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2024-2025学年山东省临沂市莒南县八年级（上）期末数学试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.在代数式中，分式的个数为（　　）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
2.若分式有意义，则x的取值范围是（　　）
A. x=-1 B. x≠-1且x≠-2 C. x≠-2 D. x＞-2
3.下列运算正确的是（　　）
A. a2 a3=a6 B. （a3）2=a6 C. （2ab2）2=2ab4 D. （-a）5÷a2=a3
4.如图，为了测量B点到河对岸的目标A之间的距离，在与B点同侧的河岸上选择了一点C，测得∠ABC=65°，∠ACB=30°，再在M处立了标杆，使∠CBM=65°，∠MCB=30°，测得MB的长是15米，则A，B两点间的距离为（　　）
A. 7.5米
B. 15米
C. 20米
D. 30米
5.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，BE平分∠ABC，ED⊥AB于D.如果∠A=30°，AE=8cm,那么CE=（　　）
A. 4cm B. 5cm C. 6cm D. 8cm
6.点P（-3，4）关于x轴对称的点P′的坐标是（　　）
A. P'（3，4） B. P'（-3，-4） C. P'（3，-4） D. P'（4，-3）
7.我们可以利用图形中的面积关系来解释很多代数恒等式.给出以下4组图形及相应的代数恒等式：
①（a+b）2=a2+2ab+b2
②（a-b）2=a2-2ab+b2
③（a+b）（a-b）=a2-b2
④（a-b）2=（a+b）2-4ab
其中，图形的面积关系能正确解释相应的代数恒等式的有（　　）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
8.如果关于x的分式方程有解，则a的值为（　　）
A. a=1 B. a=2 C. a=-1且a≠-2 D. a≠1且a≠2
9.已知x-y=5，则x2-y2-10y的值是（　　）
A. 10 B. 15 C. 20 D. 25
10. 题目：“如图，AE与BD相交于点C，且ACBECD，AB=6cm,点P从点A出发，沿A→B→A方向以4cm/s的速度运动，点Q从点D出发，沿D→E方向以1cm/s的速度运动，P、Q两点同时出发，当点P到达点A时，P、Q两点同时停止运动，设点P的运动时间为t（s）.连接PQ，当线段PQ经过点C时，求t的值.”对于其答案，甲答：1.2s,乙答：2s,则正确的是（　　）
A. 只有甲答的对 B. 只有乙答的对
C. 甲、乙答案合在一起才完整 D. 甲、乙答案合在一起也不完整
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11.若4y2+my+9能用公式法进行因式分解，则常数m的值为______.
12.若分式的值为0，则x的值为______.
13.若x+3y-2=0，则=______．
14.若关于x的方程的解是非负数，则m的取值范围是 .
15.张老师和李老师同时从学校出发，步行15km去县城购买书籍，张老师比李老师每小时多走1km，结果比李老师早到半小时，两位老师每小时各走多少km？设李老师每小时走xkm，依题意，得到的方程是______．
16.已知：如图，BD为△ABC的角平分线，且BD＝BC，E为BD延长线上的一点，BE＝BA，过E作EF⊥AB，F为垂足，下列结论：
①△ABD≌△EBC；②∠BCE+∠BCD＝180°；③AD＝EF＝EC；④AE＝EC，其中正确的是 （填序号）
三、解答题：本题共8小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题8分)
因式分解：
（1）m3-4m；
（2）a3-2a2b+ab2.
18.(本小题8分)
解分式方程：
（1）；
（2）.
19.(本小题8分)
化简式子÷（x-），从0，1，2中取一个合适的数作为x的值代入求值．
20.(本小题8分)
如图，四边形ABCD中，AB=AC，∠D=90°，BE⊥AC 于点F，交CD于点E，连接EA，EA平分∠DEF.
（1）求证：AF=AD；
（2）若BF=7，DE=3，求CE的长.
21.(本小题9分)
阅读下面的解题过程：已知，求的值.
解：由知x≠0，所以，即.
因此，所以的值为.
该题的解法叫做“倒数法”，请你利用“倒数法”解决下面的问题：
已知：，求：
（1）；
（2）的值.
22.(本小题9分)
第一届全国青少年三大球运动会于2024年11月20日至11月28日在长沙市和岳阳市举行.有来自全国25个省、自治区、直辖市的96支队伍，约1500名运动员到湖南省参赛，决赛场次总计308场.长沙市南雅中学作为本次三大球运动会的承办地之一，承担了足球赛事.在筹备期间，为了确保赛事顺利进行，学校准备一次性购买若干个足球和排球，用480元购买足球的数量和用390元购买排球的数量相同，已知足球的单价比排球的单价多15元.
