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2024-2025学年山东省聊城市茌平区八年级（上）期末数学试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.对于命题“若m＜n,则m2＜n2”能说明它属于假命题的反例是（　　）
A. m=1，n=2 B. m=-2，n=-1 C. m=2，n=3 D. m=3，n=5
2.某次数学竞赛，45人进入复赛，其中前22名都能获奖，结果只有22人获奖.小明已经查出自己成绩，他想判断自己是否一定能获奖，只要知道45人复赛成绩的（　　）
A. 平均数 B. 众数 C. 中位数 D. 最高分
3.若分式的值为0，则x的值为（　　）
A. 2 B. -2 C. 2或-2 D. 0
4.如图，小莹和小亮下棋，小莹执黑色棋子，小亮执白色棋子，若棋盘中心的黑色棋子位置用（-1，1）表示，小亮将第4枚白色棋子放入棋盘后，所有棋子构成轴对称图形，则小亮放白色棋子的位置可能是（　　）
A. （-2，0） B. （2，3） C. （-1，2） D. （0，2）
5.如图，等腰△ABC的底边BC长为3，面积是18，腰AC的垂直平分线EF分别交AC，AB边于E，F点.若点D为BC边的中点，点M为线段EF上一动点，则△CDM周长的最小值为（　　）
A. 6 B. 10.5 C. 13.5 D. 16.5
6.如图，在△ABC中，∠CAB的角平分线AD与∠CBA的角平分线BD交于点D，过D点作AB的平行线分别交AC、BC于点M、N，若△ABC与△CMN的周长分别为32、24，则AB的长为（　　）
A. 8 B. 15 C. 12 D. 6
7.小莹在计算一组数据的方差时，列得没有化简的算式：.关于这组数据，下列说法正确的是（　　）
①平均数是4；②众数是5；③中位数是4；④样本容量是3.
A. ①② B. ③④ C. ①③ D. ②④
8.在如图的三个图形中，根据尺规作图的痕迹，能判断射线AD平分∠BAC的是（　　）
A. ①② B. ①③ C. ②③ D. 只有①
9.《九章算术》中有一道关于古代驿站送信的题目，其白话译文为：一份文件，若用慢马送到800里远的城市，所需时间比规定时间多1天；若改为快马派送，则所需时间比规定时间少2天，已知快马的速度是慢马的倍，求规定时间．设规定时间为x天，则下列列出的分式方程正确的是（　　）
A. =× B. =×
C. =× D. =×
10.如图，在△ABC中，∠A=52°，∠ABC与∠ACB的角平分线交于D1，∠ABD1与∠ACD1的角平分线交于点D2，∠ABD2与∠ACD2的角平分线交于点D3，依此类推，∠ABDn-1与∠ACDn-1的角平分线交于点Dn，则∠BDnC的度数是（　　）（用含n的式子表示）
A. B. C. D.
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11.某校规定：学生本学期体育总评成绩由参与课堂活动、日常测试、学期末测试三部分构成，各部分在总评中所占比例为2：3：5，小明本学期三部分成绩分别是90分，85分，88分，则小明本学期体育总评成绩为 分.
12.如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，AB=BD=CD，则∠C= °．
13.如果，则的值为 .
14.如图，在△ACB中，∠ACB=90°，AC=BC，点C的坐标为（-1，0），点B的坐标为（2，5），则A点的坐标是 .
15.如图，在△ACB中，∠ACB=90°，AC=12cm,BC=6cm,CD为AB边上的高，点E从点B出发，在直线BC上以3cm/s的速度移动，过点E作BC的垂线交直线CD于点F，当点E运动______s时，CF=AB.
16.如图，在△ACB中，∠BAC=90°，AD是高，BE是中线，CF是角平分线，CF交AD于点G，交BE于点H，下面说法中正确的序 .
①△ABE的面积等于△BCE的面积；②∠FAG=2∠ACF；③∠DGC=∠ABC+∠ACF；④BH=CH.
三、解答题：本题共7小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
解方程：
（1）；
（2）.
18.(本小题8分)
先化简：，再从-1，0，1，2中取一个合适的数作为a的值代入求值.
19.(本小题8分)
为了解学生的体育锻炼情况，学校以“活跃校园---探索初中生的运动生活”为主题开展调查研究.通过问卷，收集了八、九年级学生的平均每周锻炼时长数据，现从两个年级分别随机抽取10名学生的平均每周锻炼时长（单位：小时）进行统计：
八年级：9，8，11，8，7，5，6，8，6，12；
九年级：9，7，6，9，9，10，8，9，7，6.
整理如下：
年级 平均数 中位数 众数 方差
八年级 8 a 8 4.89
九年级 8 8.5 b 1.8
根据以上信息，回答下列问题：
（1）填空：a= ______，b= ______；
（2）A同学说：“我平均每周锻炼8.2小时，位于年级中等偏上水平”，由此可判断他是______年级的学生；
（3）你认为哪个年级的学生体育锻炼情况的总体水平较好？请给出一条理由.
