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北师大版九年级下 第2章 二次函数 单元测试
一．选择题（共12小题）
1．抛物线y=x2-1的顶点坐标是（　　）
A．（1，0） B．（-1，0） C．（0，1） D．（0，-1）
2．在二次函数y=ax2+bx+c中，如果a＞0，b＜0，c＞0，那么它的图象一定不经过（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．抛物线y=-x2+x+2与y轴的交点坐标是（　　）
A．（1，2） B．（0，-1） C．（0，1） D．（0，2）
4．已知点A（-3，y1），B（-1，y2），C（3，y3）在函数y=-x2-2x+b的图象上，则y1、y2、y3的大小关系为（　　）
A．y3＜y1＜y2 B．y2＜y1＜y3 C．y3＜y2＜y1 D．y1＜y3＜y2
5．已知二次函数y=（2-a）x2的图象开口向下，则a的取值范围是（　　）
A．a=2 B．a≠2 C．a＜2 D．a＞2
6．在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+k（a≠0，k＞0）的图象可能是如图中的（　　）
A． B． C． D．
7．家用燃气灶烧开一壶水所需的燃气量y（单位：m3）与旋钮的旋转角度x（单位：度）（0＜x≤90）之间近似满足函数关系y=ax2+bx+c（a≠0）．如图记录了家用燃气灶烧开一壶水的旋钮角度x与燃气量y的三组数据．根据函数关系和数据，可推断出下列是此燃气灶烧开一壶水最节省燃气的旋钮角度的为（　　）
A．32度 B．41度 C．58度 D．75度
8．关于抛物线y=-（x+3）2+1，下列说法中错误的是（　　）
A．开口向下 B．对称轴是直线x=-3
C．顶点坐标（-3，1） D．与y轴交点坐标（0，1）
9．二次函数y=2（x-1）2-2的图象是由二次函数y=2x2的图象平移得到的，下列平移方法正确的是（　　）
A．先向左平移1个单位，再向上平移2个单位
B．先向左平移1个单位，再向下平移2个单位
C．先向右平移1个单位，再向上平移2个单位
D．先向右平移1个单位，再向下平移2个单位
10．在平面直角坐标系中，若点P的横坐标和纵坐标相等，则称点P为完美点．已知二次函数y=ax2+6x-（a≠0）的图象上有且只有一个完美点，且当0≤x≤m时，二次函数y=ax2+6x-5（a≠0）的最小值为-5，最大值为4，则m的取值范围是（　　）
A．1≤m≤3 B．3≤m≤5 C．3≤m≤6 D．m≥3
11．定义平面内任意两点P（x1，y1），Q（x2，y2）之间的距离dPQ=|x2-x1|+|y2-y1|，称为这两点间的曼哈顿距离（简称为曼距）．例如，在平面直角坐标系中，点P（-3，-2）与点Q（2，2）之间的曼距dPQ=|-3-2|+|-2-2|=5+4=9，若点A在直线上，点B为抛物线y=x2+2x上一点，则曼距dAB的最小值（　　）
A． B． C． D．
12．如图，抛物线y=a1x2与抛物线y=a2x2+bx的交点P在第三象限，过点P作x轴的平行线，与两条抛物线分别交于点M、N，若，则的值是（　　）
A．3 B．2 C． D．
二．填空题（共5小题）
13．写出一个开口向上，对称轴为x=1的抛物线的表达式 ______．
14．已知抛物线y=x2-4x+c与x轴没有交点，则实数c的取值范围是 ______．
15．如图，二次函数y1=ax2+bx+c和一次函数y2=mx+n交点的横坐标分别为-2和1，观察图象，当y1＞y2时，x的取值范围是 ______．
16．如图，在期末体育测试中，小朱掷出的实心球的飞行高度y（米）与水平距离x（米）之间的关系大致满足二次函数，则小朱本次投掷实心球的成绩为 ______
17．如图，在平面直角坐标系中，线段AB的两个端点的坐标分别为（-1，2）、（1，1）．抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于C、D两点，点C在点D左侧，当顶点在线段AB上移动时，点C横坐标的最小值为-2．在抛物线移动过程中，a-b+c的最小值是 ______．
三．解答题（共5小题）
18．如图，某人以一定的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时，小球的飞行路线将是一条抛物线．如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有函数关系：h=20t-5t2．回答下列问题：
（1）小球最高离地面多少米？
（2）小球从飞出到落地需要多少时间？
19．在平面直角坐标系xOy中，二次函数y=ax2-4x+c的图象经过点（-1，8），（3，0）．
（1）求该二次函数的表达式；
（2）求该二次函数的图象的顶点坐标；
（3）当x＞3时，对于x的每一个值，函数y=x+n的值小于二次函数y=ax2-4x+c的值，直接写出n的取值范围．
20．已知：抛物线y=-x2+bx+c（b,c为常数），经过点A（-2，0），C（0，4），点B为抛物线与x轴的另一个交点．
（Ⅰ）求抛物线的解析式；
（Ⅱ）点P为直线BC上方抛物线上的一个动点，当△PBC的面积最大时，求点P的坐标；
（Ⅲ）设点M，N是该抛物线对称轴上的两个动点，且MN=2，点M在点N下方，求四边形AMNC周长的最小值．
21．如图，抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），点A的坐标为（-1，0），与y轴交于点C（0，3），作直线BC．动点P在x轴上运动，过点P作PM⊥x轴，交抛物线于点M，交直线BC于点N，设点P的横坐标为m.
