人同时被选中的概率为．
【举一反三3】小秦观察学校外的某个十字路口，每辆汽车来到十字路口后，都有三种选择，分别为左转、右转或直行，如果每种选择可能性的大小一致．
(1)请直接写出经过十字路口的一辆汽车向右转的概率为 　 　；
(2)若两辆汽车同时经过这个十字路口，请用画树状图或列表的方法，求两辆车行驶方向一致的概率．
【答案】解：(1)由题意得，经过十字路口的一辆汽车向右转的概率为．
(2)列表如下：
共有9种等可能的结果，其中两辆车行驶方向一致的结果有3种，
∴两辆车行驶方向一致的概率为＝．
【举一反三4】“书香润石室，阅读向未来”，为了让同学们获得更好的阅读体验，学校图书馆在每年年末，都将购进一批图书供学生阅读．为了合理配备各类图书，从全体学生中随机抽取了部分学生进行了问卷调查．问卷设置了五种选项：A“艺术类”，B“文学类”，C“科普类”，D“体育类”，E“其他类”，每名学生必须且只能选择其中最喜爱的一类图书，将调查结果整理绘制成如下两幅不完整的统计图．
根据以上信息，解答下列问题：
(1)此次被调查的学生人数为 　 　；
(2)请直接补全条形统计图；
(3)在扇形统计图中，A“艺术类”所对应的圆心角度数是 　 　度；
(4)李老师准备从甲、乙、丙、丁四位学生代表中随机选择两位进行面对面的访问调查．请用列表或画树状图的方法，求李老师选中乙、丙这两位同学的概率．
【答案】解：(1)此次被调查的学生人数为20÷20%＝100.
(2)D类的人数为100﹣10﹣20﹣40﹣5＝25，
补全条形统计图如图.
(3)在扇形统计图中，A“艺术类”所对应的圆心角度数是.
(4)解：画树状图得
∵共有12种等可能的结果，恰好同时选中乙、丙两位同学的有2种情况，
∴恰好同时选中乙、丙两位同学的概率为．

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