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广东省肇庆市碧海湾学校等两校 2026届高三上学期 9月月考
数学试卷
一、单选题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设 为虚数单位，则复数 = (2 )对应的点位于
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
2.若集合 = 2, 1, 2, 3 ， = = 2 , ∈ ，则 ∩ =( )
A. 2 B. 2 C. 2, 2 D.
3.直线 + 2cos = 0 被圆 2 + 2 + 2 3 + 2 = 0 截得的弦长最大值为( )
A. 2 10 B. 105 10 C. 2 D.
4 5
5
4.某校高一共有 10 个班，编号 1 至 10，某项调查要从中抽取三个班作为样本，现用抽签法抽取样本，每
次抽取一个号码，共抽 3 次，设五班第二次被抽到的可能性为 ，则( )
A. = 1 2 39 B. = 9 C. = 10 D. =
1
10
5.锐角△ 中，若 = cos2 12，则 =( )
A. 12 B.

8 C. 6 D. 4
6.在 5 道试题中有 3 道填空题和 2 道选择题，不放回地依次随机抽取 2 道题，在第 1 次抽到填空题的条件
下，第 2 次抽到选择题的概率为( )
A. 3 B. 15 2 C.
3
10 D.
1
10
7.十进制计数法简单易懂，方便人们进行计算.也可以用其他进制表示数，如十进制下，68 ÷ 7 = 9 5；9 ÷
7 = 1 2；1 ÷ 7 = 0 1 将余数从下往上排列起来，所以 125 就是 68 这个数的七进制.表示形式 68 = 1 ×
72 + 2 × 71 + 5 就是 125，个位数为 5，那么用七进制表示十进制的611，其个位数是( )
A. 6 B. 5 C. 2 D. 1
8.若实数 、 、 满足 2 + 2 + 2 = 2，则 + + 的取值范围是( )
A. [ 1,2] B. [1,2] C. [ 1,1] D. [ 2,2]
二、多选题：本题共 3小题，共 18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
( + 1)2 1, < 0,
9.已知函数 ( ) =
2
则( )
2 + 1 , ≥ 0,
A.若 ( ) = 1，可得 = 1
B.函数 ( )的值域为[ 1, + ∞)
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C.函数 ( )的减区间为( ∞, 1]
D.直线 = 2024 与函数 ( )的图象有且仅有两个交点
10.下列命题是真命题的是( )
A. ∈ 1， + = 1 B. > 0，
2 = 2
C. ∈ ， 2 ≥ 1 D. > 0，ln > 0
11.设 = { | + 1 33 }， = { | 4 }都是集合{ |0 ≤ ≤ 1}的子集，如果 叫做集合
{ | }的长度，则下列说法正确的是( )
A.集合 1 3的长度为3 B.集合 的长度为4
C. 1 1集合 ∩ 的长度最小值为12 D.集合 ∩ 的长度最大值为12
三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分。
12.等比数列 中， 2 = 2, 5 = 16，那么数列 的前 6 项和 6 =
13.如图所示，正方体的棱长为 3，以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为 ．
14 log ( ), < 0.已知函数 ( ) = 2 2, ≥ 0若函数 ( ) = ( ) 有四个零点 1, 2, 3, 4，且 1 < 2 < 3 < 4，
3+ 则 41 2 + 的取值范围是 ．
四、解答题：本题共 5小题，共 77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
如图所示，圆锥的顶点为 ，底面中心为 ，母线 = 4, ∠ = 120°，且 = 2．
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(1)求圆锥的体积；
(2)求二面角 的大小(结果用反三角表示)．
16.(本小题 15 分)
1 4
已知数列 满足： +1 = 2 + ；
(1) 41若 3 = 20，求 1的值；
(2) 8若 1 = 4，记 = 2 ，数列 的前 项和为 ，求证： < 3．
17.(本小题 15 分)
已知四棱锥 的底面是正方形， ⊥平面 ．
(Ⅰ)设平面 ∩平面 = ，求证： / / ；
(Ⅱ)求证：平面 ⊥平面 ．
18.(本小题 17 分)
→ →
已知向量 = ( , 3 )， = (1,0)，且( + 3 ) ⊥ ( 3 )．
(1)求满足上述条件的点 ( , )的轨迹 的方程；
(2)设曲线 与直线 = + ( ≠ 0)相交于不同的两点 ， ，点 (0, 1)，当| | = | |时，求实数
的取值范围．
19.(本小题 17 分)

