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2024-2025学年山东省临沂市蒙阴县八年级（上）期末数学试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.数学中有许多精美的曲线，以下是“悬链线”“黄金螺旋线”“三叶玫瑰线”和“笛卡尔心形线”.其中不是轴对称图形的是（　　）
A. B. C. D.
2.古语有云“滴水石穿”，若水珠不断滴在一块石头上，石头上会形成一个深为0.0000052cm的小坑.将数据0.0000052用科学记数法表示为（　　）
A. 5.2×10-7 B. 0.52×10-5 C. 5.2×10-6 D. 5.2×10-8
3.如图，折叠凳及其侧面示意图，若AC=BC=17cm,则折叠凳的宽AB可能为（　　）
A. 60cm
B. 50cm
C. 40cm
D. 30cm
4.下列运算正确的是（　　）
A. 2m+n=3mn B. m6÷m2=m3 C. （-mn）2=-m2n2 D. m2 m3=m5
5.“香渡栏干屈曲，红妆映、薄绮疏棂”是中国古代对窗棂的描述，图1窗棂的外边框为正六边形（如图2），则该正六边形的每个内角为（　　）
A. 90°
B. 100°
C. 120°
D. 105°
6.某平原有一条很直的小河和两个村庄，要在此小河边的某处修建一个水泵站向这两个村庄供水．某同学用直线（虛线）l表示小河，P，Q两点表示村庄，线段（实线）表示铺设的管道，画出了如下四个示意图，则所需管道最短的是（　　）
A. B.
C. D.
7.化简的结果是（　　）
A. x-4 B. C. x+4 D. 1
8.如图，△ABC≌△AED，点E在线段BC上，∠1=40°，则∠B的度数是（　　）
A. 70°
B. 68°
C. 65°
D. 60°
9.某校九年级学生去距学校20km的科技馆研学，一部分学生乘甲车先出发，5min后其余学生再乘乙车出发，结果同时到达.已知乙车的速度是甲车速度的1.2倍，设甲车的速度为x km/h,根据题意可列方程（　　）
A. B. C. D.
10.如图所示，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，D、E是斜边BC上的两点，且∠DAE=45°，将△ADC绕点A按顺时针方向旋转90°后得到△AFB，连接EF，有下列结论：①BE=DC；②∠BAF=∠DAC；③∠FAE=∠DAE；④FB⊥BC.其中正确的有（　　）
A. ①②③④ B. ②③④ C. ②③ D. ③④
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11.当的值为零时，则x= .
12.如图，OC平分∠AOB，点P在OC上，PD⊥OB，PD=2，则点P到射线OA的距离是______.
13.分解因式：ax2+2a2x+a3= ______．
14.如图，小迪站在堤岸凉亭A点处，正对他的S点停有一艘游艇，他想知道凉亭与这艘游艇之间的距离，于是制定了如下方案.
课题 测凉亭与游艇之间的距离
测量工具 皮尺、量角器等
测量方案示意图
测量步骤 ①小迪沿堤岸走到电线杆B旁；
②再往前走相同的距离，到达C点；
③然后他向左直行，当他看到电线杆与游艇在一条直线上D处时停下来.
测量数据 AB=12米，BC=12米，CD=6米，SA⊥AC，CD⊥AC
那么凉亭与游艇之间的距离是 米.
15.如图，平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（-2，3），将线段OA绕点O顺时针旋转90°，则点A的对应点A′的坐标为______.
16.杨辉三角是二项式系数在三角形中的一种几何排列，是中国古代数学的杰出研究成果之一，比法国数学家帕斯卡发现这一规律要早约400年.观察下列各式及其展开式，请写出（a+b）6展开式中的第三项______.
三、计算题：本大题共1小题，共11分。
17.△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示．
（1）画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；
（2）将△ABC向右平移6个单位，作出平移后的△A2B2C2，并写出△A2B2C2各顶点的坐标；
（3）观察△A1B1C1和△A2B2C2，它们是否关于某条直线对称？若是，请在图上画出这条对称轴．
四、解答题：本题共6小题，共61分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
18.(本小题8分)
（1）计算：；
（2）解方程：.
19.(本小题10分)
（1）先化简，再求值（2x+y）（2x-y）-（2xy-xy2）÷x,其中x=1，；
（2）计算：.
20.(本小题9分)
如图，△ABC是等腰三角形，AB=AC，∠A=36°.
