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第十四章全等三角形单元提优测评卷
时间:90分钟 总分:100 分
第Ⅰ卷(选择题 共20分)
一、选择题(每题2分，共20分)
1.(2025·山东潍坊期末)如图是雨伞在开合过程中某时刻的截面图，伞骨AB=AC，点D，E分别是AB，AC的中点，DM，EM是连接弹簧和伞骨的支架，且DM=EM，已知弹簧M在向上滑动的过程中,总有△ADM≌△AEM,其判定依据是( ).
A. ASA B. AAS C. SSS D. HL
2.(2025·河北廊坊安次区期末)有一块三角形玻璃在运输过程中，不小心碎成如图所示的四块，嘉淇想按原来的大小在玻璃店再订制一块，需要带的两块可以是（ ）.
A. ①② B. ②③ C. ①③ D. ①④
3.(2025·江苏南通如东期末)如图是两个全等三角形，图中的字母表示三角形的边长，则∠1 的度数为( ).
A. 54° B. 66° C. 60° D. 76°
4.根据下列条件不能画出唯一△ABC 的是（ ）.
A. AB=5,BC=6,AC=7 B. AB=5,BC=6,∠B=45°
C. AB=5,AC=4,∠C=90° D. AB=5,AC=4,∠C=45°
5.(2025·江苏无锡期末)如图,△ABC≌△DEF,若AD=8,CF=2,则AF 的长为( ).
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
6.已知:如图,在△ABC,△ADE中,∠BAC=∠DAE=90°,AB=AC,AD=AE,点C,D,E三点在同一条直线上，连接BD，BE.以下四个结论：
①BD=CE;②∠ACE+∠DBC=45°;③BD⊥CE;④∠BAE+∠DAC=180°.
其中结论正确的个数是（ ）.
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
7.(2024·大庆高新区一模)如图,AD 是△ABC的边BC上的中线,AB=7,AD=5,则AC 的取值范围为( ).
A. 38.(2024·南京玄武区模拟)如图，在平面直角坐标系中，C(4，4)，点B，A分别在x 轴正半轴和y轴正半轴上， ,则OA+OB 等于( ).
A. 8 B. 9 C. 10 D. 11
9.(2025·河南洛阳新安期末)如图,已知∠C=∠D,AC=AD,增加下列条件:①AB=AE;②BC=ED;③∠1=∠2;④∠B=∠E.其中能使△ABC≌△AED 的条件有( ).
A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个
10.(2025·广东广州黄埔区期末)如图,在△ABC中,∠BAC和∠ABC的平分线AE,BF 相交于点O,AE交BC于E,BF交AC于F,过点O作OD⊥BC于D,下列三个结论:( ②若OD=a,AB+BC+CA=b,则S△ABC= ab;③当∠C=60°时,AF+BE=AB.其中正确的是（ ）.
A. ①② B. ②③ C. ①②③ D. ①③
第Ⅱ卷(非选择题 共80分)
二、填空题(每题2分，共16分)
11.(2025·江苏盐城期末)如图,P 是∠AOB 的平分线OC上一点,PD⊥OB,PE⊥OA,垂足分别为D,E,若 PD=2,则 PE 的长是 .
12.(2025·江苏南通如东期末)如图,D 是AB 上一点,DF 交AC 于点E,FC∥AB,要使△ADE≌△CFE，只需添加一个条件，则这个条件可以是 .
13.如图,AE⊥AB且AE=AB,BC⊥CD且BC=CD,请按照图中所标注的数据,计算图中阴影部分的面积是 .
14.(2024·广东广州荔湾区期中)如图，把两根钢条的中点连在一起，可以做成一个测量工件内槽宽的工具(卡钳)，在图中，若测量得A'B'=10cm,则工件内槽宽AB 为 cm.
15.(2025·上海松江区期末)如图,在Rt△ABC 中,∠BAC=90°,∠ABC 的平分线交AC 于点 D,DE⊥BC 于点E,如果△ABC 与△CDE 的周长分别为13和3,那么AB的长为 .
16.(2025·江苏徐州期末)如图,在△ABC中,D 是BC边上的中点,若AB=7,AC=9,AD 的取值范围是 .