已知函数 ( ) = +1 + ln ，曲线 = ( )在点 1, (1) 处的切线方程为 + 1 = 0．
(1)求 ， 的值；
(2)当 ∈ (1, + ∞) ( ) > ln 时， +1 + 2 恒成立，求实数 的取值范围．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.63
13.92
14.[4, + ∞)
15.【详解】(1)圆锥的高 = 2 2 = 16 4 = 2 3，
1 1 8 3
则圆锥的体积为 = 23 π = 3π × 4 × 2 3 = 3 π；
(2)取 的中点 ，连接 , ，
因为 = , = ，所以 ⊥ ， ⊥ ，
由图可知，二面角 为锐角，
故∠ 为二面角 的平面角，
因为∠ = 120°，所以∠ = ∠ = 30°，
故 = 12 = 1，
则 = 2 + 2 = 12 + 1 = 13，
故 sin∠ = =
2 3 2 39
13 = 13 ，
故∠ = arcsin 2 3913 ．
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16.【详解】(1) ∵数列 满足： +1 =
1
2 +
4
， 3 =
41
20
，
∴ 41 120 = 2 2 +
4 5 8
，解得 2 =2 2
或5；
5
当 2 = 2时，解得 1 = 1 或 4．
当 2 =
8
5时，无解．∴ 1 = 1 或 4．
(2) ∵ 1 = 4
1
， 2 +1 2 = 2 2 > 0；
∴ > 2 4
2
．∴ = +1 2 < 0，
∴ 为单调递减数列．∴ 2 < ≤ 4，
∴ 2 1 1 12 = 2 ≤ 4， +1 2 =
2
2 2 ≤
1
4 2 ，
1 1
∴ 2 ≤ 1 4 1 2 = 2
1
4 ，

1 1
∴ = 1 + 2 + + = 1 2 + 2 2 + + 4 2 ≤ 2 × 1 = 2 ×
4
3 1
1 8 1
1 4
= 3 1 4 ，
4
1
因为 4 > 0，所以 <
8
3．
17.证明：(Ⅰ) ∵ 平面 ， 平面 ， // ，
∴ //平面 ，
又 平面 ，平面 ∩平面 = ，
∴ // ．
(Ⅱ) ∵ ⊥平面 ， 平面 ，∴ ⊥ ，
∵四棱锥 的底面是正方形，∴ ⊥ ，
∵ ∩ = ， ， 平面 ，
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∴ ⊥平面 ，
∵ 平面 ，∴平面 ⊥平面 ．
18.解：(1)由题意得： + 3 = ( + 3, 3 ), 3 = ( 3, 3 )，
∵ ( + 3 ) ⊥ ( 3 ),即( + 3 )·( 3 ) = 0
可得( + 3)( 3) + 3 2 = 2 3+ 3 2 = 0，
2
∴ 点的轨迹 的方程为 23 + = 1．
= + ≠ 0
(2)由 2 2 ，得(3
2 + 1) 2 + 6 + 3( 2 1) = 0，
3 + = 1
由于直线与椭圆有两个不同的交点，
∴ > 0，即 2 < 3 2 + 1①
设弦 的中点为 ( , )， 、 分别为点 、 的横坐标，
+
=
2
则 2 =
3 +1 +3 +1
3 2+1，从而 = + = 3 2+1 , = = 3
，
又| | = | |，
2
∴ ⊥ +3 +1 1，则 3 = ，即 2 = 3
2 + 1②，
将②代入①得 2 > 2，解得 0 < < 2，
2 1
由②得 2 = 3 > 0，解得 >
1
2．
故所求的 取值范围是( 12 , 2)．
19.详解：(1)函 = ( )的定义域为(0, + ∞)，
′( ) = ( +1)2 + ，把 1, (1) 代入方程 + 1 = 0 中，得 1 (1) + 1 = 0，
即 (1) = 2，∴ = 4 ，又因为 ′(1) = 1，∴ 4 + = 1，
故 = 2．
(2)由(1)可知 ( ) = 4 +1 + 2ln ，
ln
当 > 1 时， ( ) > +1 + 2 恒成立等价于 2 2 + (2 + 2 )ln > 0．
设 ( ) = 2 2 + (2 + 2 )ln ，
则 ′( ) = 2 + 2ln + (2 + 2 ) 1 = 2ln + 2 ，
由于 > 1, ln > 0，
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当 ≤ 2 时， ′( ) > 0，则 = ( )在(1, + ∞)上单调递增，
( ) > (1) = 0 恒成立．
当 > 2 时，设 ( ) = ′( )，则 ′( ) = 2 2 2 > 0.则 =
′( )为(1, + ∞)上单调递增函数，
又由 ′(1) = 2 < 0.即 ( )在(1, + ∞)上存在 0，使得 ′ 0 = 0，
当 ∈ 1, 0 时， ( )单调递减，当 ∈ 0, + ∞ 时， ( )单调递增；
则 0 < (1) = 0，不合题意，舍去．
综上所述，实数 的取值范围是( ∞,2]．
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