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山东省东明县第一中学 2026 届高三上学期开学摸底考试
数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合 = { | 2 1 ≤ 0}， = { | ≥ 0}，则 ∩ =( )
A. { | ≤ 1} B. { | 1 ≤ ≤ 0} C. { |0 ≤ ≤ 1} D. { | ≥ 1}
2 2 i.在复平面内，1+i对应的点位于( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
3 5π.已知向量 与 的夹角为 6， = 3，
= 2，则 在 上的投影向量为( )
A. 3 3 4 B.
3 C. 3 4 4 D.
3 3
4
4.已知 sin + cos = 2 1，则1+tan2 =( )
A. 2 B. 1 C. 12 D.
1
3
5 1 1.已知实数 ， 满足 2 3 = 6，则 的最大值为( )
A. 125 B.
1 1 1
24 C. 12 D. 4
6.已知抛物线 2 = 2 的焦点为 ，过点 的直线 与抛物线交于 , 两点，若 的面积是 的面积的
两倍，则| | =( )
A. 2 B. 52 C.
9
4 D.
11
4
7.下列函数在区间[1,4]上单调递增的是( )
A. ( ) = 12 B. ( ) =

e C. ( ) = ln D. ( ) = ln
2
8.已知正方体 1 1 1 1，点 1是 1 1与 1 1的交点，点 是直线 1上异于 的一点，点 是平面
1
π
上的动点，满足直线 与直线 的夹角为3，则动点 的轨迹在( )
A.圆上 B.椭圆上 C.抛物线上 D.双曲线上
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.甲、乙两名篮球运动员连续 10 场比赛的得分如下表所示，则下列说法正确的有( )
场次 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
甲 18 20 22 13 20 27 10 21 19 30
乙 3 10 20 9 24 27 13 28 9 17
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A.甲的众数大于乙的众数 B.甲的平均数大于乙的平均数
C.甲的极差大于乙的极差 D.甲的 60 百分位数大于乙的 60 百分位数
10 π π.已知函数 ( ) = sin( + 4 )( > 0)的最小正周期为2，则( )
A. = 2 B. ′( 3π16 ) = 0
C. ( π8 ) = (
π
4 ) D. (
3π
16 ) < (
π
16 )
11.武当太极拳又称武当内家拳，是我国的一项传统武术拳种，修习太极拳可以养生祛病、强身健体、延年
益寿.若张爷爷早上带着孙子小张在健身广场练习武当太极拳十三式，张爷爷按照拳法顺序从第一式打到第
十三式，每种招式打一遍，小张随机打了十三式，则( )
A.若招式可以重复，则小张练习的可能情况数为 13!
B.若招式不可重复，则小张练习的可能情况数为 13!
C.若招式可以重复，小张仅有第一式与爷爷相同的可能情况数为 12!
D. 2C
3
若招式不可重复，小张和爷爷恰有三种招式顺序不同的概率为 13
13！
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12
2 2
.已知双曲线 2 2 = 1 ( > 0, > 0)的焦点到渐近线的距离是 ，则双曲线的离心率的值是 ．
13.若曲线 = ln + 与圆 2 + 2 = 2 有公共点 0, 0 ，且在点 处的切线相同，则实数 = ．
14.已知正整数 ，欧拉函数 ( )表示 1、2、3、 、 中与 互素的整数的个数，例如， (2) = 1， (4) = 2.
若小明从 3、5、7、11、13 中随机取一个数 ，小红从 6、8、9、10、30 中随机取一个数 ，则 ( ) ( ) = 2
的概率为 ．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
在 1中，内角 , , 的对边分别为 , , ，且 cos + 2 = ．
(1)求 ：
(2)若 = 2， 的面积为 3，求 的周长．
16.(本小题 15 分)
如图，在四棱锥 中，四边形 是边长为 2 的菱形，∠ = 60 ， = ， ⊥ ，点 、
分别为棱 、 的中点．
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(1)证明： //平面 ；
(2)若直线 与平面 所成角的大小为60 ，求二面角 的正弦值．
17.(本小题 15 分)
已知数列 的前 项和为 ，且 ， ， 成等差数列.已知数列 首项 1 = 1，且 +1 = 2 2 + 3．
(1) +1求数列 的通项公式，并求数列 的前 项和 ． +1
(2)若将数列 中去掉数列 的项后余下的项按原顺序组成数列 ，求 1 + 2 + + 30的值．
