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母题变式提优 (二) 构造全等三角形的方法
母题学方法1 利 用角平分线和垂线段构造全等三角形
题目中出现角平分线和垂线的时候，我们一般通过延长垂线，然后利用角角边来判定两个三角形全等，再利用全等三角形的性质来解决问题.
1. 如图,在△ABC 中,BE 是角平分线,AD⊥BE,垂足为 D,求证:∠2=∠1+∠C.
子题练思维
变式1 .1如 图,在△ABC中 ,BE平 分∠ABC,∠2=∠1+∠C.
(1)求证:AD⊥BE;
(2)若∠ABC=2∠1,证明:∠BAC=90°.
母题学方法2 加倍折半
当需要证明线段的倍分关系时，通常的办法是加倍延长或是找出较长线段的等分点.
2. 如图,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=90°,CD平分∠ACB,BE⊥CD,垂足 E 在CD 的延长线上，试探究线段 BE 和 CD 的数量关系，并证明你的结论.
子题练思维
变式2.1 如图,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=90°,点 D 在线段 BC 上, DE,垂足为 E,DE 与 AB 相交于点 F,试探究线段 BE 与 FD 的数量关系，并证明你的结论.
母题学方法 3 截长补短
截长补短法，是初中数学几何题中一种辅助线的添加方法，也是把几何题化难为易的一种思想.截长就是在一条线上截取成两段，补短就是在一条边上延长，使其等于一条所求边.
3. 如图,在△ABC 中,∠B =2∠C,AD 是∠BAC 的平分线.求证:AC=AB+BD.
子题练思维
变式3.1半角模型(2024·河南开封十四中期中改编)
(1)如图(1),在四边形 ABCD 中,AB=AD,∠B=∠D=90°,E,F 分别是边 BC,CD 上的点，且 请直接写出线段 EF，BE,FD 之间的数量关系: .
(2)如图(2),在四边形 ABCD 中,AB=AD,∠B+∠D=180°,E,F 分别是边 BC,CD 上的点，且 (1)中的结论是否仍然成立 请写出证明过程.
(3)在四边形ABCD中,AB=AD,∠B+∠D=180°,E,F 分别是边 BC,CD 所在直线上的点,且 请直接写出线段 EF，BE，FD 之间的数量关系.
母题学方法4 倍长中线
在△ABC 中,点 D 是BC 中点,延长 AD 至点 E,使得 DE=AD,结论:△BDE≌△CDA.
4. (2025·北京朝阳区陈经纶中学期中)如图,AD 为△ABC中线,点 E 在 AC上,BE 交AD 于点 F,AE=EF,求证:AC=BF.
子题练思维
变式4.1 实验班原创如图,在△ADC 中,F 为AD的中点,∠DFE =∠DAC,且 EF = AC,若△DEF 的面积为2,求△ADC 的面积.
变式4.2(2024·山东临沂河东区期中)如图，在四边形ABCD 中,AB∥DC,E 为BC 的中点,连接DE,AE,AE⊥DE.若AB=6,CD=4,求AD 的长.
变式4.3(2024·上海杨浦区双语学校期中改编)如图，已知AD 是△ACB 的中线,点 E 是AC 上的一点,BE 交 AD 于点 F,AC=BF,∠DAC=24°,∠EBC=30°,求∠ACB 的度数.
变式4.4 (2025·山东德州乐陵期中)(1)[旧题重现]《学习与评价》P19有这样一道习题：
如图(1),AD,A'D'分别是△ABC 和△A'B'C'的BC,B'C'边上的中线,AD=A'D',AB=A'B',BC=B'C'..求证:△ABC≌△A'B'C'.
证明的途径可以用下面的框图表示，请填写其中的空格.
(2)[深入研究]
如图(2),AD,A'D'分别是△ABC 和△A'B'C'的BC,B'C'边上的中线,AD=A'D',AB=A'B',AC=A'C'.判断△ABC 与△A'B'C'是否仍然全等，并说明理由.
(变式4.4)
1.如图,延长AD 交BC 于点 F.
