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14.2三角形全等的判定
第4课时 三角形全等的判定 (HL)
基础巩固提优
1.(2024·浙江杭州西湖区期中)如图,CD⊥AB 于点 D,EF⊥AB 于点 F,CD=EF.要根据“HL”证明 Rt△ACD≌Rt△BEF,则还需要添加的条件为（ ）.
A. ∠A=∠B B. AC=BE
C. AD=BE D. AD=BF
2. (2025·辽宁大连期末)如图,BE⊥AC 于点 E,CF⊥AB 于点 F,若 BE=CF,则 Rt△BCF≌Rt△CBE 的理由是( ).
A. AAS B. HL
C. SAS D. ASA
3.根据下列已知条件，不能画出唯一△ABC 的是( ).
A. ∠A=30°,∠B=45°,AB=6
B. ∠A=30°,AB=5,BC=3
C. ∠B=60°,∠A=20°,BC=10
D. ∠C=90°,AB=5,AC=4
4. 如图,D 为 Rt△ABC 中斜边 BC 上的一点,且BD=AB,过点 D 作 BC 的垂线,交AC 于 E,若AE=12cm,则 DE 的长为 cm.
5. (2025·福建厦门期末)如图,已知∠C=∠D=90°,若要用“HL”证明 Rt△ABC≌Rt△ABD,则还需补充 .
6. (2025·北京西城区德胜中学期中)如图,AB=BC,∠BAD=∠BCD=90°,点 D 是EF 上一点,AE⊥EF 于E,CF⊥EF 于F,AE=CF,求证:Rt△ADE≌Rt△CDF.
思维拓展提优
7.(2025·云南昆明东川区期中)下列各选项中的两个直角三角形不一定全等的是（ ）.
A.两条直角边对应相等的两个直角三角形
B.两个锐角对应相等的两个直角三角形
C.斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形
D.有一个锐角及这个锐角的对边对应相等的两个直角三角形全等
8. (2025·湖北荆州期中)在 Rt△ABC 和Rt△A'B'C'中， 有如下几个条件：①AC=A'C',∠A =∠A';②AC = A'C',AB=A'B';③AC=A'C',BC=B'C';④AB=A'B',∠A=∠A′.其中,能判定 Rt△ABC≌Rt△A'B'C'的条件的个数为( ).
A. 1 B. 2 C . 3 D. 4
9. (2024·湖南衡阳期末)如图,在 Rt△ABC中,∠C=90°,AC=10,BC=5,线段 PQ=AB,P,Q两点分别在AC 和过点A且垂直于 AC 的射线 AO上运动,当AP= 时,△ABC 和△PQA 全等.
10. (2025·上海实验学校期末)如图,在△ABC 中,AD平分∠BAC,AD⊥BC 于D,EC⊥BC于C,且AB=BE,CD=CE.
(1)求证:AB=AC;
(2)求证:Rt△ABD≌Rt△BEC.
11.(2024·江苏南京二十九中月考)求证：有一条直角边及斜边上的高对应相等的两个直角三角形全等.(要求：根据题意画出图形，写出已知、求证并证明)
12.(2025·江苏南京玄武区月考)证明命题：“一条直角边相等且另一条直角边上的中线相等的两个直角三角形全等”，要根据题意，画出图形，并用符号表示已知和求证，写出证明过程.下面是小颖根据题意画出的图形，并写出了不完整的已知和求证.
已知:在 Rt△ABC 和Rt△A'B'C'中,∠C=∠C'=90°,AC=A'C',AD 与A'D'分别为BC,B'C'边上的中线且 .
求证: .
请补全已知和求证部分，并写出证明过程.
延伸探究提优
13. 手拉手模型如图,在△ABC 和△ADE 中,AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE,CE的延长线交BD 于点 F.
(1)求证:△ACE≌△ABD;
(2)若∠BAC=∠DAE=50°,请直接写出∠BFC 的度数;
(3)过点 A 作 AH⊥BD 于点 H,求证:EF+DH=HF.
第4课时 三角形全等的判定(HL)
1. B
2. B [解析]∵BE⊥AC 于点E,CF⊥AB 于点F,∴∠BEC=∠BFC=90°.
在 Rt△BCF 和 Rt△CBE 中,
∴Rt△BCF≌Rt△CBE(HL).故选 B.
3. B
4.12 [解析]如图,连接BE.∵D 为 Rt△ABC 中斜边BC上的一点,且BD=AB,过点 D 作 BC 的垂线,交AC 于E,
∴∠A=∠BDE=90°,
∴在 Rt△DBE 和 Rt△ABE 中,BD=AB(已知),BE=EB(公共边),
∴Rt△DBE≌Rt△ABE(HL),∴AE=ED,又AE=12 cm,∴ED=12 cm.
