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14.2三角形全等的判定
第2课时 三角形全等的判定 (ASA,AAS)
基础巩固提优
1.(2025·山东滨州阳信期末)如图，要测量池塘两岸相对的两点A，B的距离，小明在池塘外取AB 的垂线BF上的点C,D,使BC=CD,再画出BF的垂线 DE，使E与A，C在一条直线上，这时测得 DE 的长就是AB 的长，依据是（ ）.
A. SSS B. SAS
C. ASA D. HL
2. (2025·广东广州黄埔区期末)如图,已知 AD∥BC,从下列条件中补充一个条件后，仍不能证明△ABC≌△CDA 的是( ).
A. AD=CB B. ∠B=∠D
C. AB=CD D. ∠BAC=∠DCA
3.如图，要测量池塘两岸相对的两点 A，B的距离，可以在池塘外取AB的垂线BF 上的两点C,D,使BC=CD,再画出 BF 的垂线DE,使点 E 与点A,C 在一条直线上.若想知道 AB 的距离，只需要测量出线段 即可.
4. (2024·牡丹江中考)如图,△ABC 中,D 是AB 上一点,CF∥AB,D,E,F 三点共线,请添加一个条件 ，使得AE=CE.(只添一种情况即可)
5. (2025·北京昌平区期末)如图,已知A,B,D,E 在同一直线上,AD=BE,BC∥EF,∠A =∠EDF,求证:△ABC≌△DEF.
6. (2024·镇江中考)如图,∠C=∠D=90°,∠CBA=∠DAB.
(1)求证:△ABC≌△BAD;
(2)若∠DAB=70°,则∠CAB= °.
思维拓展提优
7. 如图,在△ABC 和△DEF 中,已知AC=DF,∠ACB=∠F，添加下列哪一个条件无法证明△ABC≌△DEF( ).
A. AB=DE B. ∠A=∠D
C. BC=EF D. ∠B=∠DEF
8.(2024·山东泰安宁阳期末)根据下列已知条件，能画出唯一的△ABC 的是（ ）.
A. ∠C=90°,AB=6
B. AB=4,BC=3,∠A=30°
C. ∠A=60°,∠B=45°,AB=4
D. AB=3,BC=4,CA=8
9.(2025·江苏泰州姜堰区期末)如图所示，已知 P 是AD 上的一点,∠ABP=∠ACP,请再添加一个条件: ,使得△ABP≌△ACP.
10. (2025·北京顺义区期中)如图,点 E 在△ABC 外部,点 D 在 BC 边上,DE 交AC 于 F.若∠BAD=∠CAE=∠CDE,AC=AE.请在图中找出一对全等三角形，并写出证明过程.
11. (2025·北京延庆区期末)如图,OC 是∠AOB 的平分线,点 D 在射线OA 上,点 E 在射线OB上,点 F 在射线OC 上,连接 DF,EF.请你添加一个条件,使△OFD≌△OFE.小明同学写出以下条件:①OD=OE,②∠ODF=∠OEF,③∠OFD=∠OFE,④FD=FE,⑤∠ADF=∠BEF,⑥∠DFC=∠EFC.他认为：“添加以上条件中的任何一个，都可以使△OFD≌△OFE.”
(1)小明的说法 (填“正确”或“错误”)；
(2)从小明写出的条件中选择一个 (填写序号),使得△OFD≌△OFE,补全图形，并写出证明过程.
12. (2025·重庆长寿区期末)如图,BD 是∠ABC 的平分线,AB=BC,点 E 在 BD 上,连接AE,CE,过点 D 作DF⊥AE,DG⊥CE,垂足分别是F,G,EF=3.
(1)求证:△ABE≌△CBE;
(2)求 EG 的长.
延伸探究提优
13.在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,直线 MN 经过点C,且 AD⊥MN 于点 D,BE⊥MN 于点E.
(1)当直线MN绕点C 旋转到图(1)的位置时，求证:①△ADC≌△CEB;②DE=AD+BE.
(2)当直线 MN 绕点 C 旋转到图(2)的位置时,求证:DE=AD-BE.
