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江苏省无锡市辅仁高级中学 2026届高三上学期 9月检测
数学试卷
一、单选题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设集合 = 2 = ， = lg ≤ 0 ，则 ∪ =( )
A. {1} B. (0,1] C. [0,1] D. ( ∞,1]
2.在 中，内角 , , 所对的边分别为 , , ，则下列条件能确定三角形有两解的是( )
A. = 5, = 4, = 6 B. = 4, = 5, = 4
C. = 5, = 4, = 5 6 D. = 4, = 5, = 3
3 ( ) = cos2 .函数 2 2 的部分图像大致为( )
A. B.
C. D.
4.已知 tan π = 3 1，则sin2 cos2 的值是( )
A. 2 B. 2 C. 87 D.
10
7
5.已知函数 ( ) = ( 1) 2 sin 是奇函数，则曲线 = ( )在点(0,0)处的切线斜率为( )
A. 2 B. 2 C. 1 D. 1
6.若 cos(15° + ) = 2，则 sin(60°3 2 ) =( )
A. 2 149 B. ±
2 14
9 C.
5
9 D.
5
9
7.已知函数 ( )的定义域为 ，且 ( + 2) 2 为奇函数， (3 + 1)为偶函数， (1) = 0，则2026 =1 ( ) =( )
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A. 4050 B. 4048 C. 4044 D. 4036
8 = 2.设 21 , = ln
25
21 , = sin
2
21，则( )
A. < < B. < < C. < < D. < <
二、多选题：本题共 3小题，共 18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.函数 ( ) = 3sin( + )( > 0,0 < < )( ∈ )在一个周期内的图象如图所示，则( )
A.函数 ( ) 5 的解析式为 ( ) = 3sin(2 + 8 )( ∈ )
B. 5 函数 ( )的一条对称轴方程是 = 8
C. 函数 ( )的对称中心是( 8 , 0)， ∈
D.函数 = ( + 7 8 )是偶函数
10.在 中， = 4, = 6, = π3，点 为边 上一动点，则( )
A. = 2 7
B. 3 21当 为边 上的高线时， = 7
C.当 为边 上的中线时， = 19
D. 12 3当 为角 的角平分线时， = 5
11.设函数 ( ) = ( 2)2，则( )
A. = 2 是 ( )的极小值点
B. ( )图象的对称中心是(0,0)
C.当 > 2 时， 2 < ( )
D.当 0 < < 1 时， 9 < (2 1) ≤ 3227
三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分。
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12 5 1.已知正数 , 满足 + 2 = 1，则 +1+ 的最小值为 ．
13.函数 = sin(2 + 4 )
9
的图像与直线 = 在(0, 8 )上有三个交点，其横坐标分别为 1， 2， 3，则 1 + 2 +
3的取值范围为 ．
14.设 ( )是在 上的奇函数，在( ∞, 0)上 2 ′(2 ) + (2 ) < 0 且 ( 2) = 0，则 (2 ) < 0 的解集
为 ．
四、解答题：本题共 5小题，共 77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
1
已知函数 ( ) = cos ( 3sin + cos ) 2 ( ∈ R)
(1) π求函数 ( )的最小正周期及在区间 0, 2 上的最大值和最小值；
(2) 5 π π若 ( 0) = 13 , 0 ∈ 4 , 2 ，求 cos2 0的值．
16.(本小题 15 分)
已知函数 ( ) = 3 + 2 + + 1( , ∈ )在 = 1 处取得极值 3．
(1)求 ， 的值；
(2)若方程 ( ) = 有三个相异实根，求实数 的取值范围．
17.(本小题 15 分)
2+ 2 2
已知 的内角 ， ， 所对的边分别是 ， ， ，其面积 = 4 ．
(1)若 = 6， = 2，求 cos ．
(2)求 sin( + ) + sin cos + cos( )的最大值．
18.(本小题 17 分)
已知锐角 的内角 , , 的对边分别为 , , .且 cos + 3 sin = + ．
(1)求角 ；
(2)如图，边 的垂直平分线 交 于 ，交边 于 , = 3, = 10，求 长.
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19.(本小题 17 分)
已知函数 ( ) = ln + 2 + ， ∈ R．
(1)若函数 ( )在其定义域上为增函数，求 的取值范围；
(2)当 = 1 时，函数 ( ) = ( ) +1 在区间[ , + ∞) ∈ N
上存在极值，求 的最大值．
(参考数值：自然对数的底数 e ≈ 2.71828)
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.7+2 102
13. 5 4 ,
11
8
14.( 1,0) ∪ (0,1)
15.(1)由题知： ( ) = 3sin cos + cos2 12
3 2cos2 1 3 1 π
= 2 (2sin cos ) + 2 = 2 sin2 + 2 cos2 = sin(2 + 6 )
所以函数 ( )的最小正周期为π.
( ) = sin 2 + π 0, π 2 + π ∈ π , π ( ) = sin 2 + π π因为 6 在 6 上， 6 6 2 ， 6 为增函数，同理在 6 ,
π
2 上， ( ) =
sin 2 + π 1 π6 为减函数，又 (0) = 2 , 6 = 1,
π = 12 2，
π 1
所以函数 ( )在区间 0, 2 上的最大值为 1，最小值为 2．
(2)由(1)可知 ( π0) = sin 2 0 + 6 ，又因为 (
5
0) = 13，
π 5 π π π 2π 7π
所以 sin 2 0 + 6 = 13，由 0 ∈ 4 , 2 ，得 2 0 + 6 ∈ 3 , 6 ，
从而 cos 2 0 +
π
6 = 1 sin
2 2 0 +
π = 126 13 .
所以 cos2 0 = cos 2 +
π π = cos 2 + π cos π π π0 6 6 0 6 6 + sin 2 0 + 6 sin 6
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12 3 5 1 5 12 3
= 13 2 + 13 2 = 26
16.(1) ′( ) = 3 2 + 2 + ，
因为 ( )在 = 1 处取得极值 3，
′(1) = 0 3 + 2 + = 0所以 ，即
(1) = 3 1 + + + 1 = 3
,
解得 = 4, = 5.，经验证，满足题意，
所以 = 4, = 5.
(2)方程 ( ) = 有三个相异实根，即直线 = 与函数 = ( )图象有三个不同的交点．
由(1)知 ( ) = 3 4 2 + 5 + 1, ′( ) = 3 2 8 + 5，令 ′( ) = 0，
解得 = 1 或 = 53．
当 变化时， ′( ), ( )的变化情况如下表所示：
5 5
( ∞,1) 1, 5 3 ,
1 3 3 +∞
′( )+ +
0 0
( ) 77
单调递增3单调递减27 单调递增
因此，当 = 1 时， ( )有极大值，且极大值为 (1) = 3；
5 5 77
当 = 3时， ( )有极小值，且极小值为 3 = 27．
作函数 ( )图象如下：
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所以实数 77的取值范围是 27 , 3 ．
2 2 2
17.(1)因为三角形面积为 = 12 sin =
+
4 ，
2 2sin = +
2
所以 2 = cos

