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2024版北师大八上数学第一章单元检测
姓名：__________班级：__________考号：__________总分__________
1 、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）
在直角三角形中，若一条直角边长是，另一条直角边长是，则斜边长的平方是（ ）
A． B． C． D．
下列哪组数能作为直角三角形的三边长？（ ）
A． 7，12，15 B． 9，12，15 C． 12，18，22 D． 12，35，36
如图，一棵大树在离地面，两处折成三段，中间一段恰好与地面平行，大树顶部落在离大树底部处，则大树折断前的高度是（ ）
A． B． C． D．
（2025 遂宁）如图，圆柱的底面直径为AB，高为AC，一只蚂蚁在点C处，沿圆柱的侧面爬到点B处，现将圆柱侧面沿AC剪开，在侧面展开图上画出蚂蚁爬行的最短路线，正确的是（　　）
A． B． C． D．
如图是正方体表面展开图．将其折叠成正方体后，距顶点A最远的点是（　　）
A．B点 B．C点 C．D点 D．E点
如图，图1是北京国际数学家大会的会标，它取材于我国古代数学家赵爽的“弦图”，是由四个全等的直角三角形拼成．若图1中大正方形的面积为24，小正方形的面积为4，现将这四个直角三角形拼成图2，则图2中大正方形的面积为（　　）
A．24 B．36 C．40 D．44
（24-25八年级下·内蒙古呼和浩特·期中）如图是一个长为，宽为，高为的仓库，在其内壁的点A（长的四等分点）处有一只壁虎．在点B（宽的三等分点）处有一只蚊子．则壁虎爬到蚊子处的最短距离应为（ ）
A． B． C． D．
（2025 台湾）如图是某种螺丝钉上螺纹的示意图，图中的虚线皆为水平线或铅垂线，图上标示出角度，也标示出水平线间或铅垂线间的距离．根据图中的标示，判断此种螺丝钉的螺纹深度是螺纹间距的多少倍？（　　）
A． B． C． D．
如图，中，，将折叠，使点A与的中点D重合，折痕为，那么的长为（　　）
A． 3 B． C． 4 D．
如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC，，点P为AC边上的中点，PM交AB的延长线于点M，PN交BC的延长线于点N，且PM⊥PN．若BM＝1，则△PMN的面积为（　　）
A．13 B． C．8 D．
1 、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
（2025 扬州）清代扬州数学家罗士琳痴迷于勾股定理的研究，提出了推算勾股数的“罗士琳法则”．法则的提出，不仅简化了勾股数的生成过程，也体现了中国传统数学在数论领域的贡献．由此法则写出了下列几组勾股数：①3，4，5；②5，12，13；③7，24，25；④9，40，41； 根据上述规律，写出第⑤组勾股数为　 　 ．
（2025 连云港）如图，长为3m的梯子靠在墙上，梯子的底端离墙脚线的距离为1.8m，则梯子顶端的高度h为 　 　 m．
已知是的三边长，若，则的形状是________．
（2025 南通）南通是“建筑之乡”，工程建筑中经常采用三角形的结构．如图是屋架设计图的一部分，E是斜梁AC的中点，立柱AD，EF垂直于横梁BC．若AC＝4.8m，∠C＝30°，则EF的长为　 　 m．
（2025 广安）如图，在等腰Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝4，D是BC边上的一个动点，连接AD，则AD的最小值为 　 　 ．
（2025 广安）如图，在△ABC中，按以下步骤作图：（1）以点A为圆心，AC的长为半径画弧，交BC于点D，（2）分别以点C和点D为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点F，（3）画射线AF交BC于点E．若∠C＝2∠B，BC＝23，BD＝13，则AE的长为 　 　 ．
对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，若，则 ___________．
（2025 宁夏）如图，在单位长度均为1cm的平面直角坐标系中，放置一个圆柱形笔筒的展开图．其中，侧面展开图OABC的边OA，OC在坐标轴上，点B坐标为（24，﹣10）．将一根长度为14.6cm的铅笔放入笔筒内，露出笔筒部分的最小长度是 　 　 cm．（结果保留整数，π取3，壁厚忽略不计）
