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2024-2025学年度第二学期期中八年级质量检测
数 学 试 题
（满分：100分；考试时间：90分钟）
友情提示：所有答案都必须填在答题卡相应的位置上，答在本试卷上一律无效．
一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个正确的选项，请在答题卡的相应位置填涂）
1．2025年适逢农历乙巳年（生肖蛇年），春节期间大街小巷随处可见以灵蛇为意象的创意文案．下列年画图案中，是中心对称图形的是
A． B． C． D．
2．若，则下列各式中一定成立的是
A． B． C． D．
3. 下列由左边到右边的变形，是因式分解的是
A． B．
C． D．
4．用反证法证明命题：“已知△ABC，ABAC，求证：°．”第一步应先假设
A．° B．∠B≥90° C．° D．
5．如图，在△ABC中，°，°，将△ABC 绕点A 逆时针旋转得到△ADE．当AD落在AC上时，的度数是
A．95° B．100°
C．105° D．110°
6．不等式组的解集在数轴上表示正确的是
A． B．
C． D．
7．小明每周攒25元零花钱，他已经攒了50元．若继续攒个月就能购买一套价值480元的四大名著珍藏版，下列符合题意的不等式是
A．≥480 B．≥480
C．≤480 D．≤480
8． 在平面直角坐标系中，线段是由线段AB经过平移得到的，已知点A（3，2）的对应点为（1，6），点B（6，2）的对应点为，则点的坐标是
A．（2，6） B．（2，4） C．（10，4） D．（10，6）
9．如图，在Rt△ABC中，°,D为BC上一点，连接AD．已知，CE为△ACD的中线且CE3，，则BC的长是
A．6 B．
C．9 D．
10．如图，在Rt△ABC中，°，AD，BE是△ABC的角平分线，AD，BE相交于点F，若，，则AE的长是
A． 2 B．
C． D．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11．与的公因式是　 　．
12. 用适当的符号表示下列关系：的3倍与2的和大于是　 　．
13．等腰三角形的两边长分别为5和2，则它的周长是　 　．
14．如图，在Rt△ABC中，°，根据尺规作图的痕迹作射线AF交边BC于点G，若BG1，AC4，则△ACG的面积是　 　．
15．若，则的值是 　 　．
16．已知一次函数（），（），若无论取何值，始终有，则的取值范围是　 　．
三、解答题（本大题共8小题，共52分）
17．（本题满分4分）
因式分解：．
18．（本题满分6分）
解不等式，并把它的解集表示在数轴上．
19．（本题满分6分）
如图，已知°，E、F在线段BC上，AF与DE交于点O，且AFDE，BECF．求证：Rt△ABF≌Rt△DCE．
20．（本题满分6分）
如图，方格纸中每个小正方形的边长都是1个单位长度，在方格纸中建立如图所示的平面直角坐标系，△ABC的顶点都在格点上．
（1）将△ABC向右平移4个单位长度得到△A1B1C1，请画出△A1B1C1；
（2）画出△ABC关于点O的中心对称图形△A2B2C2；
（3）若将△A1B1C1绕D点旋转得到△A2B2C2，则点D的坐标是　 　.
21．（本题满分6分）
如图，△ABC中，ABBC，°．
（1）求度数；
（2）在BC边上求作一点D，使ADBD（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法；圆规仅用一次得3分，圆规使用多次得2分）．
22．（本题满分6分）
李雷同学因式分解时，遇到了困难，老师提醒说：“把
‘’看作一个整体，就能用公式法分解……”．
（1）请用公式法因式分解 ；
（2）若正方形ABCD的面积为，为整数，试说明这个正方形边长为偶数．
23．（本题满分9分）
2025年央视春晚舞台上，杭州宇树科技研发的16台人形机器人Unitree H1“福兮”成为焦点.它们身着传统服饰，与新疆艺术学院舞蹈演员共同演绎《秧BOT》节目，以精准的舞步、转手绢及抛接动作展现了科技与艺术的深度融合.这场惊艳世界的机器人舞蹈秀不仅验证了人形机器人高精度运动控制技术的突破，更激发了实体产业对智能机械的想象空间。某快递企业为提高工作效率，拟购买A、B两种型号智能机器人进行快递分拣.根据以下素材，探索完成任务：
素材1 A型机器人每台80万元，B型机器人每台60万元；
素材2 该企业准备购买A、B两种型号智能机器人共12台；
素材3 A型机器人每台每天可分拣快递万件， B型机器人每台每天可分拣快递18万件；
问题解决
任务1 设购买A型机器人台，若B型机器人数量不超过A型机器人数量的2倍，至少购买多少台A型机器人？
任务2 在在任务1的条件下，该企业准备用不多于920万元购买这些机器人，则该企业选择哪种购买方案，才能使每天分拣快递的件数最多？
24．（本题满分9分）
如图，在Rt△ABC中，°，°，点D是BC边上的一动点，连接AD，将线段AD绕点D顺时针旋转60°得到线段DE，连接AE，BE．
（1）如图1，当AE∥BC时，的值是_______；
（2）求证：AEBE；
（3）如图2，若点N在边BC上，且BN2CN，连接EN，探究：当点D在BN上时，线段EN，BN与DN的数量关系，并说明理由．
