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怀宁部分学校联考2025-2026学年九年级上学期开学数学试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合1.下列二次根式中，属于最简二次根式的是( )
A. B. C. D.
2.下列四组数中，是勾股数的是( )
A. ，， B. ，， C. ，， D. ，，
3.用配方法解下列方程，其中应在左右两边同时加上的是( )
A. ； B. ；
C. ； D. ．
4.下列关于分式的判断正确的是( )
A. 当时，分式的值为
B. 当时，分式无意义
C. 无论为何值，分式的值不可能得整数
D. 无论为何值，分式的值总为正数
5.据国家文旅部统计，月日全国旅游收入为亿元，月日比月日的全国旅游收入多亿元若全国旅游收入日平均增长率为，则可以列出方程为( )
A.
B.
C.
题目要求的。
D.
6.某校组织九年级各班开展学生排球一次性垫球团队比赛，每班各选派名学生组成参赛团队，其中九年级班选派的名学生一次性垫球成绩单位：个如图所示则下列结论中，正确的是( )
A. 中位数为 B. 众数为 C. 平均成绩为 D. 方差为
7.四分位数是在统计学中把所有数值由小到大排列并分成四等份后，处于三个分割点位置的数值第一四分位数，又称”较小四分位数”，等于该样本中所有数值由小到大排列后第的数字，第二四分位数就是中位数如果数据的个数是偶数，那么中位数是中间两个数的平均数，可用相似的处理方式计算第一、第三四分位数九年级某小组的名同学每分钟跳绳的个数分别为：、、、、、、、这组数据中第一四分位数是( )
A. B. C. D.
8.定义：如果一元二次方程满足，那么我们称这个方程为“凤凰”方程．已知是“凤凰”方程，且有两个相等的实数根，则下列结论正确的是( )
A. B. C. D.
9.如图，在菱形中，，分别是边，上的动点，连结，，，分别为，的中点，连结若，，则的最小值为( )
A. B. C. D.
10.已知，如图，在中，点在边上，于，于，且，交于点，下列结论：；；，其中正确的是( )
A.
B.
C.
D.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
11.在中，，则 ______
12.如图，一次函数与的图象交点横坐标为，则不等式的解集为______．
13.一组数据，，，，的平均数是，这组数据的中位数为______．
14.如图，在矩形中，，，，分别是边，上一点，，将沿翻折得，连接，当是以为腰的等腰三角形时，那么______．
三、解答题：本题共9小题，共90分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
计算：．
16.本小题分
解方程：．
17.本小题分
如图是由边长为的小正方形构成的的网格，点、均在格点上．
在图中画出以为边且周长为的平行四边形，且点和点均在格点上画出一个即可；
在图中画出以为对角线的菱形，且点和点均在格点上．
18.本小题分
解不等式组并把解集在数轴上表示出来．
19.本小题分
观察下列各等式，其中反映了某种规律：
第个等式：；
第个等式：；
第个等式：；
按照以上规律，解决下列问题：
写出第个等式：______．
请你用含为正整数，且的等式表示表述上面的规律并证明这个等式．
20.本小题分
发现思考：已知等腰三角形的两边分别是方程的两个根，求等腰三角形三条边的长各是多少？下边是涵涵同学的作业，老师说他的做法有错误，请你找出错误之处并说明错误原因．
涵涵的作业：
解：．
，，．
，
，
所以，当腰为，底为时，等腰三角形的三条边为，，
当腰为，底为时，等腰三角形的三条边为，，
涵涵的作业错误的步骤是______填序号，错误的原因是______．
探究应用：
请解答以下问题：
已知等腰三角形的一腰和底边的长是关于的方程的两个实数根．
时，求的周长；
当为等边三角形时，求的值．
21.本小题分
“书香润泽心灵，阅读丰富人生”，伴着百花飘香，杨柳依依的美好春光，某中学迎来了校园读书节活动该中学计划为在本次校园读书节活动中获奖的同学购买甲、乙两种奖品，其中甲种奖品的单价为每件元、乙种奖品的单价为每件元，共购买件设甲种奖品购买件，购买两种奖品的总费用为元．
求关于的函数解析式；
若乙种奖品数量不大于甲种奖品数量的倍，请你设计费用最少时的购买方案，并求出最少费用．
22.本小题分
已知平行四边形的边延长至点，使得连接，相交于点．
当满足什么条件时，四边形为菱形？
求证：当时，四边形为矩形．
23.本小题分
正方形，是的中点，为射线上一点不与点，重合，连接并延长到点，使得，连接过点作的垂线交直线于点．
如图，当点在线段上时，求证：；
如图，当点在线段上时，试说明，，之间的数量关系；
如图当点在的延长线上时，直接写出线段，，之间的数量关系：______．
怀宁部分学校联考2025-2026学年九年级上学期开学数学试卷
答案
一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
11.
12.
13.
14.或
三、解答题：
15.本小题分解：
．
16.本小题分解：，
化为一般式，
，，，
，
则．
即，．
17.本小题分解：如图中，四边形即为所求；
如图中，正方形即为所求．

18.本小题分解：解得：，
解得：，
不等式组的解集为：，
在数轴上表示：

19.本小题分
解：第个等式：；
第个等式：；
第个等式：；
；
第个等式：；
故答案为：；
第个式子是：；
证明：
．
20.本小题分
解：涵涵的作业错误的步骤是，错误的原因是，，不能构成三角形，
故答案为：；，，不能构成三角形；
当时，方程为，
，，
当为腰时，，
、、不能构成三角形；
当为腰时，等腰三角形的三边为、、，
此时的周长为，
答：当时，的周长为；
若为等边三角形，则方程有两个相等的实数根，
，
，
答：当为等边三角形时，的值为．
21.本小题分
解：总费用甲种奖品的费用乙种奖品的费用，
．
由题意，得，
解得，
由，得，
，
随的增大而增大，
为整数，
当时，，
乙：件，
答：甲种奖品购买件，乙种奖品购买件时，费用最少，最少为元．
22.本小题分
解：当时，四边形为菱形，理由如下：
四边形是平行四边形，
，，，
，
，
四边形是平行四边形，
，
，
，
平行四边形为菱形；
证明：四边形是平行四边形，
，，
由可知，四边形是平行四边形，
，，
，，
，
，
，
平行四边形是矩形．
23.本小题分
证明：过点作，
则，
正方形，
，，
，，
，
又，，
≌，
，
，
，
，
，
又，，
≌，
；
解：过点作，
则：，
同法可证：≌，
，，
，
，
，
，
，
≌，
，
，
；
解：过点作，
同法可证：≌，≌，
，，
，
，
故答案为：．

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