1 、解答题（本大题共7小题，共66分）
如图，在中，，若，．
（1）求长；
（2）求的周长和面积．
在一条东西走向河的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，其中，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通， 该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H（A．H、B在一条直线上），并新修一条路，测得千米，千米，千米．
（1）问是否为从村庄C到河边的最近路？请通过计算加以说明；
（2）求原来的路线的长．
在直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方，这个定理称为“勾股定理”．即在直角三角形中（如右图），．两条直角边分别为，，斜边为．则．利用勾股定理解答下列问题：
(1)在直角三角形中，，，，求的长．
(2)如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的的网格中，每个小格的顶点叫做格点．
①在图中，利用勾股定理求线段的长度．
②在图中，画一条格点线段，使．
某校“综合与实践”小组开展了测量本校旗杆高度的实践活动．他们制订了测量方案，并利用课余时间完成了实地测量，测量结果如下表：
课题 测量学校旗杆的高度
工具 绳子、皮尺等
测量示意图 说明：线段表示学校旗杆，垂直地面于点，如图1，第一次将系在旗杆顶端的绳子垂直到地面，还多出了一段，用皮尺测出的长度；如图2，第二次将绳子拉直，绳子末端落在地面的点处，用皮尺测出的距离．
测量数据 测量项目 数值
图1中的长度 1米
图2中的长度 5米
根据以上测量结果，请求出学校旗杆的高度．
如图，已知，两直角边，，点为上一点，现将沿折叠，使点落在斜边上的点处，
(1)求的长；
(2)求的长．
（2025 山东）在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠ACB＝30°，∠BAC的平分线AD交BC于点D，如图1．
（1）求∠ADC的度数，
（2）已知AB＝3，分别以C，D为圆心，以大于CD的长为半径作弧，两弧相交于点M，N，作直线MN交BC于点E，交AD的延长线于点F．如图2，求DF的长．
（2025 广东）《九章算术》是世界上较早给出勾股数公式的著作，掌握确定勾股数组的方法对研究直角三角形具有重要意义．若直角三角形的三边长a，b，c都是正整数，则a，b，c为一组“勾股数”．如表中的每一组数都是勾股数．
3，4，5 7，24，25 11，60，61 15，112，113 19，180，181
4，3，5 8，15，17 12，35，37 16，63，65 20，21，29
5，12，13 9，12，15 13，84，85 17，144，145 21，28，35
6，8，10 10，　 　 ，26 14，48，50 18，80，82 22，120，122
（1）请补全如表中的勾股数．
（2）根据如表中数据规律，用含字母（均为正整数）的代数式分别表示a，b，c，使该组代数式能表示上表中所有的勾股数，并证明．
（3）某校计划在一块绿地上种花，使之构成如图所示的图案，该图案是由四个全等的直角三角形组成．种花要求：仅在三角形边上种花，每个三角形顶点处都种一株花，各边上相邻两株花之间的距离均为1m．如果每个三角形最短边都种21株花，那么这块绿地最少需要种植多少株花？
答案解析
1 、选择题
【分析】本题考查了勾股定理，利用勾股定理直接计算即可求解，熟练掌握勾股定理的运用是解题的关键．
解：由勾股定理得，斜边长的平方，
故选：．
【分析】本题考查直角三角形的判定，熟记一些常见的勾股数，可以快速地选出答案．根据直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方，代入选项验证，满足条件的选项即是答案
解：A． ，不符合题意；
B、 符合题意；
C、 ，不符合题意；
D、，不符合题意．
故选B
【分析】本题考查了勾股定理的应用，作于点O，首先由题意得：，，然后根据，得到，最后利用勾股定理得的长度即可．
解：如图，作于点O，
由题意得：，，
∵，
∴，
∴由勾股定理得：，
∴大树的高度为，
故选：D．
【考点】平面展开﹣最短路径问题
【分析】利用圆柱的侧面展开图是矩形，而点B是展开图的一边的中点，再利用蚂蚁爬行的最近路线为线段可以得出结论．