(3)当直线 MN 绕点 C 旋转到图(3)的位置时，试问DE，AD，BE 具有怎样的等量关系 请写出这个等量关系，并加以证明.
14.数学课上，张老师展示了问题：如图(1)，四边形ABCD 是正方形,E 是边 BC 的中点,∠AEF=精题详解90°,且 EF 交正方形外角∠DCG 的平分线CF 于点 F,求证:AE=EF.
经过思考，小明展示了一种正确的解题思路:取 AB 的中点 M,连接 ME,则 AM=EC,易证△AME≌△ECF,所以AE=EF.在此基础上，同学们作了进一步的研究：
(1)小颖提出:如图(2),如果把“E 是边 BC的中点”改为“E 是边BC 上(除 B,C 外)的任意一点”，其他条件不变，那么结论“AE=EF”仍然成立，你认为小颖的观点正确吗 如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由.
(2)小华提出：如图(3)，E是BC 的延长线上(除点 C 外)的任意一点，其他条件不变，结论“AE=EF”仍然成立.你认为小华的观点正确吗 如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由.
15. (2024·南充中考)如图,在△ABC 中,点 D 为 BC边的中点,过点 B 作 BE∥AC 交AD 的延长线于点 E.
(1)求证:△BDE≌△CDA;
(2)若AD⊥BC,求证:BA=BE.
第2课时 三角形全等的判定(ASA，AAS)
1. C 2. C 3. DE
4. DE=EF(答案不唯一) [解析]∵CF∥AB,
∴∠A=∠ECF,∠ADE=∠CFE,
∴添加条件DE=EF,可以使得△ADE≌△CFE(AAS),添加条件AD=CF,可以使得△ADE≌△CFE(ASA).
5.∵AD=BE,∴AD-BD=BE-BD,∴AB=DE.
∵BC∥EF,∴∠ABC=∠E.
在△ABC 和△DEF 中,
∴△ABC≌△DEF(ASA).
6.(1)在△ABC 和△BAD 中,
∴△ABC≌△BAD(AAS).
(2)20 [解析]∵∠DAB=70°,∠D=90°,
由(1)知△ABC≌△BAD,∴∠CAB=∠DBA=20°.
7. A [解析]∵AC=DF,∠ACB=∠F,
∴添加 AB=DE 时,没有SSA 定理,不能证明△ABC≌△DEF,故A符合题意;
当添加∠A =∠D 时,根据 ASA,可以证明△ABC≌△DEF,故B不符合题意;
当添加 BC= EF 时,根据 SAS,可以证明△ABC≌△DEF,故C不符合题意;
当添加∠B=∠DEF 时,根据 AAS,可以证明△ABC≌△DEF,故D不符合题意.故选 A.
C
9.∠BAP=∠CAP(答案不唯一)
[解析]若添加∠BAP =∠CAP,且∠ABP =∠ACP,AP=AP,由“AAS”可证△ABP≌△ACP;
若添加∠APB=∠APC,且∠ABP=∠ACP,AP=AP,由“AAS”可证△ABP≌△ACP;
若添加∠BPD =∠CPD,可得∠APB =∠APC,且∠ABP =∠ACP, AP = AP,由“AAS”可证△ABP≌△ACP.
10.△ABC≌△ADE,证明如下:如图,
∵∠BAD=∠CAE,
∴∠BAD +∠1=∠CAE+∠1,即∠BAC=∠DAE.
∵∠2=∠3,∠EAC=∠CDF,
∴ 180° - ∠3 - ∠CDF =
即∠C=∠E.
在△ABC 和△ADE 中,
∴△ABC≌△ADE(ASA).
11.(1)错误 [解析]∵OC平分∠AOB,∴∠AOC=∠BOC.