（1）尺规作图：作∠B的角平分线BD，交AC点D（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）在完成（1）的图中，还有哪些等腰三角形，并说明理由.
21.(本小题10分)
“走！去永州，品道州脐橙.”现在正是采摘脐橙的季节，某种植大户安排甲、乙两组民工负责脐橙采摘装箱，已知甲组比乙组每小时少10箱，甲组采摘300箱与乙组采摘360箱所用的时间相等，分别求甲、乙两组每小时采摘脐橙的箱数.
22.(本小题12分)
在日历上，我们可以发现其中某些数满足一定的规律.
（1）图1是2024年11月份的月历，我们用如图所示的“Z”字型框架任意框住月历中的5个数（如图1中的阴影部分），将位置B，D上的数相乘，位置A，E上的数相乘，再相减，例如：5×19-4×20= ______，2×16-1×17= ______，不难发现，结果都等于______；
（2）请你再选择两个类似的部分试试，看看是否符合这个规律；
（3）请你利用整式的运算对以上的规律加以证明；
（4）如图2，在某月历中，“Z”字型框架框住部分（阴影部分）5个位置上的数，如果最小的数和最大的数的乘积为36，那么a位置上的数为______.
23.(本小题12分)
【探究】（1）已知△ABC和△ADE都是等边三角形.
①如图1，当点D在BC上时，连接CE.请探究AB，CE和CD之间的数量关系，并说明理由；
②如图2，当点D在线段BC的延长线上时，连接CE.请再次探究AB，CE和CD之间的数量关系，并说明理由.
【运用】（2）如图3，等边三角形ABC中，AB=12，点E在AC上，，点D是线段BC上的点，连接DE，以DE为边在DE的右侧作等边三角形DEF，连接CF.当∠EFC为直角时，请补全图形，求BD的长.
1.【答案】B
2.【答案】C
3.【答案】D
4.【答案】D
5.【答案】C
6.【答案】C
7.【答案】C
8.【答案】A
9.【答案】D
10.【答案】B
11.【答案】-1
12.【答案】2
13.【答案】a（x+a）2
14.【答案】6
15.【答案】（3，2）
16.【答案】15a4b2
17.【答案】解：（1）由图知，A（0，4），B（-2，2），C（-1，1），
∴点A、B、C关于y轴对称的对称点为A1（0，4）、B1（2，2）、C1（1，1），
连接A1B1，A1C1，B1C1，得△A1B1C1；
（2）∵△ABC向右平移6个单位，
∴A、B、C三点的横坐标加6，纵坐标不变，
作出△A2B2C2，A2（6，4），B2（4，2），C2（5，1）；
（3）△A1B1C1和△A2B2C2是轴对称图形，对称轴为图中直线l：x=3．
18.【答案】4；
．
19.【答案】4x2-2y，3；
-6-2 m
20.【答案】；
还有△BCD、△ABD是等腰三角形，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠C，
∵∠A=36°，
∴∠ABC=∠ACB=（180°-36°）=72°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠DBC=∠ABC=36°，
∴∠ABD=∠A，
∴∠BDC=36°+36°=72°，
∴BD=BC，
∴△DBC是等腰三角形
21.【答案】甲组每小时采摘脐橙50箱，乙组每小时采摘脐橙60箱．
22.【答案】15，15，15；
符合这个规律；
设“Z”字型框架中位置C上的数为x，则A，B，D，E四个数依次为x-8，x-7，x+7，x+8，
由题意得，
（x-7）（x+7）-（x-8）（x+8）
=（x2-49）-（x2-64）
=x2-49-x2+64
=15；
10
23.【答案】①AB=CE+CD；理由如下：
∵△ABC和△ADE是等边三角形，
∴∠BAC=∠DAE=60°，AB=AC，AD=AE．
∴∠BAD+∠DAC=∠EAC+∠DAC，
∴∠BAD=∠CAE，
在△BAD和△CAE中，
，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴BD=CE，
∴AB=BC=BD+CD=CE+CD，
∴AB=CE+CD；
②AB+CD=CE；理由如下：
∵△ABC和△ADE是等边三角形，
∴AB=AC=BC，AD=AE=DE，∠BAC=∠DAE=60°，
∴∠BAC+∠DAC=∠DAE+∠DAC，
∴∠BAD=∠CAE，
在△BAD和△CAE中，
，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴CE=BD，
∵CB+CD=BD，
∴AB+CD=CE；
补全图形，如图3即为所求；

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