∵AD⊥BE,∴∠ADB=∠FDB=90°.
∵BE 是角平分线,∴∠ABD=∠FBD.
在△ABD 和△FBD 中,
∴△ABD≌△FBD(ASA).
∴∠2=∠AFB.
又∠AFB=∠1+∠C,∴∠2=∠1+∠C.
变式1.1 (1)延长AD交BC于点F,则∠AFB=∠C+∠1.
∵∠2=∠1+∠C,∴∠2=∠AFB.
∵BE 平分∠A
又BD=BD,∴△ABD≌△FBD,∴∠ADB=∠FBD=90°,∴AD⊥BE.
(2)∵BE 平分∠
∵∠ABC=2∠1,∴∠ABE=∠1.
由(1)可知∠2+∠ABD=90°,即∠2+∠1=90°,
∴∠BAC=90°.
2. CD=2BE.理由如下:
如图，延长 BE 交CA 的延长线于点 F.
∵CD 平分∠ACB,∴∠FCE=∠BCE.
∵BE⊥CD,∴∠CEB=∠CEF=90°.
在△CEF 和△CEB中,
∴△CEF≌△CEB(ASA),
∴FE=BE.
∵∠DAC=∠CEF=90°,
∴∠ACD + ∠F = ∠ABF +∠F=90°.
∴∠ACD=∠ABF.
在△ACD 和△ABF 中
∴△ACD≌△ABF(ASA),∴CD=BF,∴CD=2BE.
变式2.1 DF=2BE,理由如下:如图,过点 D 作DG∥AC交AB 于H,交BE 的延长线于点G,∴∠BDG=∠C,∠BHD=∠A=90°.
∵∠EDB= ∠C,∴∠EDB=∠EDG.
又DE=DE,∠GED=∠BED=90°,
∴△DEG≌△DEB(ASA),∴BE=GE.
∵AB=AC,∠BAC=90°,
∴∠ABC=∠C=45°,∴∠HBD=∠HDB=45°,易证HB=HD,
又∠HFD=∠EFB,∠FHD=∠FEB=90°,
∴∠HDF=∠HBG,∴△GBH≌△FDH,
∴GB=FD,∴FD=2BE.
3.如图,在AC上截取AE=AB,连接DE.
∵AD 是∠BAC 的平分线,∴∠EAD=∠BAD.
在△AED 和△ABD 中,
∴△AED≌△ABD(SAS).
∴ED=BD,∠AED=∠B.
∵∠B=2∠C,∴∠AED=2∠C.
又∠AED 为△CED 的外角,
∴∠AED=∠C+∠EDC.∴∠C=∠EDC.
易证EC=ED,
在△ECD 中,过点 E 作 EH⊥CD,证△ECH≌△EDH,即可得证
∴EC=BD,∴AC=AE+EC=AB+BD.
变式3.1 (1)EF=BE+FD [解析]如图(1),延长EB 到点G,使BG=DF,连接AG.
在△ABG 与△ADF 中,AB=AD,∠ABG=∠ADF=90°,BG=DF,∴△ABG≌△ADF(SAS).
∴AG=AF,∠1=∠2.又
∴∠GAE=∠EAF.
又AE=AE,∴△AEG≌△AEF,∴EG=EF.
∵EG=BE+BG,∴EF=BE+FD.
(2)结论仍然成立.证明如下：
如图(2),延长 EB 到点G,使得BG=DF,连接AG.
∵∠ABC+∠D=180°,∠ABG+∠ABC=180°,
∴∠ABG=∠D.
在△ABG和△ADF 中,
∴△ABG≌△ADF(SAS),∴AG=AF,∠1=∠2.
又
∴∠GAE=∠EAF.
又AE=AE,∴△AEG≌△AEF,∴EG=EF.
∵EG=BE+BG,∴EF=BE+FD.
(3)当点 E,F 分别在BC,CD 的延长线上时,如图(3),在BE 上截取BG,使得BG=DF,连接AG.
