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江苏省锡山高级中学 2026届高三(基地班)上学期 9月检测
数学试卷
一、单选题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设 ∈ , = 3+ ii ，其中 为虚数单位．则“ > 1”是“| | > 10”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
2.已知数列 的通项公式为 = 2 + 2 ，那么 120 是这个数列的第( )项．
A. 9 B. 10 C. 11 D. 12
3 0 < < < < 3 sin( 3 .已知 4，4 4， 4 + ) =
5
13，sin(

4 + ) =
3
5，则 cos( + ) =( )
A. 63 B. 33 33 6365 65 C. 65 D. 65
4.作边长为 3 的正三角形的内切圆，在这个圆内作内接正三角形，然后再作新三角形的内切圆.如此下去，
则前 个内切圆的面积之和为( )
A. 1 1 1 1 1 13 4 π B. 1 4 π C. 1 4 1 π D. 3 1 4 π
5.已知函数 ( ) = sin( + )( > 0, > 0,0 < < )为偶函数，将 ( )图象上所有点的横坐标伸长到

原来的 2 倍(纵坐标不变)，所得的图象对应的函数为 ( )，若 ( )最小正周期为 2 ，且 4 = 2，则
3 8 =( )
A. 2 B. 2 C. 2 D. 2
6.将自然数 1，2，3，4，5，……，按照如图排列，我们将 2，4，7，11，16，……都称为“拐角数”，则
下列哪个数不是“拐角数”.( )
A. 22 B. 30 C. 37 D. 46
7.在 +3 中，角 , , 的对边分别是 , , ，且 2 cos = ，则 的最小值为( )
A. 2 B. 2 2 C. 4 D. 4 2
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8 , , , , , , sin .在 中，内角 所对的边分别为 ，若cos cos cos 成等差数列，则cos cos 的最小值为( )
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
二、多选题：本题共 3小题，共 18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知 , , 分别是 三个内角 , , 的对边，则下列命题中正确的是( )
A.若 > ，则 cos < cos
B.若 = π π6 , = 1, = 2，则 = 4
C.若 是 所在平面内的一点，且 = + 2 ，则 是直角三角形
D. π 3若 = 6 , = 1，则 的最大值是2
10 π.已知函数 ( ) = 2sin + 6 ( > 0)，对 1, 2, 3 ∈ 0, π ，且 ∈ 0, π 都有 1 ≤ ( ) ≤ 2 ，
满足 3 = 0 的实数 3有且只有 3 个，则下列选项中正确的是( )
A. 17 23的取值范围是 6 ≤ < 6 B. ( )的最小值为 1
C.满足条件的实数 1有且只有 2 个 D.满足条件的实数 2有且只有 2 个
11.窗花是贴在窗户上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，图 1 是一个正八边形窗花，图 2 是从窗花
图中抽象出几何图形的示意图.已知正八边形 的边长为 2， 是正八边形 边上任意一
点，则下列说法正确的是( )
A. + = 3
B. 的最大值为 12 + 8 2

C. 在 方向上的投影向量为 2
D.若函数 ( ) = ,则函数 ( )的最小值为 2 + 2
三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分。
12 cos( π ) = 3.已知 6 4，则 sin(2 +
π
6 ) + cos
2( π2 12 )的值为 ．
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13.已知函数 ( ) = sin(2π π 16 )，当 ∈ [0,20]时，把 ( )的图象与直线 = 2的所有交点的横坐标依次记为
1, 2, 3, , ，记它们的和为 ，则 = ．
→ → → →
14.已知 为 2 所在平面内一点，且点 满足 = + 3 → + → ，
= ，则∠ = ．

