资源简介

专题提优特训 8 与角平分线有关的综合题
题型1 角平分线与高线共存
1. (2024·江西南昌三中期末)如图,在△ABC 中,AD,AF 分别为△ABC 的中线和高,BE 为△ABD的角平分线.
(1)若∠BED=60°,∠BAD=40°,求∠BAF的大小；
(2)若△ABC 的面积为40,BD=5,求AF 的长.
2. (2024·河南漯河召陵区期末)如图,在△ABC 中,AD 为 BC 边上的高,AE 是∠BAD 的平分线,点 F 为AE 上一点,连接BF,∠BFE=45°.
(1)求证:BF 平分∠ABE;
(2)连接CF 交 AD 于点G,若S△ABF=S△CBF,求证:∠AFC=90°;
(3)在(2)的条件下,当 BE=3,AG=4.5时,求线段AB 的长.
题型2 角平分线与平行线共存
3. 如图,AD∥BC,∠D=90°,∠CPB=30°,∠DAB 的平分线与∠CBA 的平分线相交于点P，且D，P，C在同一条直线上.
(1)求∠PAD 的度数;
(2)求证:P 是线段CD的中点.
题型3 利用角平分线构造全等三角形
4. 如图,在△ABC 中,AB=AC,∠A=100°,BD 平分∠ABC.求证:BC=BD+AD.
1. (1)∵∠BED=∠ABE+∠BAE,
∵BE平分∠ABC,∴∠ABC=2∠ABE=40°.
∵AF 为高,∴∠AFB=90°,
(2)∵AD 为中线,∴BC=2BD=10.
2.(1)∵AE 是∠BAD的平分线,∴∠BAD=2∠BAF.
∵∠BFE=45°,∴∠FBA+∠BAF=45°,
∴2∠FBA+2∠BAF=90°.
∵AD 为BC 边上的高,
∴∠EBF+∠FBA+2∠BAF=90°,
∴2∠FBA=∠EBF+∠FBA,
∴∠EBF=∠FBA,∴BF 平分∠ABE.
(2)如图,过点 F 作 FM⊥BC 于点 M,FN⊥AB 于点N.
∵BF 平分∠ABE,FM⊥BC,FN⊥AB,
∴FM=FN.
∵S△ABF=S△CBF,
即 BC·FM,∴AB=BC,
在△ABF 和△CBF 中
∴△ABF≌△CBF(SAS),∴∠AFB=∠CFB.
∵∠BFE=45°,∴∠AFB=135°,∴∠CFB=135°,
∴∠CFE=∠CFB-∠BFE=90°,∴∠AFC=90°.
(3)∵△ABF≌△CBF,∴AF=FC.
∵∠AFC=∠ADC=90°,∠AGF=∠CGD,
∴∠FAG=∠FCE,
在△AFG 和△CFE 中,
∴△AFG≌△CFE(ASA),∴AG=EC=4.5.
∵BE=3,∴BC=BE+EC=7.5.
∵△ABF≌△CBF,∴AB=BC=7.5.
3.(1)∵AD∥BC,∠D=90°,
=60°.
∵PB 平分∠ABC,∴∠ABC=2∠PBC=120°.
∵AD∥BC,∴∠DAB+∠ABC=180°,
∵AP 平分
(2)过点 P 作PE⊥AB 于点E,如图.
∵AP 平分∠DAB,PD⊥AD,PE⊥AB,∴PE=PD.
∵BP 平分∠ABC,PC⊥BC,PE⊥AB,
∴PE=PC,∴PD=PC,∴P 是线段CD 的中点.
4. 如图,在 BC上截取 BE=BA,延长 BD 到点 F,使 BF=BC,连接DE,CF.
∵BD 平分∠ABC,
∴∠1=∠2.
又BD 是公共边，
BE= BA,∴△ABD≌△EBD(SAS),
∴ DA = DE,∠DEB=∠A.
∵∠A=100°,∠DEC+∠DEB=180°,
∴∠DEB=100°,∠DEC=80°.
∵AB=AC,BD平分∠ABC,
∵BC=BF,∠2=20°,
∴∠F=∠DEC.
又DC=DC,∴△DCE≌△DCF(AAS).∴DF=DE=AD.∴BC=BF=BD+DF=BD+AD.
难点突破 本题需要利用角平分线的对称性作出辅助线，然后通过三角形的内角和，全等三角形的判定和性质来解决问题.

展开更多......

收起↑