20.(本小题10分)
【问题背景】角平分线判定的发展是一个漫长的过程，古希腊时期，欧几里得的《几何原本》对角平分线判定就已经有了一些早期的思考.随着时间的推移，数学家们不断深入研究几何图形的性质.在近代和现代数学中，角平分线的判定得到了更加精确的表述和证明，并广泛应用于各个领域，如平面几何、解析几何、三角学等.
【问题解决】如图，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，BE=CF.
（1）求证：AD平分∠BAC；
（2）连接EF，求证：AD垂直平分EF.
21.(本小题12分)
“冬吃萝卜夏吃姜，不劳医生开药方”，冬季吃萝卜好处多.某蔬菜批发店销售圆萝卜和长萝卜，已知圆萝卜每箱售价是长萝卜每箱售价的1.5倍，经调查发现销售450元的圆萝卜箱数比销售400元的长萝卜箱数要少5箱.
（1）求圆萝卜和长萝卜每箱售价分别为多少元？
（2）该蔬菜批发店12月第一周销售圆萝卜100箱，长萝卜150箱.第二周该店调整价格，圆萝卜打折销售，长萝卜售价不变，结果第二周圆萝卜的销量比上周增加了20%，长萝卜的销量比上周减少了30箱，最后发现第二周的销售总金额比第一周的销售总金额少了540元，请问圆萝卜打了几折？
22.(本小题12分)
已知：如图，BD为△ABC的角平分线，且BD=BC，E为BD延长线上的一点，BE=BA.
（1）试说明：∠BCE+∠BCD=180°；
（2）判断AE和CE的大小关系，并说明理由.
23.(本小题12分)
【初步探索】
（1）如图1：在四边形ABCD中，AB=AD，∠B=∠ADC=90°，E、F分别是BC、CD上的点，且EF=BE+FD，探究图中∠EAF与∠BAD之间的数量关系.
小王同学探究此问题的方法是：延长FD到点G，使DG=BE.连接AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，可得出结论，他的结论应是______；
【灵活运用】
（2）如图2，若在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=180°.E、F分别是BC、CD上的点，且EF=BE+FD，上述结论是否仍然成立，并说明理由；
【拓展延伸】
（3）如图3，已知在四边形ABCD中，∠ABC+∠ADC=180°，AB=AD，若点E在CB的延长线上，点F在CD的延长线上，如图3所示，仍然满足EF=BE+FD，请写出∠EAF与∠DAB的数量关系，并给出证明过程.
1.【答案】B
2.【答案】C
3.【答案】B
4.【答案】C
5.【答案】C
6.【答案】A
7.【答案】A
8.【答案】B
9.【答案】B
10.【答案】C
11.【答案】87.5
12.【答案】36
13.【答案】
14.【答案】（-6，3）
15.【答案】6或2
16.【答案】①②③
17.【答案】x=1；
无解
18.【答案】解：
=
=
=
=，
根据分式有意义的条件可知：a≠0，a-1≠0，a+1≠0，
则有a≠0，a≠1，a≠-1，
在-1，0，1，2中，a只能取2，
当a≠2时，有：原式=，
即化简结果为：，值为：-1．
19.【答案】（1）8，9；
（2）八；
（3）我认为学生体育锻炼情况的总体水平较好，
理由：因为八、九年级的平均数相等，九年级每周锻炼时间小于八年级每周锻炼时间的方差，所以九年级的学生体育锻炼情况的总体水平较好．
20.【答案】证明：（1）∵D是BC的中点，
∴BD=CD，
∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠BED=∠CFD=90°，
在Rt△BDE和Rt△CDF中，
，
∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HL），
∴DE=DF，
∴AD平分∠BAC；
（2）如图，连接EF，
∵Rt△BDE≌Rt△CDF，
∴∠B=∠C，
∴AB=AC，
∵BE=CF，
∴AB-BE=AC-CF，
∴AE=AF，
∵DE=DF，
∴AD垂直平分EF．
21.【答案】圆萝卜每箱售价为30元，长萝卜每箱售价为20元；
圆萝卜打了八五折
22.【答案】∵BD为△ABC的角平分线，
∴∠ABD=∠CBD，
∵BD=BC，BE=BA，
∴△ABD≌△EBC（SAS），
∴∠BCE=∠BDA，
∵BD=BC，
∴∠BCD=∠BDC，
∴∠BCE+∠BCD=∠BDA+∠BDC=180°；
AE=EC，理由如下：
∵BE=BA，
∴∠BAE=∠BEA，
∵∠ABD=∠CBD，∠BCD=∠BDC，
∴∠BCD=∠BEA，
∵∠BCE=∠BDA，∠BCE=∠BCD+∠DCE，∠BDA=∠DAE+∠BEA，
∴∠DCE=∠DAE，
∴AE=EC
23.【答案】∠BAE+∠FAD=∠EAF．理由见解答；
结论仍成立，理由见解答；
∠ EAF=180°-∠DAB，证明见解答．
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