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江苏省扬州市宝应县 2026 届高三上学期期初检测数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设集合 = { |1 ≤ ≤ 3}， = { |2 < < 4}，则 ∪ =( )
A. { |2 < ≤ 3} B. { |2 ≤ ≤ 3} C. { |1 ≤ < 4} D. { |1 < < 4}
2.命题“ > 1， 2 > 0”的否定是( )
A. ≤ 1， 2 > 0 B. > 1， 2 ≤ 0
C. > 1， 2 ≤ 0 D. ≤ 1， 2 > 0
3.若 > 1 1，则 + 1的最小值是( )
A. 2 B. C. 2 1 D. 3
4 ( ) = (2 ) + 1, ≥ 1.已知函数 , < 1是 上的单调递增函数，则实数 的取值范围是( )
A. > 1 B. 1 < < 32 C. 1 < < 2 D. 1 < ≤
3
2
5.函数 ( ) = ln| | 2+2的图象大致为( )
A. B.
C. D.
6 1.已知函数 ( ) = e 2
2 + 3 在(0, + ∞)上单调递增，则 的最大值是( )
A. 1 B. 2 C. D. 3
7.设 ( )是定义在( ∞,0) ∪ (0, + ∞)上的奇函数，对任意的 1, 2 ∈ (0, + ∞)， 1 ≠ 2，满足：
2 2 1 1 8
2
> 0，且 (2) = 4，则不等式 ( ) > 0 的解集为( )1
A. ( 2,0) ∪ (2, + ∞) B. ( 2,0) ∪ (0,2)
C. ( ∞, 4) ∪ (0,4) D. ( ∞, 2) ∪ (2, + ∞)
8.已知实数 , ∈ (1, + ∞)，且 2( + ) = e2 + 2ln + 1，e 为自然对数的底数，则( )
A. 1 < < B. < < 2 C. 2 < < e D. e < < e2
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二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法正确的是( )
A. 若 2 < 2，则 <
B.若 > , > ，则 >
C.若 > , > ，则 >
D.若 > > 0, > 0 + ，则 + >
10.已知函数 ( ) = 2 + 2( 1) + ，若存在 1, 2 ∈ [ 2,2]使得 1 = 2 ，则 的范围可以是( )
A. [ 1,0] B. [0,1] C. [1,2] D. [2,3]
11.对定义在区间 上的函数 ( )和 ( )，如果对任意 ∈ ，都有| ( ) ( )| ≤ 1 成立，那么称函数 ( )
在区间 上可被 ( )替代， 称为“替代区间”，给出以下结论，正确的是( )
A. ( ) = 2 2 + 1 在区间[0,1]上可被 ( ) = + 1 替代
B. ( ) = sin 在区间[ π4 ,
π
2 ]上可被 ( ) = cos 替代
C. ( ) = 可被 ( ) = 1 1 1 34 替代的一个“替代区间”可以为[ 4 , 2 ]
D. ( ) = ln 在区间 1, e 上可被 ( ) = 替代，则 e 2 ≤ ≤ 2
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12 8 .不等式5+ ≥ 1 的解集为 ．
13.曲线 ( ) = + 2ln 在点(1,1)处的切线方程为 ．
14.已知函数 ( ) = ln 1 + 2 1，若 (2 1) + 4 2 + 2 > 0，则实数 的取值范围为 ．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
已知集合 = 13 < 3
+1 ≤ 27 ， = 2 2 3 > 0 ， = 1 < < 2 + 1 ．
(1)求 ∩ ， ∪ ；
(2)若 ∩ = ，求实数 的取值范围．
16.(本小题 15 分)
已知函数 ( ) = ln + 2 3 ，函数 ( )在 = 1 处的切线方程为 = 2．
(1)求 的值；
(2)求函数 ( )的极值．
17.(本小题 15 分)
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若函数 ( )的定义域为 ，值域为 ，且 ，则称 ( )为“子集函数”．
(1)证明：函数 ( ) = 1 2是“子集函数”．
(2)判断函数 ( ) = 2 1 1 是否为“子集函数”，并说明理由．
