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2024-2025学年江西省宜春市上高县九年级（上）期末数学试卷
一、选择题：本题共6小题，每小题3分，共18分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列标点符号中是中心对称图形的是（　　）
A. B. C. D.
2.下列事件为必然事件的是（　　）
A. 掷一枚骰子，向上一面的点数是7
B. 随意打开一本书，书的页码是奇数
C. 明天下雪的概率是90%，则明天一定会下雪
D. 任意画一个三角形，其内角和是180°
3.抛物线y=（x-1）2+3的顶点坐标是（　　）
A. （1，3） B. （-1，3） C. （-1，-3） D. （1，-3）
4.著x=m是方程x2+2x-1=0的一个根，则2m2+4m-3=（　　）
A. -2 B. -1 C. 1 D. 2
5.如图，AB为⊙O的直径，弦CD交AB于点E，CA=CE，若∠ACE=52°，则∠CBD的大小为（　　）
A. 68°
B. 72°
C. 78°
D. 80°
6.如图，边长为1的正六边形ABCDEF放置于平面直角坐标系中，边AB在x轴正半轴上，顶点F在y轴正半轴上，将正六边形ABCDEF绕坐标原点O顺时针旋转，每次旋转45°，那么经过第2026次旋转后，顶点D的坐标为（　　）
A. （，）
B. （，）
C. （-，）
D. （，-）
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
7.已知⊙O的半径为2，若点P在圆上，则OP 2（填“＞”、“＜”、“=”）.
8.在平面直角坐标系中，点（2，-1）关于原点对称的点的坐标是 ．
9.将抛物线y=3x2先向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，则所得的抛物线的解析式是 .
10.《九章算术》“勾股”章有一题：“今有二人同所立.甲行率七，乙行率三.乙东行，甲南行十步而斜东北与乙会，问甲、乙行各几何.”大意是说：已知甲、乙两人同时从同一地点出发，甲每单位时间走7步，乙每单位时间走3步.乙一直向东走，甲先向南走10步，后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇.那么相遇时，甲、乙各走了多远？设甲走了x步（步为古代长度单位，类似于现在的米），根据题意可列方程：______.（结果化为一般式）
11.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，CA=CB=4，分别以A、B、C为圆心，以AC为半径画弧，三条弧与边AB所围成的阴影部分的面积是______．
12.如图，在矩形ABCD中，AB=10，AD=6，以AB为直径在矩形内作半圆，点P为半圆上的一动点（不与A，D重合），连接AP、DP，当△ADP为锐角等腰三角形时，AP的长为______.
三、解答题：本题共11小题，共84分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
13.(本小题6分)
（1）解方程：2x2-3x=0；
（2）如图所示，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点H，若AB=10，CD=8，求OH的长度.
14.(本小题6分)
已知抛物线y=-x2+bx+c经过点A（1，0），B（-3，0）.
（1）求b,c的值.
（2）求抛物线的顶点坐标.
15.(本小题6分)
现代互联网技术的广泛应用，催生了快递行业的高速发展．某快递公司，今年三月份与五月份完成投递的快递总件数分别为4万件和4.84万件．现假定该公司每月投递的快递总件数的增长率相同．
（1）求该快递公司投递总件数的月平均增长率；
（2）如果平均每人每月最多可投递快递0.4万件，那么该公司现有10名快递投递业务员能否完成今年6月份的快递投递任务？如果不能，请问至少需要增加几名业务员？
16.(本小题6分)
如图，已知△ABC是等边三角形，以AB为直径作⊙O，请仅用无刻度的直尺，分别按下列要求作图，保留作图痕迹.
（1）在图（1）中作∠BAC的角平分线；
（2）连接BD，在图（2）中作∠ABD的角平分线.
17.(本小题6分)
酚酞试液是化学实验室中一种常见的酸碱指示剂，广泛应用于酸碱滴定过程中，通常情况下，酚酞遇酸性和中性溶液不变色，遇碱性溶液变红色.一次化学实验课上，老师让学生用酚酞溶液检测4瓶因标签污损无法分辨的无色溶液的酸碱性，已知这4种溶液分别是：盐酸（呈酸性）、硝酸钾溶液（呈中性）、氢氧化钠溶液（呈碱性）、氢氧化钙溶液（呈碱性）中的一种.