解：将圆柱侧面沿AC“剪开”，侧面展开图为矩形，
∵圆柱的底面直径为AB，
∴点B是展开图的一边的中点，
∵蚂蚁爬行的最近路线为线段，
∴B选项符合题意，
故选：B．
【点评】本题主要考查了平面展开﹣最短路径问题，圆柱的侧面展开图，掌握两点之间线段最短是解题的关键．
【考点】几何体的展开图，勾股定理的应用
【分析】把图形围成立体图形求解．
解：把图形围成立方体如图所示：
设正方体的棱长为1，则AD＝1，AB＝AE＝，AC＝＝，
∵1＜，
∴与顶点A距离最远的顶点是C，
故选：B．
【点评】本题考查了展开图折叠成几何体，掌握空间想象力是解题的关键．
【考点】勾股定理的证明．
【分析】根据正方形和三角形的面积公式即可得到结论．
解：如图，直角三角形的两直角边为a，b，斜边为c，
∵图1中大正方形的面积是24，
∴a2+b2＝c2＝24，
∵小正方形的面积是4，
∴（a﹣b）2＝a2+b2﹣2ab＝4，
∴ab＝10，
∴图2中最大的正方形的面积为＝c2+4×ab＝24+2×10＝44，
故选：D．
【点评】本题考查了勾股定理的证明，正方形和三角形的面积公式，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
【分析】本题考查了勾股定理的应用．将点A和点B所在的面展开，则为矩形，连接，分类探讨壁虎爬到蚊子处的距离，找到最短距离即可．
解：如图，
①将正面和右面展开，过点B向底面作垂线，垂足为点C，则为直角三角形，
，，
，
故壁虎爬到蚊子处的最短距离为．
②将正面和上面展开，则A到B的水平距离为6，垂直距离为7，
此时的最短距离为，
，
故选：A．
【考点】等边三角形的性质，勾股定理
【分析】如图标记字母，求出BC，进而即可得解．
解：如图，标记字母，过A作AD⊥BC于点D，
∵AD＝H，
∴BD＝CDH，
∴螺纹间距为BCH，
∵螺纹深度＝HHHH，
∴，
∴螺纹深度是螺纹间距的倍，
故选：D．
【点评】本题主要考查了等边三角形的性质、解直角三角形等内容，熟练掌握相关知识是解题的
关键．
【分析】本题主要考查了翻折变换，勾股定理等知识，熟练掌握翻折的性质是解题的关键．
由折叠知，设，则，在中，利用勾股定理列方程解答即可．
解：由折叠知，，
∵D是的中点，，
∴，
设，
∵，
则，
在中，，
由勾股定理，得，
解得，
∴．
故选：B．
【考点】全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形，勾股定理
【分析】依据题意，连接BP，然后先证明△BMP≌△CNP，从而CN＝BP＝1，又由等腰Rt△ABC可得BC＝4，从而在Rt△MBN中可以求得MN，又MP＝NP，从而可得MN的值，进而可以得解．
解：如图连接BP．
在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，
∵AB＝BC，点P为AC边上的中点，
∴BP⊥AC，∠CBP＝∠ABP＝∠ABC＝45°，∠BCA＝45°，BP＝CP＝AC＝2．
∴∠MBP＝∠NCP＝180°﹣45°＝135°．
∵BP⊥AC，PM⊥PN，
∴∠BPM+∠MPC＝90°，∠CPN+∠MPC＝90°．
∴∠BPM＝∠CPN．
又BP＝CP，∠MBP＝∠NCP，
∴△BMP≌△CNP（ASA）．
∴BM＝CN＝1，MP＝NP．
在Rt△BPC中，BC＝＝4．
∴在Rt△MBN中，MN＝＝＝．
又在Rt△MPN中，MP＝NP，
∴MP2+NP2＝MN2．
∴MP＝NP＝．
∴S△PMN＝MP NP＝．
故选：D．
【点评】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质，解题时要熟练掌握并灵活运用是关键．
1 、填空题
【考点】勾股数
【分析】通过观察，得出规律：这类勾股数分别为2n+1，2n2+2n，2n2+2n+1，由此可写出第⑤组勾股数．
解：通过观察得：
第①组勾股数分别为：2×1+1＝3，2×12+2×1＝4，2×12+2×1+1＝5；
第②组勾股数分别为：2×2+1＝5，2×22+2×2＝12，2×22+2×2+1＝13；
第③组勾股数分别为：2×3+1＝7，2×32+2×3＝24，2×32+2×3+1＝25；
第④组勾股数为：2×4+1＝9，2×42+2×4＝40，2×42+2×4+1＝41；
所以第⑤组勾股数为：2×5+1＝11，2×52+2×5＝60，2×52+2×5+1＝61．
故答案为：11，60，61．
