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山东省诸城第一中学 2026届高三直升班上学期 9月中旬月考监测
数学试卷
一、单选题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1 4.若集合 = ∈ +2 < 0 ， = 1,0,2,3,4 ，则 ∪ =( )
A. 1,0,1,2,3,4 B. 1,0,2,3 C. 0,2,3 D. 2,3
2.下列命题中错．误．的是( )
A.若 > ， < ，则 >
B. 若 2 > 2，则 >
C.若 > 1，则 <
1

D. > > 0 > 0 + > 若 ， ，则 +
3.下列函数中，是偶函数且在(0, + ∞)上为减函数的是( )
2
A. = 3 B. = 1 C. = e
e D. = log1| |
2
4.若定义在 的奇函数 ( )在( ∞, 0)单调递减，且 (2) = 0，则满足 ( 1) ≥ 0 的 的取值范围是( )
A. [ 1,1] ∪ [3, + ∞) B. [ 3, 1] ∪ [0,1] C. [ 1,0] ∪ [1, + ∞) D. [ 1,0] ∪ [1,3]
5.命题“ ∈ [1,2]， 2 ≤ ”为真命题的一个充分不必要条件是( )
A. ≥ 1 B. ≥ 4 C. ≥ 2 D. ≥ 0
6.2023 年，深度求索( )公司推出了新一代人工智能大模型，其训练算力需求为
1000 (千亿亿次浮点运算/秒).根据技术规划， 的算力每年增长 50％.截止至 2025 年，
其算力已提升至 2250 ，并计划继续保持这一增长率．问： 的算力预计在哪一年首次突
破 7500 ？( )(参考数据：lg2 ≈ 0.301，lg3 ≈ 0.477，lg5 ≈ 0.699)
A. 2026 年 B. 2027 年 C. 2028 年 D. 2029 年
7 1.设函数 ( ) = ln 1 + | | 1+ 2，则使 ( ) < (2 1)成立的 的范围是( )
A. 13 , 1 B. ∞,
1
3 ∪ (1, + ∞)
C. 1 , 1 D. ∞, 1 ∪ 13 3 3 3 , + ∞
8.已知函数 ( ) 是定义在 R 上的偶函数． 1 21, 2 ∈ [0, + ∞)，且 1 ≠ 2，恒有 2 2 > 1.若 (1) = 1， 1 2
则不等式 ( ) < 2 2的解集为( )
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A. ( ∞,1) B. (1, + ∞)
C. ( ∞, 1) ∪ (1, + ∞) D. ( 1,1)
二、多选题：本题共 3小题，共 18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法正确的是( )
A.命题“ ∈ , 2 1 ≥ 0”的否定是“ ∈ , 2 1 < 0”
B.若不等式 2 + 2 + > 0 的解集为{ ∣ 1 < < 2}，则 + = 2
C.当 > 3 4时， + 1的最小值是 5
D. 1“ > 1”的必要不充分条件是“ < 1”
2
10.已知函数 ( ) = 2 , < 0log + 1 , > 0，若方程 ( ) = ( ∈ R)有四个不同的零点 1， 2， 3， 4，且 1 <2
2 < 3 < 4，则( )．
A.实数 的取值范围为 |0 < < 1
B.函数 ( )在( ∞, 1) ∪ 12 , + ∞ 单调递增
C. 1 13的取值范围为 4 , 2
D. 1 2 3
1 5
4的取值范围是 4 , 4
11.已知函数 ( )的定义域为 ，且对任意 ∈ ，都有 ( ) = ( )及 ( + 4) = ( ) + (2)成立，当
1, 2 ∈ [0,2]且 1 ≠ 2时，都有 1 2 1 2 > 0 成立，下列四个结论中正确的是( )
A. (2) = 0
B.函数 ( )在区间[ 6, 4]上为增函数
C.直线 = 4 是函数 ( )的一条对称轴
D.方程 ( ) = 0 在区间[ 6,6]上有 4 个不同的实根
三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分。
12.已知函数 ( )的定义域为 ，且满足 (1 + ) = (1 ), ( + 2)为偶函数，当 ∈ [1,2]时， ( ) = 2 +
，若 (0) + (3) = 5，则 435 =
13.若函数 ( )同时满足以下三个条件，则其一个解析式可以为 ( ) = ．①在其定义域内有 ( ) =
( )；② 1, 2 ∈ (0, + ∞)，有 1 2 1 2 < 0；③ 1 2 = 1 2 ．