（1）足球和排球的单价各是多少元？
（2）根据学校实际情况，需一次性购买足球和排球共100个，但要求其总费用不超过7550元，那么学校最多可以购买多少个足球？
23.(本小题10分)
问题背景：
（1）如图1，在四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=120°，∠B=∠ADC=90°，E、F分别是BC、CD上的点.且∠EAF=60°.探究图中线段BE，EF，FD之间的数量关系小王同学探究此问题的方法是：延长FD到点G，使DG=BE，连接AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，可得出结论：EF=BE+DF，请你写出证明过程.
探索延伸：
（2）如图2，若在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠ADC=180°，E、F分别是BC、CD上的点，且，上述结论是否仍然成立，并说明理由，
24.(本小题12分)
发现与探索；
（1）根据小明的解答将下列各式因式分解：
小明的解答；a2-6a+5=a2-6a+9-9+5=（a-3）2-4=（a-5）（a-1）.
①a2-12a+20；
②a2-6ab+5b2.
（2）根据小丽的思考解决下列问题：
小丽的思考：代数式（a-3）2+4无论a取何值（a-3）2都大于等于0，再加上4，则代数式（a-3）2+4大于等于4，则（a-3）2+4有最小值为4.
①说明：代数式a2-12a+20的最小值为-16.
②请仿照小丽的思考解释代数式-（a+1）2+8的最大值为8，并求代数式-a2+12a-8的最大值.
1.【答案】B
2.【答案】C
3.【答案】B
4.【答案】B
5.【答案】A
6.【答案】B
7.【答案】D
8.【答案】D
9.【答案】D
10.【答案】C
11.【答案】±12
12.【答案】-3
13.【答案】4
14.【答案】m≥1且m≠2
15.【答案】
16.【答案】①②④
17.【答案】解：（1）m3-4m
=m（m2-4）
=m（m+2）（m-2）；
（2）a3-2a2b+ab2
=a（a2-2ab+b2）
=a（a-b）2．
18.【答案】；
无解．
19.【答案】解：原式=÷
=
=，
∵分式中分母不能为0.
∴x≠0，2，
∴当x=1时，原式=-1．
20.【答案】（1）证明：∵∠D=90°，
∴AD⊥DE，
∵EA平分∠DEF，
∴∠EAD=∠EAF，
∴∠AED=∠AEF，
又∵AF⊥EF，
∴AF=AD；
（2）解：在Rt△ABF和△RtACD中，
，
∴Rt△ABF≌△RtACD（HL），
∴BF=CD=7，
∵DE=3，
∴CE=CD-DE=7-3=4．
21.【答案】6；

22.【答案】解：（1）设足球的单价是x元，则排球的单价是（x-15）元，
，
x=80，
经检验，x=80是原方程的解，且符合实际意义，
∴x-15=65．
答：足球的单价是80元，排球的单价是65元．
（2）设购买m个足球，则可购买（100-m）个排球，
∴80m+65（100-m）≤7550，
∴m≤70．
又∵m为正整数，
∴m可以取的最大值为70．
答：学校最多可以购买70个足球．
23.【答案】证明如下：在△ABE和△ADG中，
，
∴△ABE≌△ADG（SAS），
∴AE=AG，∠BAE=∠DAG．
∵∠EAF=60°，∠BAD=120°，
∴∠GAF=∠DAG+∠DAF=∠BAE+∠DAF=60°，
∴∠EAF=∠GAF，
在△AEF和△AGF中，
，
∴△AEF≌△AGF（SAS），
∴EF=FG．
∵FG=DG+DF=BE+DF，
∴EF=BE+DF．
结论EF=BE+DF仍然成立．
理由如下：延长FD到点G使DG=BE，连接AG，如图，
∵∠B+∠ADF=180°，∠ADF+∠ADG=180°，
∴∠B=∠ADG．
在△ABE和△ADG中，
，
∴△ABE≌△ADG（SAS），
∴AE=AG，∠BAE=∠DAG．
∵，
∴，
∴∠EAF=∠GAF，
在△AEF和△AGF中，
，
∴△AEF≌△AGF（SAS），
∴EF=FG．
∵FG=DG+DF=BE+DF，
∴EF=BE+DF
24.【答案】①（a-10）（a-2）；②（a-5b）（a-b）；
①a2-12a+20
=a2-12a+36-36+20
=（a-6）2-16，
∵（a-6）2≥0，
∴（a-6）2-16≥-16，
∴a2-12a+20的最小值为-16；
②∵-（a+1）2≤0，
∴-（a+1）2+8≤8，
∴-（a+1）2+8的最大值为8；
-a2+12a-8
=-（a2-12a+8）
=-（a2-12a+36-36+8）
=-（a-6）2+36-8
=-（a-6）2+28，
∵-（a-6）2≤0，
∴-（a-6）2+28≤28，
∴-a2+12a-8的最大值为28
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