（1）小明将酚酞试液随机滴人其中1瓶溶液里，结果变红的概率是多少？
（2）小明和小亮从中各选1瓶溶液滴入酚酞试液进行检测，请你用列表或画树状图的方法，求2瓶溶液中1瓶变红、1瓶不变色的概率.
18.(本小题8分)
已知关于x的方程x2-（k+2）x+k=0.
（1）求证：k取任何实数值，方程总有两个不相等的实数根；
（2）若Rt△ABC斜边长a=3，另两条边长b,c恰好是这个方程的两个根，求△ABC的周长.
19.(本小题8分)
如图，△ADE由△ABC绕点A按逆时针方向旋转90°得到，且点B的对应点D恰好落在BC的延长线上，AD，EC相交于点P．
（1）求∠BDE的度数；
（2）F是EC延长线上的点，且∠CDF=∠DAC．判断DF和PF的数量关系，并证明．
20.(本小题8分)
如图，AB是⊙O的直径，弦AD，BC相交于点E，，点F在BC的延长线上，EF=AE，连接AF.
（1）求证：AF是⊙O的切线；
（2）若BD=2，，求直径AB的长.
21.(本小题9分)
小红和小琪在玩沙包游戏，某同学借此情境编制了一道数学题，请解答这道题.
如图，在平面直角坐标系中，一个单位长度代表1m.小红站在点D（6，0）处，在点A（6，1.5）处将沙包（看作点）抛出，其运动的路线为抛物线C1：y=a（x-3）2+2.5（a为常数，a≠0）的一部分，小琪恰在点B（0，c）处接住沙包，然后跳起在点C处将沙包回传，其运动的路线为抛物线C2：y=-x+c+1（n为常数）的一部分.
（1）求a,c的值；
（2）若小红在与点A的竖直距离不超过m的范围内可以直接接到回传的沙包，当n=3时，小红能否接住沙包？请说明理由；
（3）若小红可以接到回传的沙包的范围为与AD的水平距离不超过1m,与点A的竖直距离不超过m的矩形，请直接写出n的取值范围.
22.(本小题9分)
问题背景：（1）如图1，在等腰Rt△ABC中，D为BC边上一动点，将AD绕点A逆时针旋转90°得到线段AE，连接CE，判断BD与CE的数量与位置关系，并证明；
尝试运用：（2）如图2，在Rt△ABC中，D为BC边上一动点，以AD为斜边在AD右侧构造等腰Rt△ADO，连接CO，求证：BD2+CD2=4CO2；
拓展提升：（3）在（2）的条件下，若BC=6，∠AOC=120°，直接写出BD的长______.
23.(本小题12分)
如图1，已知二次函数图象与y轴的交点C（0，3），其顶点为D（1，2）.
（1）求二次函数的表达式；
（2）直线CD与x轴交于M，现将线段CM向上平移，若线段CM与二次函数的图象有交点，求CM平移的最大距离.
（3）若将（1）中二次函数图象平移，使其顶点与原点重合，然后将其图象绕O点顺时针旋转90°，得到抛物线G，如图2所示，直线y=-x+2与抛物线G交于A，B两点，P为G上位于直线AB左侧的一点，求△ABP面积的最大值，及此时点P的坐标.
