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14.3 角的平分线
第 1 课时 角的平分线的性质
基础巩固提优
1. (2024·绵阳中考)如图,在△ABC 中,AB=5,AD平分∠BAC交BC 于点D,DE⊥AC,垂足为E,△ABD 的面积为5,则 DE 的长为( ).
A. 1 B. 2 C. 3 D. 5
2.(2025·湖北武汉期末)如图,已知△ABC 的周长是18,∠ABC 和∠ACB 的平分线交于点O,OD⊥BC 于点D,若OD=3,则△ABC 的面积是
3.如图所示，已知△ABC，用直尺和圆规作∠C的平分线CE.(保留作图痕迹，不要求写作法)
4. 如图,在△ABC 中,∠C=90°,AD 平分∠CAB,DE⊥AB 于点 E,点 F在边AC上,BE=FC.求证:BD=DF.
思维拓展提优
5. (2025·湖北孝感安陆期中)如图,点 I 是△ABC 三条角平分线的交点，△ABI 的面积记为S ，△ACI 的面积记为S ,△BCI 的面积记为S ,且 关于 的值可能为（ ）.
A. 8 B. 10
C. 14. D.以上都有可能
6.(2025·浙江湖州龙山中学月考)如图，△ABC 的角平分线 BD,CE 交于点O,延长 BC 至F,CG 与BD的延长线相交于点G,且∠A=2∠G,OD : DG=3 : 4,若△DOC 的面积为 6,CG=10,则线段CO的长度为 .
7. 如图,在△ABC 中,∠B=60°,AD,CE 是△ABC 的角平分线,且交于点 O.求证:AC=AE+CD.
8. (2025·湖北宜昌期中)如图,在△ABC 中,AD 是角平分线.求证：S△ABD :S△ACD=AB:AC.
(1)在图(1)中完成上面的证明过程；
(2)在图(2)中,AD 是△ABC外角平分线,如果AB=10,AC=4,BC=7,求 BD 的长.
延伸探究提优
9.面积法 我们已经学习过角平分线的性质定理，即角平分线上的点到角两边的距离相等.
如图,已知△ABC 的角平分线 BD 交边AC于点D.
(1)求证:
(2)求证:
(3)如果 BC=4,AB =6,AC=5,那么 CD= .
10. (2024·湖北黄冈期末)如图(1),在△ABC 中,∠ACB 是直角,∠B=60°,AD,CE 分别是∠BAC,∠BCA 的平分线,AD,CE 相交于点 F,且 FG⊥AB 于点G,FH⊥BC 于点 H.
(1)求证:∠BEC=∠ADC.
(2)请你判断FE 与FD 之间的数量关系，并证明.
(3)如图(2),在△ABC中,如果∠ACB 不是直角,∠B =60°,AD,CE 分别是∠BAC,∠BCA 的平分线,AD,CE 相交于点 F.请问，你在(2)中所得结论是否仍然成立 若成立，请证明；若不成立，请说明理由.
第2课时角的平分线的判定
基础巩固提优
1.在正方形网格中，∠AOB 的位置如图所示，到∠AOB 两边距离相等的点应是（ ）.
A. M 点 B. N 点 C. P 点 D. Q点
2. 如图,∠AOB=60°,CD⊥OA 于点 D,CE⊥OB于点E,且CD=CE,则∠DOC= .
3. 如图,已知DB⊥AE 于点 B,DC⊥AF 于点 C,且 DB=DC,∠BAC=40°,∠ADG=130°,则∠DGF= .
4. 如图,已知BE⊥AC,CF⊥AB,垂足分别为 E,F,BE,CF 相交于点 D,若BD=CD.求证:AD 平分∠BAC.
思维拓展提优
5. (2025·黑龙江绥化海伦期末)如图,直线l ,l ,l 表示三条公路.现要建造一个中转站 P，使P 到三条公路的距离都相等，则中转站 P 可选择的点有（ ）.
