资源简介

14.1~14.2阶段巩固提优
基础综合
题型1 全等三角形的性质
1.(2025·山东潍坊期末)如图，在平面直角坐标系中，点A,B的坐标分别是(2,0),(0,3),若△AOB≌△DCA,则点 D 的坐标是( ).
A. (5,3) B. (5,2) C. (2,5) D. (3,5)
2. (2025·安徽亳州利辛期末)如图,△ABC≌△ADE,∠CAE=90°,AB=2,则图中阴影部分的面积为( ).
A. 2 B. 3
C. 4 D.无法确定
3.(2025·浙江杭州临平区期末)如图，已知图中的两个三角形全等，则∠α的度数是（ ）.
A. 72° B. 60° C. 50° D. 48°
4.如图，方格纸中是9个完全相同的正方形，则∠1+∠2的值为 .
题型2 全等三角形的判定
5. (2025·江苏南京鼓楼区期末)如图,∠ABC=∠BAD,添加下列条件不一定得到△ABC≌△BAD 的是( ).
A. ∠CAB=∠DBA B. ∠C=∠D
C. AC=BD D. AD=BC
6.(2024·浙江台州期末)下列数据不能确定△ABC形状和大小的是（ ）.
A. AB=6,∠C=60°,∠B=40°
B. AB=5,BC=3,∠C=90°
C. ∠C=60°,∠B=70°,∠A=50°
D. AB=7,BC=5,AC=10
7.(2025·江苏南京鼓楼区期中)如图，△DEF 的3个顶点分别在小正方形的顶点(格点)上，这样的三角形叫作格点三角形.若要在图中再画1个格点三角形 ABC,使△ABC≌△DEF,则这样的格点三角形最多可以画 个.
8.(2025·山东淄博期中)如图，四边形AB-CD中,对角线AC,BD 交于点O,AB=AC,点 E 是 BD 上一点,且∠ABD=∠ACD,∠EAD=∠BAC.
(1)求证:AE=AD;
(2)若 BD=8,DC=5,求ED 的长.
思维拓展
9.(2025·河北石家庄藁城区期末)如图,在△ABC 和△ADE中,AB=AD,AC=AE,∠1=∠2,AD,BC 相交于点F.
(1)求证:∠B=∠D;
(2)若AB∥DE,∠D=40°,求∠AFB 的度数.
10. (2025·广东梅州五华期末)如图,在△ABC 中,D是BC 延长线上一点，满足 CD=AB，过点C作CE∥AB 且CE=BC,连接 DE 并延长,分别交AC,AB 于点 F,G.
(1)求证:△ABC≌△DCE;
(2)若∠B =60°,∠D =22°,求∠AFG 的度数.
11. (2025·重庆大足区期末)如图,在 Rt△ABC 中,∠ACB = 90°,在 Rt△ECD 中,∠ECD =90°,BC=CD,∠BAC=∠DEC.
(1)求证:AB=DE;
(2)连接AD,连接BE交AC 于点F,若点 F恰好是BE 的中点,求证:AD=2CF.
12. (2025·安徽合肥瑶海区期末)如图(1),在△ABC中,D 为 BC 上一点,且∠ADC=60°,∠ACB 和∠CAD 的平分线 CF,AE 交于点 M,CF 与AD交于点G.
(1)求∠AMC 的度数;
(2)连接 BM,交 AD 于点 H,若∠BME=60°,如图(2),求证:△AHM≌△BCM.
13.在正方形 ABCD 中,∠MAN=45°,∠MAN绕点 A 顺时针旋转，它的两边分别交 CB，DC(或它们的延长线)于点 M，N.如果∠MAN 在如图(1)所示的位置时,有 BM+DN=MN 成立(不必证明).请问当∠MAN绕点A 旋转到如图(2)所示的位置时，线段BM，DN 和MN 之间又有怎样的数量关系 请说明理由.
14. (2024·菏泽郓城一模)如图,∠BAD=∠CAE=90°,AB=AD,AE=AC,AF⊥CB,垂足为F.
(1)求证:△ABC≌△ADE;
(2)求∠FAE 的度数;
(3)求证:CD=2BF+DE.
15. 在△ABC 和△DCE 中,CA=CB,CD=CE,∠CAB=∠CED=α.
(1)如图(1),将 AD,EB 延长,延长线相交于点O.
①求证:BE=AD;
②用含α的式子表示∠BOA 的度数(直接写出结果)；
(2)如图(2),当α=45°时,连接 BD,AE,作CM⊥AE 于点 M,延长 MC 与 BD 交于点N,求证:N 是BD 的中点.
1. B [解析]∵点A,B 的坐标分别是(2,0),(0,3),
∴OA=2,OB=3.
∵△AOB≌△DCA,
∴AC=OB=3,CD=OA=2,∠DCA=∠AOB=90°,
∴OC=AO+AC=5,∴点D 的坐标是(5,2).故选 B.
2. A [解析]∵△ABC≌△ADE,AB=2,
∴S△ABC=S△ADE,AB=AD=2,∠BAC=∠DAE.
∵∠CAE=90°,∴∠BAD=∠CAE=90°,
故选A.
3. D 4.90°5. C 6. C 7.7
8.(1)∵∠BAC=∠EAD,
∴∠BAC-∠EAC=∠EAD-∠EAC,
即∠BAE=∠CAD.
在△ABE 和△ACD 中,
∴△ABE≌△ACD(ASA),∴AE=AD.
(2)∵△ABE≌△ACD,∴BE=CD.
∵BD=8,DC=5,
∴ED=BD-BE=BD-CD=8-5=3.
9.(1)∵∠1=∠2,∴∠1.+∠CAD=∠2+∠CAD,∴∠CAB=∠EAD.