(3) π若函数 ( ) = sin 2 + 6 ( > 0)
π π
的定义域为 6 , 2 ，且 ( )是“子集函数”，求 的取值范围．
18.(本小题 17 分)
已知定义在 上的函数 ( )满足 ( ) ( ) = 0 且 ( ) = log2 2 + 1 + ， ( ) = ( ) + ．
(1)求 ( )的解析式；
(2)若不等式 4 2 + 1 > ( 3)恒成立，求实数 取值范围；
(3)设 ( ) = 2 2 + 1，若对任意的 1 ∈ [0,3]，存在 2 ∈ [1,3]，使得 1 ≥ 2 ，求实数 取值范围．
19.(本小题 17 分)
已知函数 ( ) = ( 1)e e , ∈ R ．
(1)当 = 3， = 0 时，求曲线 = ( )在点 0, (0) 处的切线方程；
(2)当 = 1 时， ( )既存在极大值，又存在极小值，求 的取值范围；
(3)当 1 < < 2， = 1 时， 1， 2分别为 ( )的极大值点和极小值点，且 1 + 2 > 0，求实数 的
取值范围．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12. 5 < ≤ 32
13.3 2 = 0
14. < 1 或 > 3
15.(1) 2 3 > 0，解得 < 1 或 > 3，则 = | < 1 或 > 3 ， R = | 1 ≤ ≤ 3 ．
1
又由 < 3 +13 ≤ 27，即3
1 < 3 +1 ≤ 33，解得 2 < ≤ 2，则 = | 2 < ≤ 2 ，
所以 ∩ = | 2 < < 1 ， ∪ = | 2 < ≤ 3 ．
(2)因为 ∩ = ，所以 ，
当 = 时，则有 1 ≥ 2 + 1，即 ≤ 2；
1 < 2 + 1
当 ≠ 时，则有 1 ≥ 2，解得 1 ≤ ≤ 0，
2 + 1 ≤ 1
综上，实数 的取值范围为 ≤ 2 或 1 ≤ ≤ 0．
16.(1) 1函数 ( )的定义域为(0, + ∞)， ′( ) = + 2 3，
∵ = ( )在 = 1 处的切线方程为 = 2，
∴ ′(1) = 1 + 2 3 = 0，解得 = 1．
(2)由(1)知 = 1，
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2
∴ ( ) = ln + 2 3 ， ′( ) = 1 + 2 3 =
2 3 +1 ( 1)(2 1)
= ，
令 ′( ) > 0，得 0 < < 1 12或 > 1；令
′( ) < 0，得2 < < 1，
所以 ( )在 0, 12 和(1, + ∞)
1
上单调递增，在 2 , 1 上单调递减，
( ) = 1 1 = ln 1+ 1 3 5因此 在 2处取得极大值，且 2 2 4 2 = ln2 4，
在 = 1 处取得极小值，且 (1) = 2，
故 ( ) 5的极大值为 ln2 4，极小值为 2．
17.(1) ( ) = 1证明：若 2，则定义域为 = ( ∞,0) ∪ (0, + ∞)，
可得值域为 = (0, + ∞)，
由于 1，所以 ( ) = 2是“子集函数”．
(2) ( )不是“子集函数”.理由以下：
由于2 1 ≥ 0，可得 ≥ 0，则 ( )的定义域为[0, + ∞)．
由 2 1 ≥ 0，则 ( ) ≥ 1，即 ( )的值域为[ 1, + ∞)．
因为[ 1, + ∞) [0, + ∞)，所以 ( )不是“子集函数”．
(3) ∈ π π由 6 , 2 ，得 2 +
π π 7π
6 ∈ 6 , 6 ，
1 7π π π则 2 = sin 6 ≤ sin 2 + 6 ≤ sin 2 = 1，
因为 > 0 1，所以 ( )的值域为 2 , ．
因为 ( ) 1 π π是“子集函数”，所以 2 , 6 , 2 ，
12 ≥
π
6
π 0 < ≤ π则 ≤ ，解得2 3
，
> 0
故 的取值范围为 0, π3 ．
18.(1)由题意知，log2 2 + 1 log2 2 + 1 = 0，

即 2 = log 2 2 + 1 log
2 +1 2 +1 1
2 2 + 1 = log2 2 +1 = log2 2 +1 2 = ，所以 = 2，
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故 ( ) = log 12 2 + 1 2
(2)由(1)知， ( ) = ( ) + = log 2 + 1 + 12 2 ，
所以 ( )在 上单调递增，
所以不等式 4 2 + 1 > ( 3)恒成立等价于4 2 + 1 > 3 恒成立，

即 < 4 +42 恒成立．
4 +4 2
设 = 2 ，则 > 0 = +4 4， 2 = + ≥ 4，当且仅当 = 2，即 = 1 时，等号成立