A.一处 B.二处 C.三处 D.四处
6. (2025·河南安阳期末)如图,△ABC 中,∠ABC,∠EAC 的平分线 BP,AP 交于点 P,延长BA,BC,PM⊥BE,PN⊥BF,则下列结论中正确的个数为（ ）.
①CP 平分∠ACF;②∠ABC+2∠APC=180°;③∠ACB=2∠APB;④S△PAC=S△MAP+S△NCP.
A. 1 B. 2
C. 3 D. 4
7. 如图,O是△ABC 内一点,且O到△ABC 三边AB,BC,CA 的距离相等,即OE=OD=OF,若∠BAC=70°,则∠BOC= .
8.(2025·山东德州期中改编)如图,△ABC 两个外角的平分线 BD 与CE 相交于点 P,PN⊥AC 于点 N,PM⊥AB 于点 M,且 BD∥AC,小明同学得出了下列结论:①PM=PN;②点 P 在∠CAB 的平分线上;③∠CPB=90°-∠A;④∠A=∠ACB.其中正确的是 .
9. (2025·上海杨浦区期末)如图,已知∠B=∠C=90°,M 是 BC 的中点,DM平分∠ADC.求证:
(1)AM平分∠DAB;
(2)DM⊥AM.
10. (2025·浙江宁波余姚期末)如图,在△ABC 中,点 D在BC 边上,∠BAD=100°,∠ABC 的平分线交AC 于点 E,过点 E 作EF⊥AB,垂足为 F,且∠AEF=50°,连接 DE.
(1)求证:AE平分∠FAD;
(2)求证:DE 平分∠ADC;
(3)若AB=7,AD=4,CD=8,S△ACD=15,求△ABE 的面积.
延伸探究提优
11. (1)如图(1)，用尺规作△ABC 的两个内角∠A,∠B 的平分线,设交点为O，点O在∠C 的平分线上吗 试说明你的猜想，你有什么发现
(2)如图(2),用尺规作△ABC 的两个外角∠BAE,∠ABF 的平分线,设交点为O,点 O在∠C 的平分线上吗 试说明你的猜想，你有什么发现
(3)请用你的发现解决下面的实际问题：如图(3)，直线l ，l ，l 表示三条互相交叉的公路，现要建一个加油站，要使它到三条公路的距离相等，画出符合要求的点的位置，共有几个
14.3 角的平分线
第 1课时 角的平分线的性质
1. B [解析]过点 D 作DF⊥AB 于F,如图.
∵AD平分∠BAC,DE⊥AC,DF⊥AB,∴DE=DF.
∵△ABD 的面积为5
∵AB=5,∴DF=2,∴DE=2.故选B.
方法技巧解答本题需要过角平分线上的点作AB 的垂线段，构造角平分线的基本图形，然后再用面积来进行计算.
2.27 [解析]过点O 作 OE⊥AB于点 E,过点O作OF⊥AC 于点F，如图所示.
∵点O 为∠ABC 与∠ACB 的平分线的交点,且OD⊥BC,∴OE=OD=OF.
∵OD=3,△ABC的周长为18,
名师点评 本题运用了“等积法”：对于一个几何图形，如果我们从不同的角度来分别计算图形的面积，这样就可以把几何图形的数量关系用等式表示出来，这样就能求出与垂线段有关的计算，或是能把一些重要的代数结论找出来.
3.如图所示.
4. ∵AD平分∠CAB,DE⊥AB,∠C=90°,∴DC=DE.
在△DCF 和△DEB 中, ∴△DCF≌△DEB(SAS).∴BD=DF.
5. C [解析]∵点I是△ABC三条角平分线的交点,
∴△ABI,△ACI 和△BCI 的边AB,AC 和BC 边上的高相等.
设△ABI,△ACI 和△BCI 的高为h,
由三角形三边关系得.
，故 的值可能为14，选项C符合题意，选项 A，B，D不符合题意.故选 C.
思路引导 解答本题的突破口是需要根据角平分线的性质得出△ABI,△ACI 和△BCI 的边 AB,AC 和 BC 边上的高相等，然后再利用面积法来解决问题.