17.(2025·福建福州福清期末)如图,在四边形ABCD中,AB∥CD,∠ABC=α,连接AC,在射线AB,CA 上存在两动点E,F,满足AE=CF,若∠ACE=β,当BF+CE 的值最小时,则∠CBF= .(用α,β表示)
18.(2024·山东淄博期末)如图,BD 为△ABC 的角平分线,且BD=BC,E 为BD 延长线上的一点,BE=BA,过点E 作EF⊥AB,F 为垂足.下列结论:①△ABD≌△EBC;②∠BCE+∠BCD=180°;③AD=AE=EC;④BA+BC=2BF.其中正确的是 .
三、解答题(第19~21题每题6分,第22,23题每题8分,其余每题10分,共64分)
19.(2025·淮安一模)已知:如图,点A,F,C,D在同一直线上,AB∥DE,AB=DE,AF=CD.求证:EF∥BC.
20.(2025·广东揭阳惠来期末)如图,点B,E,C,F 在一条直线上,AC与DE 相交于点O,AB=DE,AB∥DE,BE=CF.
(1)求证:AC∥DF;
(2)若∠B=65°,∠F=35°,求∠EOC 的度数.
21.(2025·河北廊坊安次区期末)如图(1),已知AB=AC,AD=AE
(1)求证:
(2)图(1)中还有没有其他全等的三角形 若有请写出并说明理由.
(3)如图(2),连接AF,AF 是不是 的平分线 请说明理由.
22.如图,在 中， 且. ,点 D 是AC 的中点, 于点F,交BC于点E,连接DE.求证:
23.(2025·内蒙古呼伦贝尔期末)如图,BP,CP 分别是 的一个内角及一个外角的平分线， AC,垂足为Q,连接AP.
(1)若 求 的度数；
(2)设BC=a,AC=b,AB=c,,求线段AQ,CQ 的长度(用含a,b,c 的式子表示).
24.如图,在△ABC中,∠C=90°,BD 是∠ABC 的平分线, 于点E,点 F 在 BC上,连接DF,且AD=DF.
(1)求证:CF=AE;
(2)若AE=3,BF=4,求AB 的长.
25.如图,AD 为△ABC 的角平分线.
(1)如图(1),若CE⊥AD 于点F,交AB 于点E,AB=7,AC=5,则BE= ;
(2)如图(2),若AB=7,AC=5,△ACD 的面积是10,求△ABC的面积;
(3)如图(3),若∠C=2∠B,AB=m,AC=n,请直接写出BD的长(用含m,n的式子表示).
26.为了解决一些较为复杂的数学问题，我们常常采用从特殊到一般的思想，先从特殊的情形入手，从中找到解决问题的方法.
已知:在四边形ABCD 中,AC平分∠BAD,∠B+∠D=180°.
(1)如图(1),当∠B=90°时,求证:CB=CD.
(2)如图(2),当∠B<90°时.
①求证:CB=CD;
②若AB=10cm,AD=6cm,∠B=45°,则点C到AB 的距离是 cm.
第十四章提优测评卷
1. C 2. D
3. B [解析]∵如图,两个三角形全等,∴∠1=∠2.
故选 B.
4. D
5. A [解析]∵△ABC≌△DEF,∴AC=DF,∴AF=DC.
∵AD=8,CF=2,
故选 A.
6. D [解析①∵∠BAC=∠DAE=90°,
∴∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD,即∠BAD=∠CAE.
在△BAD 和△CAE 中,
∴△BAD≌△CAE(SAS),∴BD=CE,该结论正确;
②∵AB=AC,∠BAC=90°,
∴∠ABC=∠ACB=45°,∴∠ABD+∠DBC=45°.
∵△BAD≌△CAE,∴∠ABD=∠ACE,
∴∠ACE+∠DBC=45°,该结论正确;
③∵∠ABD+∠DBC=45°,∴∠ACE+∠DBC=45°,
∴∠DBC+∠DCB=∠DBC+∠ACE+∠ACB=90°,
∴∠BDC=90°,即 BD⊥CE,该结论正确;
④∵∠BAC=∠DAE=90°,∴∠BAE+∠DAC=360°- ，故该结论正确.故选 D.
7. A [解析]延长 AD 至点E,使DE=AD,连接CE,如图.
∵AB 是BC 上的中线,∴BD=CD.
在△ABD 与△ECD 中,
∴△ABD≌△ECD(SAS),
∴CE=AB.