【点评】此题考查的知识点是勾股数，此题属规律性题目，关键是通过观察找出规律求解．
【考点】勾股定理的应用
【分析】根据长为3m的梯子靠在墙上，梯子的底端离墙脚线的距离为1.8m，进行列式计算，即可作答．
解：∵长为3m的梯子靠在墙上，梯子的底端离墙脚线的距离为1.8m，
∴，
故答案为：2.4．
【点评】本题考查了勾股定理，掌握勾股定理是解题的关键，注意正确计算．
【分析】本题可根据绝对值、平方数和算术平方根的非负性求出三角形三边的长度，再根据三边长度关系，利用勾股定理的逆定理判断三角形的形状．本题主要考查了绝对值、平方数和算术平方根的非负性以及勾股定理的逆定理．熟练掌握绝对值、平方数和算术平方根的非负性质（若干个非负数的和为，则每个非负数都为），以及勾股定理的逆定理（若三角形的三边、、满足，则这个三角形是直角三角形）是解题的关键．
解：∵，，，且，
∴
解得
∵，，
∴，
∴是直角三角形．
故答案为：直角三角形．
【考点】勾股定理的应用，含30度角的直角三角形
【分析】根据含30°角的直角三角形的性质即可得到结论．
解：∵E是斜梁AC的中点，AC＝4.8m，
∴CEAC＝2.4m，
∵EF⊥BC，
∴∠EFC＝90°，
∵∠C＝30°，
∴EFCE＝1.2（m），
故答案为：1.2．
【点评】本题考查了含30°角的直角三角形，熟练掌握含30°角的直角三角形的性质是解题的关键．
【考点】等腰直角三角形的判定，勾股定理
【分析】过A作AH⊥BC于H，判定△ABH是等腰直角三角形，求出AHAB＝2，由AD≥AH，即可得到AD的最小值．
解：过A作AH⊥BC于H，
∴∠AHB＝90°，
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴∠B＝45°，
∴△ABH是等腰直角三角形，
∴AHAB4＝2，
∵AD≥AH，
∴AD的最小值为2．
故答案为：2．
【点评】本题考查等腰直角三角形，关键是判定△ABH是等腰直角三角形．
【考点】作图—复杂作图，等腰三角形的性质，勾股定理
【分析】连接AD，由作图过程可知，AD＝AC，AE⊥BC，可得∠ADC＝∠C＝2∠B，∠AED＝90°，DE＝CE，进而可得∠BAD＝∠B，则AD＝BD＝13，CD＝BC﹣BD＝10，DE5，再由勾股定理得AE12．
解：连接AD，
由作图过程可知，AD＝AC，AE⊥BC，
∴∠ADC＝∠C＝2∠B，∠AED＝90°，DE＝CE．
∵∠ADC＝∠B+∠BAD，
∴∠BAD＝∠B，
∴AD＝BD＝13．
∵BC＝23，BD＝13，
∴CD＝BC﹣BD＝10，
∴DE5，
∴AE12．
故答案为：12．
【点评】本题考查作图—复杂作图、等腰三角形的性质、勾股定理，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
【分析】本题考查勾股定理的应用，从题中抽象出勾股定理这一数学模型是解题关键．
在和中，根据勾股定理得，进一步得，再根据，，然后根据等量代换即可解答．
解：∵，
∴，
在和中，根据勾股定理得：，，
∴，
∵，，
∴
．
故答案为：34．
【考点】勾股定理的应用，坐标与图形性质，几何体的展开图
【分析】由题意得出圆柱形笔筒的高为10cm，笔筒的底面圆周长为24cm，计算出笔筒的底面圆直径为8cm，再由勾股定理求出铅笔放入笔筒内最长为12.8cm，即可得出结果．
解：由题意得：圆柱形笔筒的高为10cm，笔筒的底面圆周长为24cm，
∴笔筒的底面圆直径为：8（cm），
铅笔放入笔筒内最长为：12.8（cm），
∴铅笔放入笔筒内，露出笔筒部分的最小长度是14.6﹣12.8≈2（cm），
故答案为：2．
【点评】本题考查了勾股定理的应用、坐标与图形的性质、几何体的展开图等知识，熟练掌握圆周长的计算和勾股定理是解题的关键．
1 、解答题
【分析】本题考查了勾股定理，三角形的周长和面积，熟练掌握相关知识点是解题的关键；
（1）利用勾股定理求解；
（2）利用三角形的周长和面积公式求解．
【小问1详解】
，，，
，
的长为6．
【小问2详解】
周长等于，
的面积等于．
【分析】本题考查勾股定理及其逆定理，垂线段的性质，证明是直角三角形是解题的关键．
（1）利用勾股定理的逆定理证明是直角三角形，可得，由垂线段最短，可知是从村庄C到河边的最近路；
（2）利用勾股定理解即可．
【小问1详解】
解：是从村庄C到河边的最近路，理由如下：
，，，，
，
是直角三角形，其中，
，
是从村庄C到河边的最近路
【小问2详解】
解：设 ，则，
在中，，
，
解得，
即原来的路线的长为2.5千米．