14.已知函数 ( ) = 2 3 ，若关于 的方程 ( ) 2 2 ( ) + 3 = 0 有 4 个不同的实数根，则 的取值
范围是
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四、解答题：本题共 5小题，共 77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
计算下列各式的值：
2 2
(1) 23 + (1 2)
0 3 3 3 0.758 16 ；
(2) 21g2+1g3 ．
1+1 12lg0.36+3lg8
16.(本小题 15 分)
已知集合集合 = 2 +2 +3 ≤ 1 ，集合 = { || + | < 1}．
(1)若 = 3，求 ∩ 和 ∪ ；
(2)设命题 : ∈ ，命题 : ∈ ，若 是 成立的必要不充分条件，求实数 的取值范围．
17.(本小题 15 分)

已知定义域为 R 的函数 ( ) = 1 3 +3 是奇函数．
(1)求 的值；
(2)判断函数 ( )在 R 上的单调性，并证明你的结论；
(3)若 ∈ [0,6]，使 2 + 2 2 6 > 0 成立，求实数 的取值范围．
18.(本小题 17 分)
设函数 ( ) = 2 + (1 ) + 2( ∈ R)．
(1)若 = 2，求 ( ) < 0 的解集；
(2)若不等式 ( ) ≥ 2 3 对一切实数 > 1 恒成立，求 的取值范围；
(3)解关于 的不等式： ( ) < 1．
19.(本小题 17 分)
对于函数 ( )，若其定义域内存在实数 满足 ( ) = ( )，则称 ( )为“伪奇函数”．
(1) ( ) = 2已知函数 +1，试问 ( )是否为“伪奇函数”？说明理由；
(2)若幂函数 ( ) = ( 1) 3 ∈ R 使得 ( ) = 2 ( ) + 为定义在[ 1,1]上的“伪奇函数”，试求实数
的取值范围；
(3)是否存在实数 ，使得 ( ) = 4 2 +1 + 2 3 是定义在 R 上的“伪奇函数”，若存在，试求实数
的取值范围；若不存在，请说明理由．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.75
13. 2(答案不唯一)
14. 3, 2
2 3
15. 3解：(1)原式= 9 + 1 27 4× 9 944 8 2 = 4 + 1 4 8 = 7；
(2) = lg4+lg3 = lg12 = lg12 = lg12原式 = 1．
1+lg 0.36+lg3 8 1+lg0.6+lg2 lg10+lg0.6+lg2 lg12
16.解：(1)已知 = { | 2 +2 ≤ 1} 2 +2 +3 ，解不等式 +3 ≤ 1：
2 +2 2 +2 ( +3) 1
移项可得 +3 1 ≤ 0，通分得到 +3 ≤ 0，即 +3 ≤ 0．
( 1)( + 3) ≤ 0
此不等式等价于 + 3 ≠ 0．
解( 1)( + 3) ≤ 0，可得 3 < ≤ 1，所以 = { | 3 < ≤ 1}．
已知 = { || + | < 1}，当 = 3 时， = { || + 3| < 1}．
解不等式| + 3| < 1，可得 1 < + 3 < 1，即 4 < < 2，所以 = { | 4 < < 2}．
所以 ∩ = { | 3 < < 2}． ∪ = { | 4 < ≤ 1}．
(2)已知 = { || + | < 1}，解不等式| + | < 1，可得 1 < + < 1，即 1 < < + 1，所以
= { | 1 < < + 1}．
因为 是 成立的必要不充分条件，所以 ．
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1 ≥ 3
则有 + 1 ≤ 1 (不能同时取等号)，解 ≥ 2 得 0 ≤ ≤ 2．
所以实数 的取值范围是[0,2]
17.解：(1)因为函数 ( )是定义在 R 上的奇函数，所以 ( ) = ( )，
1 1 1 3 3 = 3
1 = 3 1即 1 +3 ，整理得 3 +1 +3 恒成立，即 3
1 = 3 1．
+3
所以 = 1；
(2)函数 ( )在 R 上是减函数，
1 3 1+3 +2 2
证明如下：由(1)可得，函数 ( ) = 1+3 = 1+3 = 1+ 1+3 ，
任取 1, 2 ∈ R， 1 < 2，
2 1
1
2 2 2 3 3
2 = 1+3 1 1+3 2 = 1+3 1 1+3 2 ，
因为 1 < 2，所以3 2 3 1 > 0，
又 1 + 3 1 > 0，1 + 3 2 > 0，所以 1 2 > 0，
即 1 > 2 ，所以函数 ( )在 R 上是减函数；
(3)因为存在 ∈ [0,6]，使 2 + 2 2 6 > 0 成立，