（1）求抛物线的解析式和直线BC的解析式；
（2）当点P在线段OB上运动时，求线段MN的最大值；
（3）当点P在线段OB上运动时，若△CMN是以MN为腰的等腰直角三角形时，求m的值；
（4）当以C、O、M、N为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出m的值．
22．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx-4与x轴交于点A（-2，0），B（4，0），与y轴交于点C，点D为BC的中点．
（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）点G是该抛物线对称轴上的动点，若GA+GC有最小值，求此时点G的坐标；
（3）若点P是第四象限内该抛物线上一动点，求△BDP面积的最大值．
北师大版九年级下 第2章 二次函数 单元测试
(参考答案)
一．选择题（共12小题）
1、D 2、C 3、D 4、A 5、D 6、A 7、B 8、D 9、D 10、C 11、C 12、B
二．填空题（共5小题）
13、y=x2-2x（答案不唯一）； 14、c＞4； 15、x＜-2或x＞1； 16、8米； 17、-7；
三．解答题（共5小题）
18、解：（1）由配方法得y=20t-5t2=-5（t-2）2+20，
∵a=-5＜0，
∴小球飞行的最大高度是20m,此时需要飞行2s；
（2）令h=20t-5t2=0，
解得t1=0（舍去），t2=4，
∴小球从飞出到落地要用4s.
19、解：（1）把（-1，8），（3，0）分别代入y=ax2-4x+c得，
解得，
∴该二次函数的表达式为y=x2-4x+3；
（2）∵y=x2-4x+3=（x-2）2-1，
∴抛物线的顶点坐标为（2，-1）；
（3）当x=3时，y=x2-4x+3=0，
把（3，0）代入y=x+n得3+n=0，解得n=-3，
即x=3时，函数y=x+n的值等于二次函数y=ax2-4x+c的值，
∴n≤-3，当x＞3时，对于x的每一个值，函数y=x+n的值小于二次函数y=ax2-4x+c的值，
即n的取值范围为n≤-3．
20、解：（Ⅰ）把A（-2，0），C（0，4）分别代入y=-x2+bx+c得，
解得，
∴抛物线解析式为y=-x2+x+4；
（Ⅱ）当y=0时，-x2+x+4=0，解得x1=-2，x2=6，
∴B（6，0），
设直线BC的解析式为y=mx+n,
把B（6，0），C（0，4）分别代入得，
解得，
∴直线BC的解析式为y=-x+4，
过P点作PQ∥y轴交BC于Q，如图，
设P（t,-t2+t+4），则Q（t,-t+4），
∴PQ=（-t2+t+4）-（-t+4）=-t2+2t,
∴S△PBC=×6×PQ=-t2+6t=-（t-3）2+9，
当t=3时，S△PBC的值最大，此时P点坐标为（3，5）；
（Ⅲ）取OC的中点D，连接BD交直线x=2于点M，如图，则D（0，2），
∵MN∥CD，MN=CD=2，
∴四边形CDMN为平行四边形，
∴DM=CN，
∵MA=MB，
∴CN+AM=DM+BM=BD，
∴此时四边形AMNC周长最小，
∵BD==2，AC==2，
∴四边形AMNC周长的最小值为2+2+2．
21、解：
（1）∵抛物线过A、C两点，
∴代入抛物线解析式可得，解得，
∴抛物线解析式为y=-x2+2x+3，
令y=0可得，-x2+2x+3=0，解x1=-1，x2=3，
∵B点在A点右侧，
∴B点坐标为（3，0），
设直线BC解析式为y=kx+s,
把B、C坐标代入可得，解得，
∴直线BC解析式为y=-x+3；
（2）∵PM⊥x轴，点P的横坐标为m,
∴M（m,-m2+2m+3），N（m,-m+3），
∵P在线段OB上运动，
∴M点在N点上方，
∴MN=-m2+2m+3-（-m+3）=-m2+3m=-（m-）2+，
∴当m=时，MN有最大值，MN的最大值为；
（3）∵PM⊥x轴，
∴当△CMN是以MN为腰的等腰直角三角形时，则有CM⊥MN，
∴M点纵坐标为3，
∴-m2+2m+3=3，解得m=0或m=2，
当m=0时，则M、C重合，不能构成三角形，不符合题意，舍去，
∴m=2；
（4）∵PM⊥x轴，
∴MN∥OC，
当以C、O、M、N为顶点的四边形是平行四边形时，则有OC=MN，
当点P在线段OB上时，则有MN=-m2+3m,
∴-m2+3m=3，此方程无实数根，
当点P不在线段OB上时，则有MN=-m+3-（-m2+2m+3）=m2-3m,
∴m2-3m=3，解得m=或m=，
综上可知当以C、O、M、N为顶点的四边形是平行四边形时，m的值为或．
22、解：（1）∵抛物线y=ax2+bx-4与x轴交于点A（-2，0），B（4，0），
∴，
解得：，
∴该抛物线的函数表达式为；
（2）解：点G是该抛物线对称轴上的动点，
∴GA=GB，
∴GA+GC=GB+GC，
∴当点G在直线BC与抛物线对称轴的交点上时，GA+GC最小，
令x=0得，y=-4，
∴点C的坐标为（0，-4），
设直线BC的解析式为y=kx-4（k≠0），
把B（4，0）代入得，0=4k-4，
解得：k=1，
∴直线BC的解析式为y=x-4，
抛物线的对称轴为直线x==1，
联立得：，
解得：，
∴此时点G的坐标为（1，-3）；
（3）如图，过点P作PQ⊥x轴交BC于点Q，
∵B（4，0），（0，-4），点D为BC的中点，
∴D（2，-2），
设P（0＜m＜4），则Q（m,m-4），
∴PQ=m-4-=，
∴
=
=
=，
∵，0＜m＜4，
∴当m=2时，S△BDP有最大值为2．

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