资源简介

湖南省衡阳八中教育集团2025-2026学年九年级（上）入学数学试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.使分式有意义的条件是( )
A. B. C. D.
2.苔：“白日不到处，青春恰自来苔花如米小，也学牡丹开”歌颂了苔在恶劣环境下仍有自己的生命意向苔花的花粉粒直径约为米，用科学记数法表示为，则为( )
A. B. C. D.
3.在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是( )
A. B. C. D.
4.下列命题正确的是( )
A. 对角线互相平分的四边形是平行四边形 B. 对角线相等的四边形是矩形
C. 对角线互相垂直的四边形是菱形 D. 对角线相等且互相垂直的四边形是正方形
5.用配方法解方程，配方后的方程是( )
A. B. C. D.
6.反比例函数图象上有三个点，，，其中，则，，的大小关系是( )
A. B. C. D.
7.如图，尺规作图：在的两边上分别截取，，使；分别以点，为圆心，长为半径作弧，两弧交于点；连接，，，若，四边形的面积为则的长为( )
A. B. C. D.
8.某校八年级学生去距离学校的游览区游览，一部分学生乘慢车先行，出发后，另一部分学生乘快车前往，结果他们同时到达．已知快车的速度是慢车速度的倍，求慢车的速度．设慢车的速度是，所列方程正确的是( )
A. B. C. D.
9.如图，点在的边上，要判断≌，添加下列一个条件，不正确的是( )
A.
B.
C.
D.
10.如图，在正方形中，点，分别在边，上，且，连接，，平分交于点，若，则的度数为( )
A.
B.
C.
D.
二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。
11.若分式的值为，则的值为 ．
12.计算： ______．
13.已知一次函数与是常数，的图象的交点坐标是，则方程组的解是 ．
14.如图，点在反比例函数的图象上，轴于点，是点关于原点的对称点，连接，则的面积为______．
15.如图，在中，，于点，若，，则______．
16.如图，在矩形中，对角线、交于点，已知，，则的长为______．
17.如图，在平面直角坐标系中，已知，，过点作轴的垂线，为直线上一动点，连接，，则的最小值为______．
18.如图，在平面直角坐标系中， 的面积为，且边在轴上如果将直线沿轴正方向平移，在平移过程中，记该直线在轴上平移的距离为，直线被平行四边形的边所截得的线段的长度为，且与的对应关系如图所示，那么的值是______．
三、解答题：本题共8小题，共66分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.本小题分
计算：．
20.本小题分
先化简，再求值：，其中．
21.本小题分
某中学一班共名同学开展了“我为灾区献爱心”的活动，活动结束后，班长将捐款情况进行了统计，并绘制成下面的统计图．
这组数据的众数是______，中位数是______．
求这名同学捐款的平均数；
该校共有学生名，请根据该班的捐款情况，估计这个中学的捐款总数大约是多少元？
22.本小题分
紫外线杀菌灯的电阻随温度的变化的大致图象如图所示通电后温度由室温上升到时，电阻与温度成反比的函数关系且在温度达到时，电阻下降到最小值，随后电阻随温度升高而增加，温度每上升，电阻增加．
当时，求与之间的关系式．
紫外线杀菌灯在使用过程中，温度在什么范围内时，电阻不超过．
23.本小题分
如图，四边形是平行四边形，的角平分线交于点，交的延长线于点．
求证：；
若恰好平分，连接、，求证：四边形是平行四边形．
24.本小题分
某学校准备从甲、乙两家网店购入若干教学用品，该教学用品在两家网店的标价均为元件，但两店进行不同的促销活动：甲网店一次性购买金额不超过元的按原价购买，超过元的部分按标价的六折出售；乙网店商品全部按标价的八折出售．
若该校需要购买件教学用品，则在甲网店需花费______元；在乙网店需花费______元
若学校计划购买教学用品件，设在甲网店花费元，在乙网店花费元，请求出，关于的函数解析式．
假如你是学校采购员，你认为选择哪家网店花费较少？
25.本小题分
问题解决：如图，在矩形中，点，分别在，边上，，于点．
求证：四边形是正方形；
延长到点，使得，判断的形状，并说明理由．
类比迁移：如图，在菱形中，点，分别在，边上，与相交于点，，，，，求的长．
26.本小题分
【阅读理解】
定义：在同一平面内，有不在同一条直线上的三点，，，连接，，设
线段，的夹角为，，则我们把称为的“度比坐标”，把
称为的“度比坐标”．
【迁移应用】
如图，在平面直角坐标系中，直线与轴相交于点，与轴相交于点．
求点的坐标，并写出的“度比坐标”用含的代数式表示；