又因为函数 ( )是定义在 R 上的奇函数，
所以不等式可转化为 2 > 2 2 + 6 ，
因为函数 ( )在 R 上是减函数，故 2 < 2 2 + 6 ，即 < 2 + 6 ，
因为 2 + 6 = ( 3)2 + 9，
因为 ∈ [0,6]，所以 2 + 6 有最大值 9，所以 < 9，
故 的取值范围为：( ∞,9)．
18.解：(1)由函数 ( ) = 2 + (1 ) + 2( ∈ R)，
若 = 2，可得 ( ) = 2 2 + 3 4，
又由 ( ) < 0，即不等式 2 2 + 3 4 < 0，即 2 2 3 + 4 > 0，
因为 = 9 4 × 2 × 4 < 0，且函数对应的抛物线开口向上，
所以不等式 2 2 3 + 4 > 0 的解集为 R，即 ( ) < 0 的解集为 R．
(2)由 ( ) ≥ 2 3 对一切实数 > 1 恒成立，
即( 2 + 1) ≥ 1 对 ∈ (1, + ∞)恒成立，
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∵ 2 + 1 > 0，
∴ ≥ ( 1 2 +1 )max，
∵ > 1，
∴ 1 = 1 1 1 2 +1 ( 1)2+( 1)+1 = ≤ ， 1+ 1 3 1+1
当且仅当 1 = 1 1时，即 = 2 时等号成立，
∴ ≥ 1 13所以 的取值范围是[ 3 , + ∞)．
(3)依题意， ( ) < 1 等价于 2 + (1 ) 1 < 0，
当 = 0 时，不等式可化为 < 1，所以不等式的解集为{ | < 1}．
当 > 0 1时，不等式可化为( + 1)( 1) < 0，此时 < 1，
1
所以不等式的解集为{ | < < 1}．
当 < 0 时，不等式化为( + 1)( 1) < 0，
1
①当 = 1 时， = 1，不等式的解集为{ | ≠ 1}；
1 1
②当 1 < < 0 时， > 1，不等式的解集为{ | > 或 < 1}；
③当 < 1 1 1时， < 1，不等式的解集为{ | > 1 或 < }；
综上，当 < 1 时，原不等式的解集为{ | > 1 或 < 1 }；
当 = 1 时，原不等式的解集为{ | ≠ 1}；
当 1 < < 0 时，原不等式的解集为 | > 1 或 < 1 ；
当 = 0 时，原不等式的解集为{ | < 1}；
当 > 0 1时，原不等式的解集为{ | < < 1}．
19.解：(1)假设 ( )为“伪奇函数”，∴存在 满足 ( ) = ( )，
∴ 2 +1 =
2
+1有解，化为
2 + 2 = 0，无解，
( )不是“伪奇函数”；
(2) ( ) = ( 1) 3 ∈ R 为幂函数，∴ = 2，∴ ( ) = ．
∴ ( ) = 2 + ，
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∵ ( ) = 2 + 为定义在[ 1,1]的“伪奇函数”，
∴ 2 + = 2 在[ 1,1]上有解，
∴ 2 = 2 + 2 在[ 1,1]上有解，
令2 = ∈ 12 , 2
1 1
，∴ 2 = + 在 ∈ 2 , 2 上有解，
= + 1 1又对勾函数 在 2 , 1
1 5 5
上单调递减，在(1,2]上单调递增，且 = 2时， = 2， = 2 时， = 2，
∴ 5 1 5min = 1 + 1 = 2， max = 2，∴ = + 的值域为 2, 2 ，
∴ 2 ∈ 52 , 2 ，∴ ∈
5
4 , 1 ；
(3)设存在 满足，即 ( ) = ( )在 R 上有解，
∴ 4 2 +1 + 2 3 = 4 2 +1 + 2 3 在 R 上有解，
∴ 2 2 6 = 4 + 4 + 2 2 + 2 在 R 上有解，
令2 + 2 = ∈ [2, + ∞)，取等号时 = 0，
∴ 2 2 6 = 2 2 + 2 在[2, + ∞)上有解，
∴ 2 2 + 2 2 8 = 0 在[2, + ∞)上有解( )，
∵ = 4 2 4 2 2 8 ≥ 0，解得 ∈ 2 2, 2 2 ，
记 ( ) = 2 2 + 2 2 8，且对称轴 = ，
当 ∈ 2 2, 2 时， ( )在[2, + ∞)上递增，
若( )有解，则 (2) = 22 2 + 2 2 8 ≤ 0，∴ ∈ 1 3, 2 ，
当 ∈ 2,2 2 时， ( )在[2, )上递减，在( , + ∞)上递增，
若( )有解，则 ( ) = 2 2 2 + 2 2 8 = 2 8 ≤ 0，即 2 8 ≤ 0，此式恒成立，∴ ∈ 2,2 2 ,
综上可知， ∈ 1 3, 2 2 ．
第 7页，共 7页

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