6. [解析]设∠G=α,∠ABD=β,过点 C 作CQ⊥BD于Q.
∵BD 平分∠ABC,∠A=2∠G,
∴∠ABC=2β,∠DBC=∠ABD=β,∠A=2∠G=2α,
∴∠ACF=∠A+∠ABC=2α+2β,∠GCF =∠G+∠GBC=α+β,∴∠ACG=∠GCF= ∠ACF.
∵CE 平分∠
∵△DOC 的面积为6,∴S△CD=8,
∵∠ECG=90°,
7.如图,在 AC 上取点 F,使AF=AE,连接OF.
∵AD 平分∠BAC,
∴∠EAO=∠FAO.
在△AEO 和△AFO中,
∴△AEO≌△AFO(SAS).∴∠AOE=∠AOF.
∵AD,CE 分别平分∠BAC,∠ACB,∠B=60°,
∠B)=60°,∠FCO=∠DCO,
∴∠AOE=∠COD=∠AOF=60°.
∴∠COF=180°-∠AOE-∠AOF=60°.
∴∠COD=∠COF.
在△FOC 和△DOC中
∴△FOC≌△DOC(ASA).∴DC=FC.
∴AC=AF+FC=AE+CD.
方法诠释 本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理，三角形外角的性质.利用截长补短的方法解题是关键.
8.(1)如图(1),过点 D 作 DE⊥AB 于点E,DF⊥AC交AC的延长线于点F.
∵AD 平分∠BAC,∴DE=DF,
(2)如图(2),过点 D 作 DM⊥AE 于点 M,DN⊥AC 于点N.
∵AD平分∠EAC,∴DM=DN,
9.(1)如图,过点 D 作DF⊥BC 于点 F,DH⊥AB 于点 H.
∵BD 是△ABC的角平分线,
∴DF=DH,
(2)如图,作 BE⊥CA 于点E.
(3)2 [解析]·
10.(1)在 Rt△ABC 中,∠ACB=90°,∠ABC=60°,
∴∠BAC=30°.
∵AD,CE 分别是∠BAC,∠BCA 的平分线,
∴∠CDA=∠BAD+∠ABD=75°,∠BEC=∠BAC+∠ECA=75°,∴∠BEC=∠ADC.
(2)FE=FD.证明如下:
如图(1),连接BF,
∵F 是角平分线交点，∴BF 也是角平分线，
∴HF=FG,∠DHF=∠EGF=90°.
由(1)得∠HDF=∠GEF.
在△DHF 和△EGF中
∴△DHF≌△EGF(AAS),∴FE=FD.
(3)成立.理由如下：
如图(2),过点 F 作 FM⊥BC 于点 M.作 FN⊥AB 于点N，连接BF.∵F 是角平分线交点，∴BF 也是角平分线，∴MF=FN,∠DMF=∠ENF=90°.
∵∠CFA = 180° (∠FAC + ∠FCA) = 180°
∴∠DFE=∠CFA=∠MFN=120°.
又∠MFN=∠MFD+∠DFN,
∠DFE=∠DFN+∠NFE,
∴∠DFM=∠EFN.
在△DMF 和△ENF 中
∴△DMF≌△ENF(ASA),∴FE=FD.
第2课时 角的平分线的判定
1. A
2.30° [解析]∵CD⊥OA 于点 D,CE⊥OB 于点E,CD=CE,∴OC平分∠AOB,
3.150°[解析]∵DB⊥AE 于点B,DC⊥AF 于点C,DB=DC,∴AD平分∠BAC.
∴∠DGF=∠CAD+∠ADG=20°+130°=150°.
4.∵BE⊥AC,CF⊥AB,∴∠BFD=∠CED=90°.在△BDF 与△CDE 中, ∴△BDF≌△CDE(AAS).∴DF=DE,∴AD平分∠BAC.
5. D[解析]如图，满足条件的有：
(1)三角形两个内角平分线的交点，共一处；
(2)三个外角两两平分线的交点，共三处.故选 D.