，为直线上的动点点在点左侧，且的“度比坐标”为．
若，求的长；
在的条件下，平面内是否存在点，使得的“度比坐标”与的“度比坐标”相等？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
参考答案
1.
解：由题意得：，
解得：，
故选：．
2.
解：，
则为，
故选：．
3.
解：在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是．
故选：．
4.
解：、对角线互相平分的四边形是平行四边形，故A正确；
B、对角线互相平分且相等的四边形是矩形，故B错误；
C、对角线互相平分且垂直的四边形是菱形，故C错误；
D、对角线互相平分且相等且互相垂直的四边形是正方形，故D错误；
故选：．
5.
解：，
，
，
，
故选：．
6.
解：，反比例函数图象位于第一、三象限，在每个象限内，随着的增大而减小，
，
，
，
，
．
故选：．
7.
解：由作法得，
四边形为菱形，
四边形的面积为，
，
即，
解得，
即的长为．
故选：．
8.
解：设慢车的速度为，
根据题意可列方程为：．
故选：．
9.
解：在和中，，
当时，满足两组角对应相等，可判断∽，故A正确；
当时，满足两组角对应相等，可判断∽，故B正确；
当时，其夹角不相等，则不能判断∽，故C不正确；
当时，满足两边对应成比例且夹角相等，可判断∽，故D正确；
故选：．
10.
解：四边形是正方形，
，，，
，
，
≌，
，
，
平分，
，
．
故选：．
11.
解：由题意可得且，
解得．
故答案为．
12.
解：
．
故答案为：．
13.
解：一次函数与是常数，的图象的交点坐标是，
联立与的方程组的解为：，
故答案为：．
14.
解：设，则，，
，，
，
点在反比例函数的图象上，
，
．
故答案为：．
15.
解：，
，
，
，
，
，
∽，
，即，
解得，，
故答案为：．
16.
解：四边形为矩形，
，，且，，
，
又，
为等边三角形，
，
在直角三角形中，，，
，
，
．
故答案为：．
17.
解：取点，连接，，如图，
，过点作轴的垂线，
点与点关于直线对称，
，
，
即的最小值为的长，
在中，
，，
由勾股定理，得，
的最小值为．
故答案为：．
18.
解：在图中，过点，，作直线与已知直线平行，交轴于点，，
在图中，取，，，，
图中点对应图中的点，得出，
图中点对应图中的点，得出，，则，
图中点对应图中的点，得出，
图中点对应图中的点，得出，
，
由图知，
，，
的面积为，，
，
在中，，
，
，
．
故答案为：．
19.解：原式
．
20.解：原式
，
当时，原式．
21.解：观察统计图可知，捐款元的人数最多，为人，所以众数是元，
一共有个数据，将捐款金额从小到大排列后，第、个数据的平均数就是中位数，
从图中可知，捐款元的有人，捐款元的有人，
那么前人捐款金额小于元，第到人捐款元，
第个和第个数据都是元，中位数为元，
故答案为：元，元；
捐款总数为
元，
平均数为元；
已知该校共有学生名，该班同学捐款平均数为元，
元，
答：估计这个中学的捐款总数大约是元．
22.解：设．
过点，
．
当时，与的关系式为：；
将代入上式中得：，．
温度在时，电阻．
在温度达到时，电阻下降到最小值；随后电阻随温度升高而增加，温度每上升，电阻增加，
当时，
，
把代入，
得；
把时代入，
得；
答：当时，电阻不超过．
23.证明：四边形是平行四边形，
，，
，
平分，
，
，
，且，
；
，平分，
，
在和中，
≌，
，
又，
四边形是平行四边形．
24.解：根据两家网店的优惠方案标价为元，
则在甲网店需花费：元；
在乙网店需花费：元．
故答案为：，；
件．
当时，为整数，
当时，为整数；
，
，且为整数．
不超过件时，，，，故应选择乙网店；
当购买超过件时，，，
由，则，解得．
故购买超过件，不超过件时，选择乙网店；
由，则，解得．
故购买件时花费相同，选择甲、乙两家网店皆可；
由，则，解得．
故购买超过件时，选择甲网店．
综上所述，购买件以下时选择乙网店；购买件时，甲、乙两家网店皆可选择；购买件以上时选择甲网店．
25.证明：四边形是矩形，
，
，
，
，，
，
，
，
，
四边形是矩形，
四边形是正方形；
解：是等腰三角形，
理由：由知四边形是正方形，
，，
，
，
，
，
，
是等腰三角形；
解：延长到点，使，连接，
四边形是菱形，
，，
，
，
，
，，
，
，
是等边三角形，
，
．
26.解：由得：，，
，
的“度比坐标”为
，
直线解析式为．
过作轴，过作轴．
设．
，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，
．
．
代入直线得：
，
，
，，
．
过作轴．
的“度比坐标”与的“度比坐标”相等，
，
，
，
设，
，
舍去，

第1页，共1页

展开更多......

收起↑