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14.2三角形全等的判定
第 1课时 三角形全等的判定(SAS)
基础巩固提优
1.(2025·云南昆明期末)如图，用螺丝钉将两根小棒AD，BC的中点固定，利用全等三角形知识，测得 CD 的长就是锥形瓶内径AB 的长.其中,判定△AOB 和△DOC 全等的方法是( ).
A. SSS B. SAS
C. ASA D. AAS
2. (2025·江苏扬州高邮期末)如图,已知∠1=∠2,用“SAS”证△ABC≌△ABD,还需( ).
A. BC=BD B. AC=AD
C. ∠C=∠D D. ∠ABC=∠ABD
3. (2024·福建泉州晋江期末)如图,BE=CD,若不添加辅助线并利用“SAS”判定△ACE≌△ABD,则可以添加的条件是 (填写一个条件即可).
4.学了全等三角形的判定后，小明编了这样一个题目：“已知：如图，AD=AC，BC=BD,∠CAB=∠DAB,求证:△ABD≌△ABC.”老师说他的已知条件给多了，那么可以去掉的一个已知条件是 .
5. (2024·乐山中考)如图,AB 是∠CAD 的平分线,AC=AD,求证:∠C=∠D.
6. (2025·安徽合肥巢湖期末)如图，在△ABC中,AB=AC,D 是边BC 上的一点,连接 AD,以 AD 为边作△ADE,使 AE =AD,且∠DAE=∠BAC,连接EC,若 BD=2,求EC的长.
思维拓展提优
7. (2024·山东德州禹城期中)如图,已知AB=4cm,∠A=∠B=60°,AC=BD=3c m.点 P 在线段AB 上以 1cm/s的速度由点 A 向点 B 运动，同时，点Q 在线段BD 上以x cm/s的速度由点 B 向点D 运动,它们运动的时间为t(s).当x 的值为（ ）时,△ACP 与△BPQ 全等.
A. 1 B. 2
C. 1或 2 D. 1或
8. (2024·湖南湘西州期末)如图,在 Rt△ABC 中,∠C=90°,AC=12cm,BC=6cm,过点 A 作射线AX⊥AC,P,Q 分别为线段AC 和射线AX 上的点,且 PQ=AB.若以A,B,C 为顶点的三角形与以A，P，Q为顶点的三角形全等,则AP 的值为 .
9. (2025·江西南昌东湖区期末)如图,在△ABC 中,∠B=∠C,AC=AB=8,BC=6,点 D 为AB 的中点，点 P 在线段BC 上以每秒2个单位的速度由点 B 向点 C 运动，同时点 Q 在线段CA 上以每秒a(a>0)个单位的速度由点C向点 A 运动.设运动时间为 t(秒)(0≤t≤3).
(1)线段 PC= (用含t 的代数式表示);
(2)若点 P,Q 的运动速度相等,t=1 时,△BPD 与△CQP 是否全等 请说明理由.
10. 如图,在△AOB 和△COD 中,OA=OB,OC=OD,OA(1)求证:AC=BD;
(2)求∠AMB 的度数.
11. (2025·山东烟台招远期末)如图,在五边形 ABC-DE中,AB=DE,AC=AD.
(1)请你添加一个与角有关的条件，使得△ABC≌△DEA,并说明理由;
(2)在(1)的条件下,若∠CAD=65°,∠B=110°,求∠BAE 的度数.
12. (2025·河北邯郸大名期末)如图,在△ABC 中,点 D 是 BC 上的中点，连接 AD 并延长到点E,使 DE=AD,连接CE.
(1)求证:△ABD≌△ECD;
(2)若△ABD 的面积为12,求△ACE 的面积.
13. (2025·江苏盐城期末)如图,在△ABC 中,BE,CF 分别是AC,AB 两边上的高,在 BE 上截取 BD=AC,在CF 的延长线上截取CG=AB,连接AD,AG.
(1)求证:AD=AG;
(2)AD 与 AG 的位置关系如何，请说明理由.
延伸探究提优
14. 如图,在△ABC 中,∠BAC=∠B=60°,AB=AC,点 D,E 分别是边 BC,AB 所在直线上的动点,且 BD=AE,AD 与EC 交于点F.
(1)当点 D,E 在边 BC,AB 上运动时,∠DFC的度数是否发生变化 若不变，求出其度数；若变化，写出其变化规律.
(2)当点 D,E 运动到BC,AB 的延长线上时，(1)中的结论是否改变 说明理由.
15. (2024·云南中考)如图,在△ABC 和△AED 中,AB=AE,∠BAE=∠CAD,AC=AD.求证:△ABC≌△AED.
第 1 课时 三角形全等的判定(SAS)
1. B [解析]∵点O是AD,BC 的中点,∴OC=OB,OD=OA.
在△COD 和△BOA 中,
∴△COD≌△BOA(SAS),∴AB=CD.故选 B.