(3)是否存在不同的 ， ∈ ，使得 ， 3， 成等差数列？如果存在，请求出 ， 的值；如果不存在，
请说明理由．
18.(本小题 17 分)
2
已知函数 ( ) = 2 4 + ln ( ∈ )有两个极值点．
(1)求实数 的取值范围；
(2)记两个极值点分别为 1， 2，证明： 1 + 2 + 10 > ln ．
19.(本小题 17 分)
2 2
3已知点 1， 2分别是椭圆 : 2 + 2 = 1( > > 0)的左、右焦点， 1 2 = 6，椭圆 的离心率为5．
(1)求椭圆 的标准方程．
(2)若 是椭圆上的一个动点，点 经过第 次变动(各次变动之间相互独立)后落在 , 的位置( 异于椭
圆 的左、右顶点，且 2 ≤ ≤ 时，允许 1 = )，点 , 是 1 2的内心(即内切圆的圆心)，满
足 =1 = 0，其中 ∈ 1,2, , ， 为坐标原点．
①证明：8 = 3 ；
②若 = 2024，且对任意 ∈ 1,2, , 9都有 1 2的面积为2，求对任意 ∈ 1,2, , 都有

=1 ≥ 0 的
概率．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12. 2
13. 1
14. 425/0.16
15.【详解】(1)由 cos + 12 =
1
，以及正弦定理可得 sin cos + 2 sin = sin
1
即 sin cos + 2 sin = sin( + ) = sin cos + cos sin ，
1
即2 sin = cos sin ，
又在 中 sin ≠ 0，
所以 cos = 12，
则在 中 = π3；
(2)由(1) 1 3可得 = 2 sin = 4 = 3，
所以 = 4，
2 2 2
cos = + = ( + )
2 2 2 = ( + )
2 8 4 1
由余弦定理 2 2 8 = 2，
解得 + = 4，
所以 的周长 + + = 6．
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16.【详解】(1)如图 1，取 的中点 ，连接 、 ，
因为 为 1的中点，所以 // ，且 = 2 ，
1
又四边形 为菱形，且 为 的中点，所以 // ，且 = 2 ，
所以 // ，且 = ，所以四边形 为平行四边形，所以 // ，
又 平面 ， 平面 ，所以 //平面 ．
(2)如图 2，连接 、 交于点 ．
因为四边形 为菱形，所以 ⊥ ，且 为 、 的中点，
又因为 = ，所以 ⊥ ，
因为 、 平面 ，且 ∩ = ，所以 ⊥平面 ．
因为 平面 ，所以平面 ⊥平面 ，
过点 在平面 内作 ⊥ ，垂足为点 ，
因为平面 ⊥平面 ，平面 ∩平面 = ， ⊥ ，
平面 ，所以 ⊥平面 ，
所以∠ 为直线 与平面 所成的角的平面角，则∠ = 60 ．
又 = 2， ⊥ ，∠ = 60 ， 为 的中点，
所以 = ，则 为等边三角形，
因为 = ，故 也为等边三角形，且 = = sin60 = 2 × 32 = 3，
以点 为坐标原点， 、 、 的方向分别为 、 、 轴的正方向建立如下图所示的空间直角坐标系，
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则 (0,0,0)， (1,0,0) 3 3， 0, 3, 0 ， 0, 2 , 2 ，
所以 = 1, 3 , 3 ， 2 2 = 1, 3, 0 ．
取平面 的一个法向量为 = (0,0,1)，
设平面 的一个法向量为 = ( , , )，
= + 32
3
2 = 0则 ，取 = 3，可得 = 3, 1, 3 ，
= + 3 = 0
则 cos , = 3 21 = 7 = 7 ，
21 2 2 7
设二面角 平面角为 ，则 sin = 1 7 = 7 ．
因此，二面角 2 7的正弦值为 7 ．
17.【详解】(1)因为 ， ， 成等差数列，所以 + = 2 ，①
所以 1 + 1 = 2 1( ≥ 2)，②
由① ②，得 + 1 = 2 2 1，于是 + 1 = 2 1 + 1 ( ≥ 2)．
又 1 + 1 = 2 1，所以 1 = 1，所以 1 + 1 = 2，
因此，数列 + 1 是首项为 2，公比为 2 的等比数列．
所以 1 + 1 = 2 2 = 2 ，即 = 2 1．

又
+1 = 2
1 1
+1 2 1 2 +1 1
= 2 1 2 +1 1，
所以 = 1
1
3 +
1 1 1 1 1
3 7 + + 2 1 2 +1 1 = 1 2 +1 1．
(2)因为 +1 = 2 2 + 3，所以 +1 (2 + 1) = 2 (2 1) = = 2 1 1 = 0，
所以数列 (2 1) 是各项均为 0 的常数数列，所以 = 2 1，
所以 +1 = 2，则数列 是以 1 为首项，2 为公差的等差数列．
又 1 = 1， 2 = 3， 3 = 7， 4 = 15， 5 = 31， 6 = 63， 32 = 63， 36 = 71，
所以 1 + 2 + + 30 = 1 + 2 + + 36 1 + 2 + + 6
= 36×(1+71) 21 + 22 + + 262 6 = 36