1.【答案】C
2.【答案】D
3.【答案】A
4.【答案】B
5.【答案】C
6.【答案】D
7.【答案】=
8.【答案】（-2，1）
9.【答案】y=3（x+2）2-1
10.【答案】
11.【答案】8-2π
12.【答案】6或或
13.【答案】x1=0，；
OH=3
14.【答案】解：（1）把点A（1，0），B（-3，0）代入y=-x2+bx+c,
得，
解得；
（2）由（1）知，b=-2，c=3，
∴抛物线的解析式为：y=-x2-2x+3=-（x+1）2+4，
∴抛物线的顶点坐标为（-1，4）．
15.【答案】解：（1）设该快递公司投递总件数的月平均增长率为x，根据题意得
4（1+x）2=4.84
解得：x1=0.1，x2=-2.1（不合题意舍去）．
答：该快递公司投递总件数的月平均增长率为10%；
（2）∵今年6月份的快递投递任务是4.84×（1+10%）=5.324（万件），
∴10名快递投递业务员能完成的快递投递任务是：0.4×10=4＜5.324，
∴该公司现有的10名快递投递业务员不能完成今年6月份的快递投递任务：
∵平均每人每月最多可投递0.4万件，
∴需要增加业务员（5.324-4）÷0.4=3.31≈4（人），
即该公司现有的10名快递投递业务员不能完成今年6月份的快递投递任务，至少需要增加4名业务员．
16.【答案】解：（1）如图（1），AD为所作；
（2）如图（2），BF为所作．

17.【答案】解：（1）∵酚酞遇酸性和中性溶液不变色，遇碱性溶液变红色，
∴小明将酚酞试液随机滴人其中1瓶溶液里，盐酸（呈酸性）和 硝酸钾溶液（呈中性）不变色，氢氧化钠溶液（呈碱性）和氢氧化钙溶液（呈碱性）变红，
∴结果变红的概率：=；
（2）将盐酸（呈酸性）、硝酸钾溶液（呈中性）、氢氧化钠溶液（呈碱性）、氢氧化钙溶液（呈碱性）分别记作A，B，C，D，列表如下：
A B C D
A - （B，A） （C，A） （D，A）
B （A，B） - （C，B） （D，B）
C （A，C） （B，C） - （D，C）
D （A，D） （B，D） （C，D） -
由表知，共有12种可能出现的结果，其中1瓶变红、1瓶不变色有（A，C），（A，D），（B，C），（B，D），（C，A），（C，B），（D，A），（D，B）共8种结果，
1瓶变红、1瓶不变色的概率为：=．
18.【答案】（1）证明：Δ=[-（k+2）]2-4k=k2+4＞0，
则k取任何实数值，方程总有两个不相等的实数根；
（2）解：∵Rt△ABC斜边长a=3，另两边长b,c恰好是这个方程的两个根，
∴a2=b2+c2，b+c=k+2，bc=k,
则9=（b+c）2-2bc,
∴9=（k+2）2-2k,
解得：k1=-1+，k1=-1-（舍去），
∴b+c=2+k=1+，
故△ABC的周长C=4+．
19.【答案】解：（1）由旋转的性质可知，AB=AD，∠BAD=90°，
在Rt△ABD中，∠B=∠ADB=45°，
∴∠ADE=∠B=45°，
∴∠BDE=∠ADB+∠ADE=90°．
（2）DF=PF．理由如下：
由旋转的性质可知，AC=AE，∠CAE=90°，
在Rt△ACE中，∠ACE=∠AEC=45°，
∵∠CDF=∠CAD，∠ACE=∠ADB=45°，
∴∠ADB+∠CDF=∠ACE+∠CAD，
即∠FPD=∠FDP，
∴DF=PF．
20.【答案】证明见解析；

21.【答案】解：（1）把A（6，1.5）代入y=a（x-3）2+2.5得：
1.5=9a+2.5，
解得a=-，
∴y=-（x-3）2+2.5；
把B（0，c）代入得：
c=-1+2.5=1.5，
∴a的值为-，c的值为1.5；
（2）小红不能接住沙包；理由如下：
由（1）知c=1.5，
∵n=3，
∴抛物线C2：y=-x2+x+2.5，
令x=6得y=-×62+×6+2.5=，
∴抛物线C2过点（6，），
∵A（6，1.5），1.5-＞，
∴小红不能接住沙包；
（3）≤n≤
22.【答案】BD=CE，证明见解析过程；
证明见解析过程；
或．
23.【答案】y=x2-2x+3；
CM向下平移的最大距离为，向上平移的最大距离为6；
△ABP面积的最大值是，此时P（，-）
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