，解得 = 4，
因为 = 6 ， = 2，由正弦定理得：sin = sin ，
2× 2
所以 sin = sin 2 6 = 6 = 6 ，
因为 > ，所以 > ，所以 为锐角，
所以 cos = 306 ．
(2)由(1) = 知 4，
所以 sin( + ) + sin cos + cos( )

= sin + 4 + sin cos + cos 4
2 2 2 2
= 2 sin + 2 cos + sin cos + 2 sin + 2 cos
= 2(sin + cos ) + sin cos ，
令 = sin + cos = 2sin + 4 ，
3
因为 ∈ 0, 4 , + 4 ∈ 4 , ，

所以 sin + 4 ∈ (0,1]，所以 ∈ (0, 2],
2 2 2
原式= 2 + 1 1 12 = 2 + 2 2 = 2 + 2
3
2，
= 2 5当 ，即 = 4时，原式取得最大值2．
18.(1)因为 cos + 3 sin = + ，由正弦定理得：sin cos + 3sin sin = sin + sin ，
所以 sin cos + 3sin sin = sin( + ) + sin ，
可得： 3sin sin = cos sin + sin ．
因为 sin > 0，所以 3sin = cos + 1，
所以 sin π6 =
1 π
2，因为 ∈ 0, 2 ，
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所以 = π3．
(2)因为 = ，所以 是等腰三角形，且∠ 是一个底角，
故 0 < < π2 , 为 的中点，则 = 2 = 2 3，
在 中， = 2 3, = π3 , = 10，
3
sin = sin = 2 10 = 10由正弦定理得 2 3 4 ，
故 cos = 64 ，

所以在 Rt 中， = cos = 2 2．
19.(1)解：函数 ( ) = ln + 2 + 的定义域为(0, + ∞)，
∴ ′( ) = 1 + 2 + ，
∵函数 ( )在其定义域上为增函数，∴ ′( ) ≥ 0，
1
即 + 2 + ≥ 0 对 ∈ (0, + ∞)
1
恒成立．∴ ≤ + 2 对 ∈ (0, + ∞)恒成立．
> 0 1当 时， + 2 ≥ 2
1
2 = 2 2
1 2
，当且仅当 = 2 即 = 2 时取等号，
∴ ≤ 2 2，即 ≥ 2 2．
1
(2) = 1 ( ) = ( ) ln
1+ ln
解：当 时， ′ +1 = +1， ( ) = ( +1)2 ，
∵函数 ( )在区间[ , + ∞) ∈ N 上存在极值，
∴方程 ′( ) = 0 在[ , + ∞) ∈ N 上有解(且解不为 )，
即方程 1 + 1 ln = 0 在[ , + ∞) ∈ N
上有解(且解不为 ).
令 ( ) = 1 + 1 ln ( > 0)
1 1
，则 ′( ) = 2 < 0，
∴函数 ( )在(0, + ∞)上单调递减．
4 5
∵ (3) = 43 ln3 =
1 e
3 ln 27 > 0， (4) =
5
4 ln4 =
1
4 ln
e
256 < 0．
∴函数 ( )的零点 0 ∈ (3,4)，∵方程 ( ) = 0 在[ , + ∞) ∈ N 上有解(且解不为 )，
∴ ≤ 3，故 的最大值为 3．
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