在△ACE中,AE-EC8. A [解析]过点 C 作 CM⊥y轴于点M,CN⊥x轴于点 N,如图,则∠CMA=∠CNB=90°.
∵C(4,4),∴CN=CM=4.
∵∠MON=∠CNO=∠CMO=90°,
∵∠ACB=90°,∴∠ACB=∠MCN,∴∠ACM=∠BCN.
在△ACM 和△BCN 中
∴△ACM≌△BCN(ASA),∴AM=BN,
∴OA+OB=OA+ON+BN=OA+ON+AM=ON+OM=4+4=8.故选 A.
关键提醒 本题考查了全等三角形的判定与性质，四边形的内角和定理，坐标与图形性质等知识，证明三角形全等是解题的关键.
9. B [解析]①∵∠C=∠D,AC=AD,AB=AE,
∴△ABC 和△AED 不一定全等,故①不符合题意;
②∵AC=AD,∠C=∠D,BC=DE,
∴△ABC≌△AED(SAS),故②符合题意;
③∵∠1=∠2,∴∠1+∠EAB=∠2+∠EAB,
∴∠CAB=∠DAE.
∵∠C=∠D,AC=AD,
∴△ABC≌△AED(ASA),故③符合题意;
④∵∠B=∠E,∠C=∠D,AC=AD,∴△ABC≌△AED(AAS),故④符合题意;故其中能使△ABC≌△AED 的条件有3个.故选 B.
10. D [解析]∵△ABC 的角平分线AE,BF 交于点O,
∴∠AOB=180°-(∠OAB+∠OBA)=180°-(90°- 故①正确；
如图(1),连接OC,作OL⊥AC 于点 L,OM⊥AB 于点 M.
∵AE 平分∠BAC,BF 平分∠ABC,AE 交 BF 于点O,且OD⊥BC于点D,∴OL=OM=OD=a,
故②错误；如图(2),在AB 上截取AH=AF,连接OH,
在△AOH 和△AOF 中
∴△AOH≌△AOF(SAS),∴∠AOH=∠AOF=60°,
∴∠BOH=∠AOB-∠AOH=60°,
∴∠BOH=∠BOE.
在△BOH 和△BOE 中,
∴△BOH≌△BOE(ASA),∴BH=BE,
∴AF+BE=AH+BH=AB,故③正确.故选 D.
11.2 [解析]∵点 P 是∠AOB 的平分线OC 上一点,PD⊥OB,PE⊥OA,PD=2,∴PE=PD=2.
12. AD=CF(答案不唯一) [解析]∵FC∥AB,∴∠A=∠ECF,∠ADE=∠F.
在△ADE 和△CFE 中,
∴△ADE≌△CFE(ASA),
∴要使△ADE≌△CFE，只需添加一个条件，则这个条件可以是AD=CF(答案不唯一).
13.50 [解析]∵AE⊥AB 且AE=AB,EF⊥FH,BG⊥FH,∴∠EAB=∠EFA=∠BGA=90°,
∴∠EAF+∠BAG=90°,∠ABG+∠BAG=90°,
∴∠EAF=∠ABG.
在△EFA 与△AGB 中,
∴△EFA≌△AGB(AAS),
∴AF=BG=3,EF=AG=6.
同理证得△BGC≌△CHD(AAS),得 GC=HD=4,BG=CH=3,
故FH=FA+AG+GC+CH=3+6+4+3=16,
故
6×3-3×4=50.
解后反思 本题考查的是全等三角形的判定与性质，关键是把不规则图形的面积转化成规则图形的面积.
14.10
15.5 [解析]∵∠BAC=90°,BD平分∠ABC,DE⊥BC,∴AD=DE.
在 Rt△ABD 和 Rt△EBD 中,
∴Rt△ABD≌Rt△EBD(HL),∴AB=BE.
∵△ABC 与△CDE 的周长分别为13 和3,
∴AB+BC+AC=AB+AC+BE+EC=13,DE+EC+DC=AD+EC+DC=AC+EC=3,
∴AB+BE=10,∴AB=BE=5.
16.1→倍长中线法构造全等三角形
∵D是BC边上的中点,∴CD=BD.
在△ECD 和△ABD 中
∴△ECD≌△ABD(SAS),∴EC=AB=7.