①OD=OE,由 SAS判定△OFD≌△OFE;
②∠ODF=∠OEF,由 AAS判定△OFD≌△OFE;
③∠OFD=∠OFE,由 ASA 判定△OFD≌△OFE;
④FD=FE,∠AOC 和∠BOC 分别是FD 和FE 的对角,不能判定△OFD≌△OFE;
⑤由∠ADF=∠BEF,得到∠ODF=∠OEF,由 AAS判定△OFD≌△OFE;
⑥由∠DFC=∠EFC,得到∠OFD=∠OFE,由 ASA判定△OFD≌△OFE.
∴小明的说法是错误的.
(2)②(答案不唯一) [解析]如图,选择②使得△OFD≌△OFE.证明如下:
∵OC 是∠AOB 的平分线,∴∠DOF=∠EOF.
在△OFD 和△OFE 中, ∴△OFD≌△OFE(AAS).
12.(1)∵BD 是∠ABC 的平分线,∴∠ABE=∠CBE.
在△ABE 和△CBE 中 ∴△ABE≌△CBE(SAS).
(2)由(1)知△ABE≌△CBE,∴∠AEB=∠CEB.
∵∠AEB+∠FED=∠CEB+∠GED=180°,
∴∠FED=∠GED.
∵DF⊥AE,DG⊥CE,∴∠EFD=∠EGD=90°.在△FDE 和△GDE 中
∴△FDE≌△GDE(AAS),
∴EG=EF=3.
13.(1)①因为 AD⊥MN,BE⊥MN,
所以∠ADC=∠CEB=∠ACB=90°.
所以∠CAD+∠ACD=90°,∠BCE+∠ACD=90°.
所以∠CAD=∠BCE.
又AC=BC,所以△ADC≌△CEB(AAS).
②因为△ADC≌△CEB,所以CE=AD,CD=BE.所以DE=CE+CD=AD+BE.
(2)因为∠ADC=∠CEB=∠ACB=90°,所以∠ACD+∠BCE=90°,∠BCE+∠CBE=90°.所以∠ACD=∠CBE.
又AC=BC,所以△ACD≌△CBE(AAS).
所以CE=AD,CD=BE.
所以DE=CE-CD=AD-BE.
(3)当MN 旋转到题图(3)的位置时,DE,AD,BE 所满足的等量关系是DE=BE-AD(或 AD=BE-DE 或BE=AD+DE).证明如下:
因为∠ADC=∠CEB=∠ACB=90°,
所以∠ACD+∠BCE=90°,∠BCE+∠CBE=90°.
所以∠ACD=∠CBE.
又AC=BC,所以△ACD≌△CBE(AAS).
所以AD=CE,CD=BE.
所以DE=CD-CE=BE-AD.
14.(1)正确.证明如下:
如图(1),在AB 上取一点M,使AM=EC,连接ME.
∵四边形ABCD 是正方形,∴AB=BC.
∴AB-AM=BC-EC,即 BM=BE.
∴∠BME=45°.∴∠AME=135°.
∵CF 是外角平分线,∴∠DCF=45°.
∴∠ECF=135°.∴∠AME=∠ECF.又∠B=∠AEF=90°,∴∠AEB+∠MAE=90°,∠AEB+∠CEF=90°.
∴∠MAE=∠CEF.又 AM=EC,∴△AME≌△ECF(ASA).∴AE=EF.
(2)正确.证明如下：
如图(2),在BA 的延长线上取一点N,使AN=CE,连接NE.
∵四边形ABCD 是正方形,∴AB=BC.
∴AB+AN=BC+CE,即BN=BE.∴∠N=45°.
∵CF 平分∠DCG,.
∵AD∥BE,∴∠DAE=∠BEA.∴∠NAE=∠CEF.
∴△ANE≌△ECF(ASA).∴AE=EF.
15.(1)∵点 D 为BC 的中点,∴BD=CD.
∵BE∥AC,∴∠EBD=∠C,∠E=∠CAD.
在△BDE 和△CDA 中
∴△BDE≌△CDA(AAS).
(2)∵AD⊥BC,∴∠ADB=∠ADC=90°.
在△ABD 和△ACD 中,
∴△ABD≌△ACD,∴AB=AC.
由(1)可知△BDE≌△CDA,∴BE=CA,∴BA=BE.

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