资源简介

江苏省淮安市四星高中大联考 2026 届高三上学期第一次学情调查
数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设集合 = 2, 1,0,1,2 , = ∣ ( 2) ≤ 0 ，则 ∩ =( )
A. 1 B. 1,2 C. 0,1,2 D. (0,2)
2.已知复数 = 2 1+ 2 2 3 i 为纯虚数，则实数 =( )
A. 1 B. 1 C. 3 D. 1 或 1
3 ∈ 0, π.若 2 ，2sin2 = 1 cos2 ，则 tan =( )
A. 12 B. 1 C. 2 D. 4
4.已知直线 1: (2 + 1) + + 1 = 0， 2: ( + 2) + + 2 = 0，则“ = 1”是“ 1/\ !/ 2”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
5 +1.数列 满足： 1 = 1， +1 = + log2 ，则 8 =( )
A. 2 2 B. 3 C. 4 D. 4 2
6.在边长为 2 的正方形 中， 为 的中点，点 在线段 上运动，则 的取值范围是( )
A. [0,4] B. [2,6] C. [0,3] D. [2,4]
7.设函数 ( )是定义域为 的偶函数，且 = ( + 2)为奇函数，当 ∈ [0,2)时， ( ) = 2，则
(2025) =( )
A. 1 B. 0 C. 1 D. 2025
8.若函数 ( ) = ln + ( )2存在极大值点，则实数 的取值范围是( )
A. (0,2) B. ( ∞,0)
C. (2, + ∞) D. ( ∞,0) ∪ (2, + ∞)
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.设 是复数，则下列命题中正确的有( )
A. + ∈ R B. ∈ R C. | |2 = 2 D. | | =
10.在公比 为整数的等比数列 中， 是数列 的前 项和，若 1 + 4 = 18， 2 + 3 = 12，则下列说
法正确的是( )
第 1页，共 7页
A. = 2 B.数列 lg 是公差为 2 的等差数列
C. S8 = 510 D.数列 + 2 是等比数列
11.设 ∈ ，函数 ( ) = + ，则下列结论正确的是( )
A.若 = 1，则 ( )为偶函数
B.若 > 0，则 ( )的最小值为 2
C.若 ( )为增函数，则 < 0
D.若曲线 = ( )关于直线 = ln2 对称，则 = 4
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.在公比不等于 1 的等比数列 中，其前 项和为 ，若 4 3 2 = 3，则公比 = ．
13.已知函数 = 2sin π4 在区间[0, ]上有且仅有 3 个零点，则 的取值范围为 ．
14.已知向量 = (1,0), = (1, ), 25 = + 24 ，则当 tan , 取得最大值时，| | = ．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
已知向量 , 满足| | = 1, | | = 4，且 , 的夹角为 60°．
(1)求(2 ) ( + )；
(2)若( + ) ⊥ ( 2 )，求实数 的值．
16.(本小题 15 分)
已知函数 ( ) = sin( + )，其中 > 0, > 0, 0 < < π，函数 ( )图象上相邻的两个对称中心之间的
π π
距离为4，且在 = 3处取到最小值 2．
(1)求函数 ( )的解析式；
(2) π若将函数 ( )图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变)，再将其向左平移6个单位，得到函
数 ( )图象，求函数 ( )的单调递增区间和对称中心．
17.(本小题 15 分)
+
在△ 中，角 ， ， 所对的边分别是 ， ， .已知 sin = sin 2 ， = 5，△ 的面积为 10 3．
(1)求 ， ;
(2) 为边 上一点，
①若 是∠ 的平分线，求线段 的长;
②若 = 2 ，求 tan∠ ．
第 2页，共 7页
18.(本小题 17 分)
设 是等差数列， 是等比数列，且 1 = 1 = 2 2 = 3 3 = 1．
(1)求 与 的通项公式；
(2)求数列 + 2 的前 项和 ；
(3)求2 =1 +1 ( 1)
．
19.(本小题 17 分)
已知定义域为 的函数 ( )的导函数 ′( ) = 3 2 + 2cos ，且曲线 = ( )在点 0, (0) 处的切线方程
为 = ．
(1)求 的值；
(2)当 = 1 时，讨论 ( )的单调性；
(3)若 ( ) ≥ 0 在 ∈ [0, + ∞)上恒成立，求 的取值范围．
第 3页，共 7页
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12. 13
13. 9π4 ,
13π
4
14.5
15.(1)由(2 ) ( + ) = 2 2 +
2
= 2 + 2 16 = 12；
2
(2)由( + ) ⊥ ( 2 )，则( + ) ( 2 ) = 2 + ( 2) 2 = + 2( 2) 32 = 0，
所以 3 36 = 0，可得 = 12．
16.(1)函数 ( ) = sin( + )，其中 > 0, > 0, 0 < < π，
π π 2π
由题知函数 ( )的最小正周期为 = 4 × 2 = 2 = ，解得 = 4，
又函数 ( )在 = π π3处取到最小值 2，则 = 2，且 3 = 2，
4π 3π
所以 3 + = 2 π + 2 , ∈ Z，得到 =
π
6 + 2 π, ∈ Z
又 0 < < π，令 = 0，得 = π6，
所以 ( ) = 2sin 4 + π6 ．
(2)函数 ( ) = 2sin 4 + π6 图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变)，
第 4页，共 7页
得 = 2sin 2 + π π π π6 ，再向左平移6个单位，可得 ( ) = 2sin 2 + 6 + 6 = 2cos2 ，
令 π + 2 π ≤ 2 ≤ 0 + 2 π, ∈ Z π，解得 2 + π ≤ ≤ π, ∈ Z，
所以 ( ) π的单调递增区间为 2 + π, π ∈ Z ．
令 2 = π π π2 + π, ∈ Z，解得 = 4 + 2 , ∈ Z，
所以 ( ) π π的对称中心为 4 + 2 , 0 ∈ Z ．
17. + 解：(1)因为 sin = sin 2 ，
2sin cos 所以 2 2 = sin