∵AC-EC∴9-7<2AD<9+7,∴1∴AD 的取值范围是117.α-β [解析]如图(1),在CD 上截取CH=CA,连接HF,BH.
∵AB∥CD,∴∠EAC=∠FCH.
∵AE=CF,∴△EAC≌△FCH(SAS),∴HF=CE,
∴BF+CE=BF+HF,
∴当B,F,H 三点共线时,BF+CE 的值最小.如图(2),当点 E在AB 上时,
∵△EAC≌△FCH,∴∠FHC=∠ACE=β.
∵AB∥CD,∴∠ABF=∠FHC=β,
∴∠CBF=∠ABC-∠ABF=α-β.
当E在AB 延长线上时,同理可得∠CBF=α-β.
综上可知:∠CBF=α-β.
18.①②③④ [解析]∵BD 为△ABC 的角平分线,∴∠ABD=∠EBC.
在△ABD 和△EBC 中,
∴△ABD≌△EBC(SAS),故①正确;
∴∠BCE=∠BDA.∵BD=BC,∴∠BDC=∠BCD.
∵∠BDC=∠ADE,∴∠BCD=∠ADE,
∴∠BCE+∠BCD=∠BDA+∠ADE=180°.故②正确；
∵BE=BA,∴∠BEA=∠BAE.
∵∠ABE=∠DBC,∠BDC=∠BCD,
∠ABE)=∠BEA,
易得AD=AE.
可过点 A 作AN⊥DE，由三角形全等证得
∵AD=EC,∴AD=AE=EC.故③正确;
如图,在 BA 上截取BG=BC,连接GE.
在△BGE 和△BCE 中
∴△BGE≌△BCE(SAS),
∴EG=EC,
∴EG=AE.
∵EF⊥AG,
易得GF=AF,
∴BA-BF=BF-BG,
∴BA+BG=2BF,
∴BA+BC=2BF.
故④正确.
方法技巧 与角平分线有关的两种辅助线：
(1)过角平分线上的点作角两边的垂线段；
(2)利用角平分线的对称性，构造全等三角形.
19.∵AB∥DE,∴∠A=∠D.
∵AF=CD,∴AF+CF=CD+CF,即AC=DF.
在△ABC 与△DEF 中
∴△ABC≌△DEF(SAS),
∴∠BCA=∠EFD,∴BC∥EF.
20.(1)∵AB∥DE,∴∠B=∠DEF.
∵BE=CF,∴BE+EC=CF+EC,∴BC=EF.
在△ABC 和△DEF中
∴△ABC≌△DEF(SAS),
∴∠ACB=∠F,∴AC∥DF.
(2)由(1)得∠B=∠DEF,∠ACB=∠F,
∴∠DEF=∠B=65°,∠ACB=∠F=35°.
在△EOC中,∠DEF+∠ACB+∠EOC=180°,
∴∠EOC=180°-∠DEF-∠ACB=180°-65°-35°=80°.
21.(1)在△ACD 和△ABE中
∴△ACD≌△ABE(SAS).
(2)还有△BDF≌△CEF,理由如下:
∵AB=AC,AD=AE.
∴AB-AD=AC-AE,即BD=CE.
由(1)可知△ACD≌△ABE,∴∠B=∠C.在△BDF 和△CEF 中 ∴△BDF≌△CEF(AAS).
(3)AF 是∠CAB 的平分线,理由如下:
由(2)可知△BDF≌△CEF,∴DF=EF.
在△ADF 和△AEF 中
∴△ADF≌△AEF(SSS),∴∠DAF=∠EAF,
∴AF 是∠CAB 的平分线.
22.如图,过点 C 作CM⊥AC,交 AE 的延长线于点 M,则
∴CM∥AB.∴∠MCE=∠ABC=∠ACB.
∵AE⊥BD,∠BAC=90°,
∴∠CAM+∠BAF=90°,∠ABD+∠BAF=90°,
∴∠ABD=∠CAM.
在△ABD 和△CAM中,
∴△ABD≌△CAM(ASA).
∴∠ADB=∠M,AD=CM.
∵D为AC的中点,∴AD=DC=CM.
在△CDE 和△CME 中,
∴△CDE≌△CME(SAS).
∴∠M=∠EDC,∴∠ADB=∠EDC.