6. D [解析]①如图,过点 P 作PD⊥AC 于D.
∵ PB 平 分 ∠ABC, PA 平 分∠EAC,PM⊥BE,PN⊥BF,PD⊥AC,∴PM=PN,PM=PD,
∴PN=PD.
∵PN⊥BF,PD⊥AC,∴点 P 在∠ACF 的平分线上,即 CP 平分∠ACF,故①正确;
②∵PM⊥AB,PN⊥BC,
∴∠ABC+∠MPN=180°.
在Rt△PAM 和Rt△PAD 中,
∴Rt△PAM≌Rt△PAD(HL),∴∠APM=∠APD.
同理:Rt△PCD≌Rt△PCN(HL),
∴∠CPD=∠CPN,∴∠MPN=2∠APC,
∴∠ABC+2∠APC=180°,故②正确;
③∵PA平分∠CAE,BP 平分∠ABC,∴∠CAE=∠ABC+
∴∠ACB=2∠APB,故③正确;
④由②可知 Rt△PAM≌Rt△PAD(HL),Rt△PCD≌
Rt△PCN(HL),∴S△APD=S△APM,S△CPD=S△CPN,∴S△APM+S△CPN=S△APC,故④正确.故选 D.
7.125°[解析]∵点O 到△ABC 三边AB,BC,CA 的距离相等,即OE=OD=OF,
∴点O是△ABC 三条角平分线的交点.
∵∠BAC=70°,∴∠ABC+∠ACB=180°-70°=110°,
55°.在△OBC 中,.
8.①②④ [解析]如图,过 P 作 PK⊥BC 于K.
∵PB 平分∠CBM,PC 平分∠BCN,PN⊥AC 于点 N,PM⊥AB 于点M,∴PM=PK,PN=PK,
∴PM=PN,∴点 P 在∠CAB 的平分线上,故①②符合题意；
∵BD∥AC,∴∠MBP=∠A,∠PBC=∠ACB.
∵PB平分∠MBC,∴∠MBP=∠PBC,∴∠A=∠ACB,故④符合题意；
∵PB 平分∠CBM,PC 平分∠BCN.
∵∠MBC=∠A+∠ACB,∠BCN=∠A+∠ABC,
故③不符合题意.
∴其中正确的是①②④.
思路引导 解答本题的关键是需要过 P 作 PK⊥BC 于K，然后由角平分线的性质和判定定理推出点 P 在∠CAB的平分线上，再由平行线的性质、角平分线定义、三角形的外角性质、三角形内角和定理进行一步推理和计算.
9.(1)如图,过点 M 作ME⊥AD,垂足为E.
∵DM平分∠ADC,∠C=90°,
∴∠1=∠2,ME=MC.
∵M 是 BC 的中点,∴MC = MB,∴ME=MB.
∵MB⊥AB,ME⊥AD,∴AM 平分∠DAB.
(2)∵∠B=∠C=90°,∴DC⊥CB,AB⊥CB,
∴CD∥AB,∴∠CDA+∠DAB=180°.
∴2∠1+2∠3=180°,∴∠1+∠3=90°,
∴∠AMD=90°,即 DM⊥AM.
(1)∵EF⊥AB,∴∠AFE=90°.
∵∠AEF=50°,
∵∠BAD=100°,
∴AE 平分∠FAD.
(2)如图,过点 E作EM⊥AD 于M,EN⊥BC 于N,
∵BE 平分∠ABC,EF⊥AB,∴EF=EN.
∵AE 平分∠DAF,EF⊥AB,EM⊥AD,
∴FE=EM,∴EM=EN.
∵EM⊥AD,EN⊥CD,∴DE 平分∠ADC.
(3)∵△ACD 的面积=△ADE 的面积+△CDE 的面积,
∴△ABE 的面积
11. (1)如图(1),点O 在∠ACB 的平分线上.由此可以得到三角形的三条内角平分线相交于一点 O，点O 到三角形三条边的距离相等.
(2)如图(2)，点O在∠C 的平分线上.由此可以得到点O到三角形三条边的距离相等.
(3)如图(3),符合条件的点有4个:点G,H,I,J.

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