2. B
3. AB=AC [解析]应用“SAS”判定△ACE≌△ABD,添加的条件是AB=AC.理由如下：
∵BE=CD,∴AB+BE=AC+CD,∴AE=AD.
在△ACE 和△ABD 中
∴△ACE≌△ABD(SAS),
∴应用“SAS”判定△ACE≌△ABD,添加的条件是AB=AC.
4. BC=BD [解析]去掉 BC=BD,在△ABD 和△ABC 中. ∴△ABD≌△ABC(SAS).
5. ∵AB 是∠CAD 的平分线,∴∠CAB=∠DAB.在△ABC 和△ABD 中 ∴△ABC≌△ABD(SAS),∴∠C=∠D.
6. ∵∠DAE=∠BAC,
∴∠DAE-∠CAD=∠BAC-∠CAD,
∴∠CAE=∠BAD.
在△CAE 和△BAD 中,
∴△CAE≌△BAD(SAS),∴EC=BD=2,
∴EC的长是2.
7. D [解析]由题意,得AP=t cm,BQ= xt cm.
∵AB=4cm,∴BP=AB-AP=(4-t) cm.
∵∠A=∠B=60°,∴分两种情况:
①当AC=BP,AP=BQ时,△ACP≌△BPQ,
∴4-t=3,t= xt,∴t=1,x=1;
②当AC=BQ,AP=BP 时,△ACP≌△BQP,
∴3= xt,t=4-t,∴t=2,x=
综上所述，x为1或 时,△ACP 与△BPQ全等.故选 D.
8. 6 cm或12cm [解析]有如下两种情况:
①当△ABC≌△QPA 时，根据全等三角形的性质得出AP=BC=6cm;②当△ABC≌△PQA 时,根据全等三角形的性质得出 AP=AC=12cm.
故AP 的值为6 cm或12 cm.
9. (1)6-2t [解析]依题意,得BP=2t,
∵BC=6,∴PC=BC-BP=6-2t.
(2)当t=1时,△BPD 与△CQP 全等.理由如下:
依题意,得BP=2,CQ=2,
∴BP=CQ=2,CP=BC-BP=4.
∵AC=AB=8,点 D 为AB 的中点,
在△BPD 和△CQP 中
∴△BPD≌△CQP(SAS).
10.(1)∵∠AOB=∠COD,
∴∠AOB+∠BOC=∠COD+∠BOC,
即∠AOC=∠BOD.
在△AOC 和△BOD 中
∴△AOC≌△BOD(SAS),∴AC=BD.
(2)由(1),得∠OAC=∠OBD,由三角形外角的性质,得∠AMB+∠OBD =∠OAC+∠AOB,
∴∠AMB=∠AOB=36°.
11.(1)添加一个角方面的条件为∠BAC=∠EDA,使得△ABC≌△DEA.理由如下:
在△ABC 和△DEA 中
∴△ABC≌△DEA(SAS).
(2)∵△ABC≌△DEA,∴∠ACB=∠DAE.
∵∠CAD=65°,∠B=110°,
∴∠DAE+∠BAC=∠ACB+∠BAC=70°,
∴∠BAE=∠DAE+∠BAC+∠CAD=70°+65°=135°.
(1)∵D是BC的中点,∴BD=CD,在△ABD 和△ECD 中,
∴△ABD≌△ECD(SAS).
(2)∵△ABD≌△ECD,∴S△ABD=S△ECD.
∵D是BC 的中点,∴S△ABD=S△ACD.
∵S△ABD=12,∴S△ACE=S△ACD+S△ECD=24.
故△ACE 的面积为24.
13.(1)∵BE⊥AC,CF⊥AB,∴∠HFB=∠HEC=90°.
∵∠BHF=∠CHE,
∴∠ABD=∠AGC.在△ABD 和△GCA 中∴△ABD≌△GCA(SAS),∴AD=GA.
(2)位置关系是AD⊥AG.理由如下:
∵△ABD≌△GCA,∴∠ADB=∠GAC.
∵∠ADB=∠AED+∠DAE,∠GAC=∠GAD+∠DAE,
∴∠AED=∠GAD=90°,∴AD⊥AG.
(1)不变,∠DFC=60°.理由如下:在△ABD 和△CAE 中
∴△ABD≌△CAE(SAS).∴∠BAD=∠ACE.
∵∠BAC=∠BAD+∠CAF=60°,
∴∠DFC=∠ACE+∠CAF=60°.
(2)变化,∠DFC=120°.理由如下:如图,在△ACE 和△BAD 中,
∴△ACE≌△BAD(SAS).
∴∠E=∠D.
∵∠BCE=∠FCD,
15.∵∠BAE=∠CAD,∴∠BAE+∠CAE=∠CAD+∠CAE,即∠BAC=∠EAD.
在△ABC 和△AED 中
∴△ABC≌△AED(SAS).

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