23.(1)如图,过点 P 作PE⊥BD,垂足为 E,过点 P 作PF⊥BA,交 BA 的延长线于点F.
∵BP 平分∠ABE,∴PE=PF.
∵CP 平分∠ACE,PQ⊥AC,
∴PQ=PE,∴PQ=PF,∴AP 平分∠CAF.
∵∠BAC=60°,∴∠FAC=180°-∠BAC=120°,
(2)在 Rt△AFP 和 Rt△AQP 中,
∴Rt△AFP≌Rt△AQP(HL),∴AQ=AF.
在 Rt△CQP 和 Rt△CEP 中,
∴Rt△CQP≌Rt△CEP(HL),∴CQ=CE.
在Rt△BFP 和Rt△BEP 中,
∴Rt△BFP≌Rt△BEP(HL),∴BF=BE.
设AQ=AF=x,则CQ=CE=AC-AQ=b-x,
∴BF=AB+AF=c+x,BE=BC+CE=a+b-x,
24.(1)∵BD 是∠ABC 的平分线,∠C=90°,DE⊥AB,∴∠AED=90°,DE=DC.
在Rt△CDF 与 Rt△EDA 中,
∴Rt△CDF≌Rt△EDA(HL),∴CF=AE.
(2)∵CF=AE,AE=3,∴CF=3.
∵BF=4,∴BC=BF+CF=4+3=7.
∵DE⊥AB,∴∠DEB=90°.
∵∠C=90°,∴∠DEB=∠C.
∵BD 是∠ABC 的平分线,∴∠EBD=∠CBD.
在△BED 和△BCD 中
∴△BED≌△BCD(AAS),∴BE=BC=7,
∴AB=BE+AE=7+3=10.
25.(1)2 [解析]∵AD 是△ABC 的角平分线,∴∠BAD=∠CAD.
∵CE⊥AD,∴∠CFA=∠EFA.
在△AEF 和△ACF 中
∴△AEF≌△ACF(ASA),∴AE=AC.
∵AB=7,AC=5,
∴BE=AB-AE=AB-AC=7-5=2.
如图(1),过点 D 作DE⊥AC于点 E,DF⊥AB 于点 F,
∵AD 为△ABC 的角平分线,∴DF=DE.
∵AC=5,△ACD的面积是10,∴DE=4,∴DF=4,
(3)如图(2),在AB上取AN=AC,
∵AD 是△ABC的平分线,∴∠NAD=∠CAD.
在△ADN 和△ADC 中,
∴△ADN≌△ADC(SAS),
∴∠AND=∠C,DN=CD.
∵∠C=2∠B,∴∠AND=2∠B.
又∠AND=∠B+∠BDN,∴∠B=∠BDN,
∴BN=DN=AB-AN=AB-AC.
∵AB=m,AC=n,∴CD=DN=BN=m-n.
根据△ABD边AB上的高和△ACD 边AC上的高相等,
∴面积比等于 又 BD 和CD 上的高相等，∴面积比等于 可得
26.(1)∵∠B+∠D=180°,∠B=90°,∴∠D=90°.
∵AC 平分∠BAD,∴∠CAD=∠CAB.
∵AC=AC,
∴△ACD≌△ACB(AAS),∴CD=BC.
(2)①如图,过点 C 作CE⊥BA 于点E,过点 C 作CF⊥AD 交AD 延长线于点F.
∵CF⊥AD,CE⊥AB,∴∠F=∠AEC=90°.
∵AC平分∠BAD,∴∠CAF=∠CAE.
又AC=AC,∴△ACE≌△ACF(AAS).∴CE=CF.
∵∠B+∠ADC=180°,∠ADC+∠FDC=180°,
∴∠B=∠FDC.
∵∠CEB=∠F=90°,CE=CF,
∴△CBE≌△CDF(AAS),∴BC=CD.
②2 [解析]由①可知△ACF≌△ACE,△CDF≌△CBE,∴AF=AE,DF=BE,
∴AD+DF=AB-BE,即AD+BE=AB-BE.
∴2BE=AB-AD.
∵AB=10 cm,AD=6 cm,∴BE=2cm.
∵∠B=45°,∴△BCE 为等腰直角三角形,
∴CE=BE=2cm,∴点C到AB 的距离是 2cm.

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