5. AC=AD(答案不唯一)
6. 连接 BD,∵∠BAD=∠BCD=90°,在Rt△ABD 和 Rt△CBD 中,
∴Rt△ABD≌Rt△CBD(HL),∴AD=CD.
∵AE⊥EF 于E,CF⊥EF 于F,∴∠E=∠F=90°.
在Rt△ADE 和Rt△CDF 中,
∴Rt△ADE≌Rt△CDF(HL).
7. B[解析]A.根据SAS可证明两个直角三角形全等，故此选项不合题意；B.两个锐角对应相等的两个直角三角形不一定全等，故此选项符合题意；C.根据HL定理可判定两个直角三角形全等，故此选项不合题意；D.根据AAS可判定两个直角三角形全等，故此选项不合题意.故选 B.
8. D [解析]①在 Rt△ABC 和Rt△A'B'C'中,
∴△ABC≌△A'B'C'(ASA),故本选项正确;
②在 Rt△ABC 和 Rt△A'B'C'中,
∴Rt△ABC≌Rt△A'B'C'(HL),故本选项正确;
③在△ABC 和△A'B'C'中
∴△ABC≌△A'B'C'(SAS),故本选项正确;
④在△ABC 和△A'B'C'中,
∴△ABC≌△A'B'C'(AAS),故本选项正确;
∴能判定 Rt△ABC≌Rt△A'B'C'的条件为①②③④.故选 D.
9.5 或10 [解析]∵∠C=90°,AO⊥AC,∴∠C=∠QAP=90°.
①当AP=5=BC时,
在Rt△ACB 和Rt△QAP 中,
∴Rt△ACB≌Rt△QAP(HL);
②当AP=10=AC时,
在Rt△ACB 和Rt△PAQ中,
∴Rt△ACB≌Rt△PAQ(HL).
故当AP=5或10时,△ABC 和△PQA 全等.
易错警示 本题没有说明两个三角形全等的对应关系，所以需要根据对应关系进行分类讨论.
10.(1)∵AD 平分∠BAC,∴∠BAD=∠CAD.
∵AD⊥BC,∴∠ADB=∠ADC=90°.
在△ADB 和△ADC中,
∴△ADB≌△ADC(ASA),∴AB=AC.
(2)∵△ADB≌△ADC,∴BD=CD.
∵CD=CE,∴BD=CE.
∵EC⊥BC,∴∠BCE=90°.
在 Rt△ABD 和 Rt△BEC 中,
∴Rt△ABD≌Rt△BEC(HL).
11.已知:如图,在 Rt△ABC 和 Rt△A'B'C'中,∠ACB = 3于点D,C'D'⊥A'B'于点D',BC=B'C',CD=C'D'.
求证:Rt△ABC≌Rt△A'B'C'.
证明:∵CD⊥AB 于点 D,C'D'⊥A'B'于点D',
在 Rt△CDB 和Rt△C'D'B'中,
∴Rt△CDB≌Rt△C'D'B'(HL),∴∠B=∠B'.
在 Rt△ABC 和 Rt△A'B'C'中,
∴Rt△ABC≌Rt△A'B'C'(ASA).
12. AD=A'D′ Rt△ABC≌Rt△A'B'C'(写成△ABC≌△A'B'C'也对)
证明:∵∠C=∠C'=90°,AD=A'D',AC=A'C',
∴Rt△ADC≌Rt△A'D'C'(HL),∴CD=C'D'.
∵AD 与A'D'分别为BC 与B'C'边上的中线,
∴点 D 和点 D'分别是 BC 与B'C'的中点,
在△ABC 和△A'B'C'中,
∴Rt△ABC≌Rt△A'B'C'(SAS).
(1)∵∠BAC=∠DAE,∴∠CAE=∠BAD.在△ACE 和△ABD 中,
∴△ACE≌△ABD(SAS).
(2)∵△ACE≌△ABD,∴∠AEC=∠ADB,
∴∠AEF+∠AEC=∠AEF+∠ADB=180°,
∴∠DAE+∠DFE=180°.
∵∠BFC+∠DFE=180°,
∴∠BFC=∠DAE=∠BAC=50°.
(3)如图,连接AF,过点A 作AJ⊥CF 于点 J.
∵△ACE≌△ABD,∴S△ACE=S△ABD,CE=BD.
∵AJ⊥CE,AH⊥BD,
在 Rt△AFJ 和 Rt△AFH 中,
∴Rt△AFJ≌Rt△AFH(HL),∴FJ=FH.
在 Rt△AJE 和 Rt△AHD 中,
∴Rt△AJE≌Rt△AHD(HL),∴EJ=DH,
∴EF+DH=EF+EJ=FJ=FH

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