四、解答题：本题共 5小题，共 77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
sin π2 sin 2022π sin π + ( ) =
cos 9π2 cos 5π +
(1)化简 ( )；
(2)若 + π 1 π 5π6 = 4 , ∈ 3 , 6 ，求 ( )的值．
16.(本小题 15 分)
2+
1已知数列 的前 项积为 ，其中 = 3 2 ，数列 的通项公式为 = 4log ．9
(1)求数列 及 的通项公式；
(2) 求数列 的前 项和 ；
(3) 求证： +1 =1 < 2 ．
17.(本小题 15 分)
已知函数 ( ) = sin2 cos cos2 cos π2 + 0 < | | <
π π
2 ，对 ∈ ，有 ( ) ≤ 3
(1)求 的值及 ( )的单调递增区间：
(2)在 中，已知 = 4, ( ) = 1，其面积为 5 3，求 ；
(3)将函数 = ( ) π图象上的所有点，向右平移24个单位后，再将所得图象上的所有点，纵坐标不变，横坐
标变为原来的 2 倍，得到函数 = ( )的图象，若 ∈ 0, π , 2 ( ) + sin2 ≤ 2 2 3 ，求实数 的取
值范围
18.(本小题 17 分)
已知等比数列 的前 项和为 ，且 +1 = 2 + 2 ∈ N ．
(1)求数列 的通项公式；
(2)在 与 +1之间插入 个数，使这 + 2 个数组成一个公差为 的等差数列，在数列 中是否存在 3 项
， ， (其中 ， ， 成等差数列)成等比数列？若存在，求出这样的 3 项；若不存在，请说明理由．
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19.(本小题 17 分)
对于平面向量 = , ( = 1,2, )，定义“ 变换”： +1 = = cos sin , sin +
cos ， 0 < < π
(1)若向量 1 = (2,1)， =
π
3，求 2；
(2)求证： = +1 ；
(3)已知 = 1, 1 ， = 2,
′ = 2 ， ， ′ =

，求证： = ′ ′ ．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.1
13.11803 /393
1
3
14.π3
sin π sin 2022π sin π+
15.(1) ( ) = 2
cos 9π2 cos 5π+
cos sin sin
= sin cos = sin
(2) ( ) = sin + π = sin + π = 1，则 6 6 4，
∈ π 5π π π π3 , 6 , ∴ + 6 ∈ 2 , π ，∴ cos + 6 =
15
4 ，
则 sin = sin + π π6 6
= sin + π6 cos
π π π
6 cos + 6 sin 6，
= 1 × 3 + 15 × 1 = 3+ 154 2 4 2 8 ，
3+ 15
因此 ( ) = 8 ．
16.(1)当 = 1 时， 1 = 1 = 3；
2+ 2
当 ≥ 2 时， = 3

2 , 1 = 3 2 , = = 3 ； 1
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因为当 = 1 时，也满足 = 3 .故数列 的通项公式为 = 3 ．
因为 = 1 1 1 1 4log =9 4log93
= 2log99
= 2 ，
1
所以数列 的通项公式为 = 2 ．
(2)由(1) 得， 2 3 = 2 3 ，则 = 2 3 + 4 3 + 6 3 + + 2 3
，

两边同乘以 3，得：3 = 2 32 + 4 33 + 6 34 + + 2 3 +1,
两式相减得，
3 1 3
2 = 2 3 + 2 32 + 2 33 + + 2 3 2 3 +1 = 2 1 3 2 3
+1 = (1 2 )3 +1 3,
(2 1)3 +1+3
所以数列 的前 项和 = ． 2
(3)由(1) 1得， = 2 ，则数列 单调递减，所以 +1 > 0,且 +1 < ，
所以 +1 + < 2 ，
+1 = 2 所以 +1 < 2 +1 = 2 +1 ， 2 +1+
所以：