福鼎市2024-2025学年度第二学期期中八年级质量检测
数学试题参考答案及评分标准
⑴本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可参照本答案的评分标准的精神进行评分．
⑵对解答题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的立意，可酌情给分．
⑶解答右端所注分数表示考生正确作完该步应得的累加分数．
⑷评分只给整数分，选择题和填空题均不给中间分．
一、选择题：（本大题有10小题，每小题3分，满分30分）
1．A 2．C 3．D 4．B 5．B 6．C 7．A 8．D 9．B 10．C
二、填空题：（本大题有6小题，每小题3分，满分18分）
11．a ； 12．； 13．12；
14．2； 　 15．2026； 　 16．
三、解答题（本大题共8题，满分52分）
17．（本小题满分4分）
解：原式 ………………………………………………………………2分
………………………………………………………2分
18．（本小题满分6分）
解： ……………………………………………………………2分
…………………………………………………………………………4分
将解集表示在数轴上如图
………………………………………6分
19．（本小题满分6分）
解： ∵BE＝CF
∴BE+EF＝CF+EF
即BF=CE……………………………………………………………………2分
∵∠A＝∠D＝90°
∴在Rt△ ABF和Rt△DCE中
∴Rt△ABF≌Rt△DCE（HL）…………………………………………6分
20．（本小题满分6分）
（1）解：画出△A1B1C1………2分
（2）①画出△A2B2C2……………4分
②点D坐标是（2，0）.
…………………………………6分
21．（本小题满分6分）
解：（1）证明：∵
∴…………………………3分
（2）
∴点D即为所求； …………………………………………………………6分
（解法1得3分，解法2得2分，另有其它画法，酌情给分）
22．（本小题满分6分）
解：（1） …………………………………………………………………………2分
（2）
　　　　　∴正方形边长………………………………………………………4分
∵当为整数时
∴一定是偶数
∴一定是偶数. ……………………………………………………6分
23．（本小题满分9分）
解：（1）依题意可列：12x≤2x …………………………………………………………2分
解得：x≥4 ……………………………………………………………3分
∵x为正整数
∴x最小值为4 ……………………………………………………………4分
（2）由题意可得：80x+60（12x）≤920 ……………………………………………5分
解得： x≤10
由(1)可知x≥4
∴4≤x≤10 ……………………………………………………………6分
设每天分拣快递的件数为w，
则w＝ax+18（12x）＝（a18）x+216，
当a18时，w216
当a18时，w随x的增大而增大∴x10时，w最大
当a18时，w随x的增大而减小∴x4时，w最大…………………………8分
答：当a18时，无论如何购买每天分拣快递的件数都是216万件，
当a18时，选择购买A型智能机器人10台，购买B型智能机器人2台，使每天分拣快递的件数最多；
当a18时，选择购买A型智能机器人4台，购买B型智能机器人8台，使每天分拣快递的件数最多 ………………………………………………9分
24．（本小题满分9分）
解：（1）……………………………………………………………………………………2分
（2）∵∠ACB90°，∠ABC30°，
∴
由旋转性质可知，ADDE，∠ADE60°
∴△ADE是等边三角形，
∴∠CAB∠DAE，ADAE
∴∠CAB∠BAD∠DAE∠BAD
∴∠CAD∠BAE …………………………………………………3分
如图，过点E作EF⊥AB于点F，∴∠ACD∠AFE90°，
∴△ACD≌△AFE………………………………………………………………4分
∴
∴ EF垂直平分AB
∴ AEBE ………………………………………………………………5分
（3）ENBN+ND………………………………………………………………6分
连接AN交AB于点M，设AC3x，
∵∠ACB90°，∠ABC30°，
∴ 即 AB6x，
由勾股定理得……………7分
∵BN2CN
∴
∴
∴
即 ANBN，
解法①：又AEBE ∴EN垂直平分AB …………………………………8分
令EN交AB于点M，∴∠AME90°
由（2）可知 △ACD≌△AME
EMCDCN+ND+ND
在Rt△NMB中
∴ ENEM+MN+ND++DN
即 ENBN+ND ……………………………………………………………9分
解法②：∴∠BNE∠ENH60°，延长NA至点H，连接EH，使EHEN，
∴△EHN是等边三角形…………………8分
∴∠DNE∠H60°，NHEN
∵EDAE
∴△EDN≌△EAH
∴DNAH
∵NHAN+AH
∴ENBN+DN …………………………9分
（另有其它解法，酌情给分）

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