∵∠B+∠ADC=180°,∠ADF+∠ADC=180°,
∴∠B=∠ADF.
在△ABG和△ADF 中,
∴△ABG≌△ADF(SAS),
∴∠BAG=∠DAF,AG=AF,
∴∠BAG+∠EAD=∠DAF+∠EAD=∠EAF= ∠BAD,
∴∠GAE=∠EAF.
∵AE=AE,∴△AEG≌△AEF(SAS),∴EG=EF.
∵EG=BE-BG,∴EF=BE-FD.
当点 E，F分别在 CB，DC 的延长线上时，同理可得EG=EF.
∵EG=BG-BE,∴EF=FD-BE.
当点E,F 分别在线段 BC,DC上时,由(2)可知 EF =BE+FD.
4. 延长AD到点G,使GD=AD,连接GB,
∵AD 为△ABC 中线,∴BD=CD.
在△GBD 和△ACD 中,
∴△GBD≌△ACD(SAS),
∴GB=AC,∠G=∠CAF.
∵AE=EF,∴∠CAF=∠EFA,∴∠G=∠EFA.
∵∠EFA=∠BFG,∴∠G=∠BFG,
∴GB=BF,
∴AC=BF.
变式4.1 如图,过点 C作 CM⊥AD 于点 M,过点 E 作 EN⊥AD 的延长线于点 N,则∠END=∠CMD =∠CMA=90°.
∵∠DAC=∠DFE,即∠CAM=∠NFE,又AC=EF,∴△ACM≌△FEN,
∴CM=EN.
在△EDN 和△CDM中,
∴△EDN≌△CDM(AAS),
∴ED=CD.
连接CF，则
又F 为AD 的中点,∴S△ADC=2S△CDF=4.
变式4.2延长DE交AB 的延长线于点F，如图.
∵E 为BC的中点,
∴BE=EC.
∵AB∥CD,
∴∠F=∠CDE.
在△BEF 与△CED 中,
∴△BEF≌△CED(AAS),
∴EF=DE,BF=CD=4,∴AF=AB+BF=10.
∵AE⊥DE,∴∠AED=∠AEF=90°.
又AE=AE,∴△AEF≌△AED(SAS),∴AF=AD=10.
变式4.3 如图，延长AD到点M，使得DM=AD,连接BM.
在△BDM 和△CDA 中,
∴△BDM≌△CDA(SAS),
∴BM=AC=BF,∠M=∠DAC=24°,∠ACB=∠DBM,
∴∠M=∠BFM=24°,
132°.
∵∠EBC=30°,
∴∠DBM=∠MBF-∠EBC=102°,
∴∠ACB=∠DBM=102°.
变式4.4(1)①BD= BC ②B'D'= B'C′③AD=A'D′ ④∠B=∠B′[解析]∵AD 是△ABC 的中线,
∵A'D'是△A'B'C'的中线,
∵BC=B'C',∴BD=B'D'.
在△ABD 和△A'B'D'中,
∴△ABD≌△A′B′D′(SSS),∴∠B=∠B′.
在△ABC 和△A'B'C'中,
∴△ABC≌△A'B'C'(SAS).
(2)△ABC 和△A'B'C'仍然全等,理由如下:
如图,延长AD至E,使DE=AD,连接BE,延长A'D'至E',使D'E'=A'D',,连接B'E'.
∵AD和A'D'分别是△ABC 和△A'B'C'的BC 和B'C'边上的中线,∴BD=CD,B'D'=C'D'.
在△ADC 和△EDB 中,
∴△ADC≌△EDB(SAS),
∴AC=EB,∠DAC=∠E.
同理
∵AD=A′D′,AD=DE,A′D′=D′E′,∴AE=A′E′.
∵AB=A'B',∴△ABE≌△A'B'E'(SSS),
∴∠BAE=∠B'A'E',∠E=∠E',
∴∠DAC=∠D'A'C',∴∠BAC=∠B'A'C'.又AB=A'B',AC=A'C',∴△ABC≌△A'B'C'(SAS).

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