【分析】该题考查了勾股定理．
（1）利用勾股定理，求解即可．
（2）①利用勾股定理求解即可．
②利用数形结合的思想解决问题即可．
（1）解：因为，
所以，
所以，
因为，所以．
（2）解：①，所以．
②如图2中，线段即为所求作．
【分析】此题考查勾股定理的应用，能够用一个未知数表示出未知的两条边，再根据勾股定理列方程求解．
设旗杆的高度为米，则绳子的长度为米，在中，根据勾股定理列方程求解即可．
由图1可得绳子的长度比旗杆的高度多1米，
设旗杆的高度为米，则绳子的长度为米
由图2可得，在中，，
解得，，
答：旗杆的高度为12米．
【分析】本题考查了翻折变换的性质，勾股定理的应用，熟记性质并表示出的三边，然后利用勾股定理列出方程是解题的关键．
（1）先根据勾股定理求得的长，再根据折叠的性质求得，进而即可求出的长．
（2）在中，用勾股定理列方程即可求得的长．
（1）解：，，，
根据翻折的性质可得，
则．
（2）解：设，由折叠可知：，，
在中，
∴
解得：
∴的长为．
【考点】作图—基本作图，线段垂直平分线的性质，含30度角的直角三角形
【分析】（1）根据三角形内角和定理即可求∠ADC的度数，
（2）连接CF，由作图过程可得MN是CD的垂直平分线，所以FC＝FD，证明△CDF是等边三角形，利用含30度角的直角三角形的性质即可求出DF．
解：（1）在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠ACB＝30°，
∴∠BAC＝60°，
∵∠BAC的平分线AD交BC于点D，
∴∠BAD＝∠CAD＝30°，
∴∠ADC＝180°﹣30°﹣30°＝120°，
（2）由（1）知：∠ACD＝∠CAD＝30°，
∴AD＝CD，∠ADB＝60°，
∴∠CDF＝60°，
如图2，连接CF，
由作图过程可知：MN是CD的垂直平分线，
∴FC＝FD，
∴△CDF是等边三角形，
∴FC＝FD＝CD＝AD，
∵AB＝3，∠BAD＝30°，
∴AD2，
∴DF＝AD＝2．
【点评】本题考查作图﹣基本作图，线段垂直平分线的性质，等边三角形的判定与性质，含30度角的直角三角形的性质，解决本题的关键是掌握基本作图方法．
【考点】勾股数，勾股定理，整式加减乘法混合运算，平方差公式
【分析】（1）先由表中勾股数规律，令a＝10，b，c＝26，由勾股数定义列方程求解即可得到答案；
（2）由表中数据，分别用代数式表示出a，b，c，再由整式混合运算求证即可得到答案；
（3）确定直角三角形最短边长度：已知每个三角形最短边都种21株花，因为各边上相邻两株花之间的距离均为1m，且顶点处都种一株花，所以每个直角三角形最短边长为21﹣1＝20米，找出直角三角形三边长度：查题干中的表可知，当最短边为20米时，直角三角形的三边长分别为20米，21米，29米，由于该图案是由四个全等的直角三角形组成，下面只需要解决其中一个直角三角形的种植情况即可，如图所示，结合（2）中得到的规律，分析出一个直角三角形种植花数量即可得到答案．
解：（1）由表中勾股数的规律可知，令a＝10，b，c＝26，
则由勾股数定义可知a2+b2＝c2，即102+b2＝262，
∴b2＝262﹣102＝（26+10）（26﹣10）＝36×16，
解得b＝24或b＝﹣24（舍去）；
故答案为：24；
（2）由题意，a＝m2﹣n2，b＝2mn，c＝m2+n2（m＞n＞0，m，n互质且一奇一偶）；
非本原勾股数：a＝k（m2﹣n2），b＝k（2mn），c＝k（m2+n2）（k为正整数），
证明：对于本原勾股数，计算a2+b2：
（m2﹣n2）2+（2mn）2
＝m4﹣2m2n2+n4+4m2n2
＝m4+2m2n2+n4
＝（m2+n2）2
＝c2，
非本原勾股数为k倍的本原勾股数，
故a2+b2＝k2[（m2﹣n2）2+（2mn）2]
＝k2（m2+n2）2
＝c2．
同理，a＝2kmn，b＝k（m2﹣n2），c＝k（m2+n2）成立；
（3）查表可以知道他的最短是20 21 29这个勾股数，
一个直角三角形三条边的长度之和为20+21+29＝70米，
因为图案是由四个全等的直角三角形组成，
所以需要种花70×4＝280株．
【点评】本题考查勾股定理、整式加减乘法混合运算、平方差公式等知识，观察分析所给表中勾股数，分类找准规律并灵活运算解决实际问题是关键．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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