2 = cos

2，
因为 0 < < ，所以 0 < 2 < 2，

所以 cos 2 ≠ 0，
所以 sin 1 2 = 2，可得 = 3，
因为 △ = 10 3， = 5，
所以 1 5△ = 2 sin = 2 ×
3
2 = 10 3，
所以 = 8，
由余弦定理得 2 = 2 + 2 2 cos = 49，
所以 = 7；
(2) 1①因为 = 2 × × sin∠ +
1
2 × × sin∠ = 10 3′
所以 = 40 313 ；
②设∠ = ，所以∠ = 60 ，0 < < 60 ，
在△ 中，由正弦定理得，sin∠ = sin ，
在△ 中，由正弦定理得，sin∠ = sin(60 )，
由 = 2 ，sin∠ = sin∠ ，得 4sin(60 ) = 5sin ，解得 tan = 2 37 ，
即 tan∠ = 2 37 ．
18.(1)设 公差为 ， 公比为 ，则 = 1 + ( 1) , 1 = ，
第 5页，共 7页
1 + = 1
由 1 = 1 = 2 2 = 3 3 = 1 可得 1 + 2 2 = 1 = = 2( = = 0 舍去)，
所以 = 2 1, = 2 1．
(2)由(1)知 + 2 = (2 1) + 2 2 1 = (2 1) + 2 ，
(1+2 1) 2 1 2
则 = 2 + 1 2 =
2 + 2 +1 2．
(3)因为 2 ( 1)2 1 2 2 1 2 1 + 2 +1 ( 1) 2 2
= (4 1 + 4 3) × 22 2 + [4 + 1 (4 1)] × 22 1
= (8 4) × 22 2 + 2 × 22 1 = 22 +1 = 2 4 ，
所以2 =1 +1 ( 1)
，
= 2 1 2 =1 [( 2 ( 1) 2 1) 2 1 + ( 2 +1 ( 1) 2 ) 2 ] = =1 2 4 ，
设 =

=1 2 4
，
所以 = 2 × 4 + 4 × 42 + 6 × 43 + + 2 × 4 ①，
则 4 = 2 × 42 + 4 × 43 + 6 × 44 + + 2 × 4 +1②，

①减②得 3 = 2 4 + 42 + 43 + 44 + + 4 2 4 +1 =
2×4 1 4
1 4 2 × 4
+1
(2 6 )4 +1= 83 ，
= (6 2)4
+1+8
所以 9 ，
2 ( 1) = (6 2)4
+1+8
所以 =1 +1 9 ．
19.解：(1)由题意知 ′( ) = 3 2 + 2cos ，
且曲线 = ( )在点 0, (0) 处的切线方程为 = ，
所以 ′(0) = 1，即 2 = 1，解得 = 1．
(2)由(1)知， = 1，则当 = 1 时， ′( ) = 3 2 + 2cos 1．
令 ′( ) = ( )，则 ′( ) = 6 2sin = 2 3 sin ，
令 ( ) = 3 sin ，则 ′( ) = 3 cos > 0，
所以 ( )在 上单调递增，且 (0) = 0，
1
所以 > 0 时， ( ) = ′2 ( ) > 0，所以 ( ) =
′( )在(0, + ∞)上单调递增；
第 6页，共 7页
当 < 0 时， ( ) = 12
′( ) < 0，所以 ( ) = ′( )在( ∞,0)上单调递减．
所以 ′( ) ′min = (0) = 1 > 0，所以 ( )在 上单调递增．
(3)由曲线 = ( )在点 0, (0) 处的切线方程为 = ，得 (0) = 0，
又 ′( ) = 3 2 + 2cos 1，所以 ( ) = 3 + 2sin ．
当 = 0 时， (0) = 0，则 ( ) ≥ 0 恒成立，所以 ∈ ．
当 > 0 时，由 ( ) ≥ 0 2sin ，得 ≥ 3 ．
( ) = 2sin ′( ) = 2 3sin cos 令 3 ，则 4 ．
令 ( ) = 3sin cos ，则 ′( ) = sin + 2cos 1，
再令 ( ) = sin + 2cos 1，则 ′( ) = cos sin ，
令 ( ) = cos sin ，则 ′( ) = sin ．
①当 0 < ≤ π时， ′( ) = sin < 0，故 ( )在 0, π 上单调递减，
又 0 = 0，所以 ′( ) = ( ) < (0) = 0，故 ( )在 0, π 上单调递减，
因为 (0) = 1 > 0， π = 3 < 0，
所以存在 0 ∈ 0, π ，使得 ′ 0 = 0 = 0，
于是 ( )在 0, 0 上单调递增，在 0, π 上单调递减．
由于 (0) = 0， π = 0，于是 ∈ 0, π 时， ( ) ≥ 0，此时 ′( ) ≥ 0，
所以 ( )在 0, π 上单调递增， ( )在 0, π 上的最大值为 π = 1π2．
3
②当 > π时，令 ( ) = 2sin + π2 > π ，
′( ) = 2cos + 3
2 2
则 π2 1 > 2 +
3π
π2 1 = 0，
所以 ( )在 π, + ∞ 上单调递增，此时 ( ) > π = 0，
故当 ∈ π, + ∞ ( ) = 2sin 1时， 3 < π2，
2sin 1
由①②知 ( ) = 3 在(0, + ∞)上的最大值为π2，
1 1
所以 ≥ π2，即 的取值范围是 π2 , + ∞ ．
第 7页，共 7页

展开更多......

收起↑