在△ABC 和△ADE 中,
∴△ABC≌△ADE(SAS).∴∠B=∠D.
(2)∵AB∥DE,∴∠2=∠D=40°,由(1)可知,∠B=∠D=40°, .
10.(1)∵CE∥AB,∴∠B=∠DCE.
在△ABC 与△DCE中
∴△ABC≌△DCE(SAS).
(2)∵△ABC≌△DCE,∠B=60°,∠D=22°,
∴∠ECD=∠B=60°,∠A=∠D=22°.
∵CE∥AB,∴∠ACE=∠A=22°.
∴∠AFG=∠DFC=∠CED-∠ACE=98°-22°=76°.
11. (1)∵∠ACB=90°,∠ECD=90°,∴∠ACB=∠ECD在△ACB 和△ECD 中. ∴△ACB≌△ECD(AAS),∴AB=DE.
(2)如图,过点 E 作 EG∥CB 交AC 于点G,
∴∠EGC=∠ACB.
∵F是BE 的中点,∴EF=BF.在△EGF 和△BCF 中,
∴△EGF≌△BCF(AAS),
∴EG=BC,GF=CF,∴GC=2CF.
∵DC=BC,∴EG=CD.
∵EG∥CB,∴∠GEC+∠BCE=180°.
∵∠ACB=∠ACD+∠DCB=90°,∠ECD=90°,
∴∠ACB+∠ECD=∠ACD+∠DCB+∠ECD=∠ACD+∠ECB=180°,∴∠GEC=∠ACD.
∵△ACB≌△ECD,∴AC=EC.
在△GEC 和△DCA 中.
∴△GEC≌△DCA(SAS),∴GC=AD.
∵GC=2CF,∴AD=2CF.
12.(1)∵D为BC 上一点,且
∴∠ACD+∠CAD=180°-∠ADC=120°.
∵∠ACB 和∠CAD 的平分线CF,AE 交于点M,
∠CAD)=60°,
∴∠AMC 的度数是 120°.
(2)由(1)得∠AMF=60°,∠AMC=120°,
∴∠CME=∠AMF=60°,∠FME=∠AMC=120°,
∵∠BME=60°,∴∠BMC=∠BME+∠CME=120°,∠HMF=∠FME-∠BME=60°,
∴∠AMH=∠AMF+∠HMF=120°,
∴∠AMH=∠BMC,∠AMC=∠BMC.
∵CF 平分∠ACB,AE 平分∠CAD,
∴∠ACM=∠BCM,∠CAM=∠HAM.
在△ACM和△BCM中,
∴△ACM≌△BCM(ASA),
∴AM=BM,∠CAM=∠CBM,
∴∠HAM=∠CBM.
在△AHM 和△BCM 中,
∴△AHM≌△BCM(ASA).
13. DN-BM=MN.理由如下:
如图,在 DC 上截取DE=BM,连接AE.
在△ADE 和△ABM中,
∴△ADE≌△ABM(SAS),
∴AE=AM,∠1=∠4.
∵∠1+∠2=45°,
∴∠MAN=∠EAN.
在△AEN 和△AMN 中,
∴△AEN≌△AMN(SAS),∴MN=EN,
∴MN=EN=DN-DE=DN-BM.
14. (1)∵∠BAD=∠CAE=90°,
∴∠BAC+∠CAD=90°,∠CAD+∠DAE=90°,
∴∠BAC=∠DAE,
在△ABC 和△ADE 中
∴△ABC≌△ADE(SAS).
(2)∵∠CAE=90°,AC=AE,∴∠E=45°.
由(1)知△BAC≌△DAE,∴∠BCA=∠E=45°.
∵AF⊥BC,∴∠CFA=90°,∴∠CAF=45°,
∴∠FAE=∠FAC+∠CAE=45°+90°=135°.
(3)如图,延长BF 到点G,使得 FG=FB,连接GA.
∵AF⊥BG,∴∠AFG=∠AFB=90°,在△AFB 和△AFG中
∴△AFB≌△AFG(SAS),
∴AB=AG,∠ABF=∠G.∵△BAC≌△DAE,
∴AB=AD,∠CBA=∠EDA,CB=ED,
∴AG=AD,∠ABF=∠CDA,∴∠G=∠CDA.
在△CGA 和△CDA 中.
∴△CGA≌△CDA(AAS),∴CG=CD.
∵CG=CB+BF+FG=CB+2BF=DE+2BF,
∴CD=2BF+DE.
(1)①∵CA=CB,CD=CE,∠CAB=∠CED=α,
∴∠ACB=∠DCE.
∴∠ACB-∠DCB=∠DCE-∠DCB.
∴∠ACD=∠BCE.
在△ACD 和△BCE 中
∴△ACD≌△BCE(SAS).∴BE=AD.
②∵△ACD≌△BCE,
∴∠CAD=∠CBE=α+∠BAO.
∵∠ABE = ∠BOA +∠BAO,∴∠CBE +∠ABC =∠BOA+∠BAO,∴∠BAO+α+α=∠BOA+∠BAO,
∴∠BOA=2α.
(2)如图,作BP⊥MN 交MN 的延长线于点 P,作 DQ⊥MN 于点Q.
∵CA=CB,∠CAB=45°,
∵∠BCP+∠ACM=∠CAM+∠ACM=90°,
∴∠BCP=∠CAM.
在△CBP 和△ACM中,
∴△CBP≌△ACM(AAS),
∴MC=BP.
同理可证CM=DQ,∴DQ=BP.
在△BPN 和△DQN 中.
∴△BPN≌△DQN(AAS),∴BN=ND,
∴N是BD 的中点.

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