所以 < 4，
故实数 的取值范围是( ∞,4)
(3)因为对任意的 1 ∈ [0,3]，存在 2 ∈ [1,3]，使得 1 ≥ 2 ，
所以 ( )在[0,3]上的最小值不小于 ( )在[1,3]上的最小值，
因为 ( ) = log 12 2 + 1 + 2 在[0,3]上单调递增，
所以当 ∈ [0,3]时， ( )min = (0) = 1，
又 ( ) = 2 2 + 1 的对称轴为 = ， ∈ [1,3]，
当 ≤ 1 时， ( )在[1,3]上单调递增， ( )min = (1) = 2 2 ≤ 1，解得 ≥
1
2，
1
所以2 ≤ ≤ 1；
当 1 < < 3 时， ( )在[1, )上单调递减，在[ , 3]上单调递增，
( )min = ( ) = 1 2 ≤ 1，解得 ∈ ，所以 1 < < 3；
当 ≥ 3 时， ( )在[1,3]上单调递减， ( ) 3min = (3) = 10 6 ≤ 1，解得 ≥ 2，
所以 ≥ 3，
综上可知，实数 1的取值范围是 2 , + ∞
19.(1)函数 ( ) = ( 1)e e , ∈ R 的定义域为 R，
当 = 3， = 0 时， ( ) = 2e 3 ，
则 ′( ) = 2e 3，故 ′(0) = 2 3 = 1，又 (0) = 2，
所以曲线 = ( )在点 0, (0) 处的切线方程为 2 = ( 0)，即 + 2 = 0．
(2)当 = 1 时， ( ) = ( 1)e e ，定义域为 R，
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2
′( ) = ( 1)e + e = ( 1)e e
+1 = ( 1)e
1 e 1
所以 e e ，
因为 ( )既存在极大值，又存在极小值，
所以 ′( ) = 0 必有两个不等的实数根，
当 ≤ 1 时，不符合题意，
故 > 1，令 ′( ) = 0，解得 1 = 0 或 2 = ln( 1)且 ln( 1) ≠ 0
所以 > 1 且 ≠ 2，
当 1 < < 2 时， 1 < 2，
当 < 时， ′1 ( ) > 0， ( )单调递增；
当 1 < < 2时， ′( ) < 0， ( )单调递减；
当 > ′2时， ( ) > 0， ( )单调递增；
所以函数 ( )分别在 = 1， = 2时取到极大值和极小值，满足题意，
当 > 2 时， 1 > 2，
当 < 2时， ′( ) > 0， ( )单调递增；
当 2 < < 1时， ′( ) < 0， ( )单调递减；
当 > 1时， ′( ) > 0， ( )单调递增；
所以函数 ( )分别在 = 2， = 1时取到极大值和极小值，满足题意，
综上， 的取值范围为(1,2) ∪ (2, + ∞)．
(3)由(2)知， 1 = 0 或 2 = ln( 1)，
所以 1 = (0) = 1 1 = 2，
2 = ln( 1) = ( 1)e ln( 1) eln( 1) + ln( 1) = 2 + ln( 1)，
由题意，得 2 + 2 + ln( 1) > 0 对任意的 ∈ (1,2)恒成立，
因为当 1 < < 2 时， ( )在 0, ln( 1) 上单调递减，
所以 2 1 < 0，故 2 < 1 < 0，
< 0 ln( 1) > ( 1)( 2) ln( 1) < ( 1)( 2)所以 ，且 ，则 = 1
1 2 ．
令 ( ) = ln 1 1 1 +1，其中 0 < < 1，
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1 1 2 ( +1)2 2 1
1 2 2
所以 ′( ) = 1 =
+ +1
( +1)2 ( +1)2 = ( +1)2，
2 + 2
2
令 + 1 = 0，则 =
4
2 4 =
4 1
2 ，
当 ≤ 0，即 ≤ 1 时， ′( ) ≥ 0， ( )在(0,1)上单调递增，
所以 ( ) < (1) = 0，即 ln( 1) < 1 1
2
，符合题意，
2
当 > 0，即 1 < < 0 时，设方程 2 + + 1 = 0 的两根分别为 3， 4，
2
则 3 + 4 = > 0， 3 4 = 1，不妨设 0 < 3 < 1 < 4，
当 3 < < 1 时， ′( ) < 0， ( )在 3, 1 上单调递减，
所以当 3 < < 1 时， ( ) > (1) = 0
1 2
，即 ln( 1) > 1 ，不合题意，
综上所述， 的取值范围为( ∞, 1]．
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