+1 < 2 +1 = 2 1 2 + 2 3 + + +1 =1 =1
= 2 1 +1 < 2，
故 +1 =1 < 2得证．
17.(1) ( ) = sin2 cos cos2 cos π2 + = sin2 cos + cos2 sin = sin(2 + )，
对 ∈ ，有 ( ) ≤ π3 ，故
π
3 = sin
2π
3 + =± 1，
2π π
所以 3 + = 2 + π, ∈ Z
π
，解得 = 6 + π, ∈ Z，
π π
因为 0 < | | < 2，故只有当 = 0 时，满足要求，故 = 6，
( ) = sin 2 π π π π6 ，令 2 + 2 π ≤ 2 6 ≤ 2 + 2 π, ∈ Z，
π π
解得 6 + π ≤ ≤ 3 + π, ∈ Z，
( )的单调递增区间为 π6 + π,
π
3 + π , ∈ Z；
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(2) ( ) = sin 2 π6 = 1，
∈ 0, π 2 π ∈ π , 11π 2 π = π因为 ，所以 6 6 6 ，故 6 2，解得 =
π
3，
= 4, 1 = 2 sin = 5 3，即 2
3
2 = 5 3，解得 = 5，
由余弦定理得 2 = 2 + 2 2 cos = 16 + 25 2 × 4 × 5 × 12 = 21，
故 = 21；
(3) = ( ) π π图象上的所有点，向右平移24个单位后，得到 = sin 2 6
π
12 = sin 2
π
4 ，
再将所得图象上的所有点，纵坐标不变，横坐标变为原来的 2 π倍，得到 ( ) = sin 4 ，
∈ 0, π , 2sin π4 + sin2 ≤ 2
2 3 ，
即 ∈ 0, π , sin cos + 2sin cos ≤ 2 2 3 ，
令 sin cos = ，则 = 2sin π4 ∈ 1, 2 ，
则 2sin cos = 1 sin cos 2 = 1 2，
故 ∈ 1, 2 , 2 + + 1 ≤ 2 2 3 ，
2
其中 2 + + 1 = 12 +
5
4，当 = 1 时，
2 + + 1 取得最小值，最小值为 1，
所以 1 ≤ 2 2 3 1，解得 ≥ 1 或 ≤ 2，
1
故实数 的取值范围为 ∞, 2 ∪ [1, + ∞)
18.(1)由题意知当 = 1 时， 1 = 2 1 + 2①，
当 = 2 时， 21 = 2 1 + 1 + 2②，
联立①②，解得 1 = 2， = 3；
所以数列 的通项公式 = 2 × 3 1．
(2)由(1)知 = 2 × 3 1 ， +1 = 2 × 3 ，
所以 = + ( + 2 1) ，可得 = +1 4×3
1
+1 +1 = +1 ；
设数列 中存在 3 项 ， ， (其中 ， ， 成等差数列)成等比数列，则 2 = ，
4×3 1 2 4×3 1 1= 4×3 16×3
2 2 16×3 + 2
所以 +1 +1 +1 ，即 ( +1)2 = ( +1)( +1)；
又因为 ， ， 成等差数列，所以 2 = + ，
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所以( + 1)2 = ( + 1)( + 1)，化简得 2 + 2 = + + ，即 2 = ；
又 2 = + ，所以 = = 与已知矛盾；
所以在数列 中不存在 3 项 ， ， 成等比数列．
19.(1)因为向量 1 = (2,1)， =
π
3，
π π π π
所以 2 = π 1 = 2cos 3 sin 3 , 2sin 3 + cos 3 = 1
3
2 , 3 +
1
2 ；3
(2)因为向量 = , ， +1 = = cos sin , sin + cos ，
所以 = 2 + 2 ，
+1 = cos sin 2 + sin + 2 cos
= 2 2 cos 2 cos sin + 2 sin2 + 2 sin2 + 2 sin cos + 2 cos2
= 2 cos2 + sin2 + 2 sin2 + cos2 = 2 + 2
所以 = +1 ；
(3)因为 = 1, 1 ， = 2,

2 ，
′ =

， ′ = ，

则 ′ = = 1cos 1sin , 1sin + 1cos ，
′ = = 2cos 2sin , 2sin + 2cos ，
故 = = 2 1, 2 1 ，所以 = 2 21 + 22 1 ，
′ ′ = ′ ′ = 2cos 2sin 1cos + 1sin , 2sin + 2cos 1sin 1cos ，
′ ′ = 2cos 2sin 1cos + 1sin 2 + 22sin + 2cos 1sin 1cos
= 2 22 1 cos 2 1 sin + 2 1 sin + 2 1 cos
= 2 21 cos2 + 2 21 sin2 + 2 21 sin2 + 2 22 1 cos
= 2 21 + 2 21
所以 = ′ ′ ．
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