2 27 + 8 = 1176．
(3)假设存在不同的 ， ∈ ，
不妨假设 < 使得 ， 3， 成等差数列，
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则2 1 + 2 1 = 2 × 23 1 ，即2 + 2 = 24，
两边除以 16，得2 4 + 2 4 = 1．
因为 < ，所以2 4 < 2 4，所以2 4 + 2 4 < 1，所以 < 3．
当 = 1 时， = log214；当 = 2 时， = log212，这与题设矛盾，
所以不存在不同的 ， ∈ 使得 ， 3， 成等差数列．
2
18. 4 + 【详解】(1)由题意得， ′( ) = 4 + = ， ∈ (0, + ∞)．
因为 ( )有两个极值点，所以方程 2 4 + = 0 有两个不相等的正根，
Δ = ( 4)2 4 > 0
所以 = > 0，解得 0 < < 4．1 2
检验：当 0 < < 4 时，由 ′( ) = 0 得 = 2 4 或 = 2 + 4 ．
所以 ( )在 0,2 4 上单调递增，在 2 4 , 2 + 4 上单调递减，
在 2 + 4 , + ∞ 上单调递增，满足题意．
所以实数 的取值范围为(0,4)．
(2)证明：由(1)知 1 + 2 = 4， 1 2 = ，
1
所以 1 + = 2 + 22 2 1 2 4 1 + 2 + ln 1 2 = ln 8，
所以 1 + 2 + 10 ln = ( 1)ln + 2．
令 ( ) = ( 1)ln + 2(0 < < 4)，则 ′( ) = ln 1 ，
令 ( ) = ′( ) = ln 1 ′ 1 1 ，则 ( ) = + 2 > 0，
所以 ′( )在(0,4)上单调递增．
因为 ′(1) = 1 < 0， ′(2) = ln2 12 > 0，
1
所以函数 ′( )存在唯一零点 0 ∈ (1,2)，即 ln 0 = ，0
且当 ∈ 0, 0 时， ′( ) < 0, ( )单调递减；当 ∈ ′0, 4 时， ( ) > 0， ( )单调递增，
1
所以当 = 0时， ( )存在最小值，即 0 = 0 1 ln 0 0 + 2 = 3 0 + ．0
因为 0 ∈ (1,2)，所以 2 < 0 +
1
<
5
0 2
，所以 ( )min > 0，
所以 1 + 2 + 10 > ln ．
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19. (1) 3【详解】 由题可知 1 2 = 2 = 6， = = 5，解得 = 5， = 3， =
2 2 = 4，
2 2
所以椭圆 的标准方程为25 + 16 = 1；
(2)①由内心定义可知内切圆半径 = ，
对任意 ∈ ， 1 2 =
1
2 1 2 =
1
2 1 2 + 1 + 2 ，
3
即8 = ，
由于点 和点 在 轴的同一侧，故 ， 同号，
= 3故 8 ，所以 8 = 3 ，
= 3 3②由①可知， 8 ，因为 ≤ 4，所以 ≤ 2，
对任意 ∈ ，在 1 2中，设⊙ 与 轴的相切于点 ，
则 1 = + 3 2 + 2 = 5 +
3 3
5 ，同理 2 = 5 5 ，
1 2 = 5+
3
5 5
3 = 65 5 ，
1 2 = + 3 3 = 2 ，
结合 1 2 = 1
3 3
2 ，故 = 5 ，又 = 8 ，
=
3
5 2 2 2 4 2于是 ，结合 + = 1，代入得 + = 1，
= 3 25 16 9 9 8
1 1
又 1 2 = 2 1 2 ≤ 2 × 6 ×
3
2 =
9 3
2，取等条件为 = 2，
2 4 2
故点 只能在椭圆 9 +

9 = 1 的上、下顶点位置．
当 = 2024 时， = 0 =1 表示点 中恰有 1012 个在上顶点，恰有 1012 个在下顶点，故总的情况有C
1012
2024
种.
对任意 ∈ 1,2, , 都有 =1 ≥ 0 表明，任意前 个点中，上顶点个数不少于下顶点个数．
将前 个点中上顶点的个数减去下顶点的个数记作 ，将所有的点 , 连接起来，形成一条折线 ，
因为 每次要么减少 1，要么增加 1，所以折线 相当于从(0,0)出发，
每次沿向量(1,1)向右上方移动，或者沿向量(1, 1)向右下方移动，最终到(2024,0)结束．
目标事件为折线 始终落在 轴及 轴上方，其对立事件为折线 与 = 1 有公共点．
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考虑对立事件，若折线 与 = 1 有公共点，记第一个公共点为 ，
则点 左侧的折线均在 = 1 上方，
将这部分折线关于 = 1 对称到下方，得到点(0, 2)到点(2024,0)的新折线 ′，且 与 ′总是一一对应，
种数相同．
对于 ′，共移动 2024 次，其中向右上方移动 1013 次，向右下方移动 1011 次，共有C10112024种.
C1011 1
故概率为 = 1 2024
C1012
= ．
2024 1013
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