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青海省西宁市大通回族土族自治县2026届高三上学期开学摸底考试
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.复数，则的实部虚部和模分别是( )
A. B. C. D.
2.设全集，则( )
A. B. C. D.
3.已知向量，若，则的值为( )
A. B. C. D.
4.在的展开式中，含的项的系数为( )
A. B. C. D.
5.已知，若是的必要不充分条件，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
6.已知函数，若的图象在处的切线方程为，则( )
A. B. C. D.
7.已知等差数列的公差为，前项和为，若成等比数列，则( )
A. B. C. D.
8.设，函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知一组数据：，，，，，，，，，若去掉和，则剩下的数据与原数据相比，下列说法正确的是( )
A. 中位数不变 B. 平均数不变 C. 方差不变 D. 第百分位数不变
10.已知函数，则下列说法正确的是( )
A. 的最小正周期为
B. 是的图象的一个对称中心
C. 在区间上的值域为
D. 将的图象向左平移个单位长度得到的图象对应的函数是偶函数
11.已知，是椭圆的左、右焦点，，是上位于第二象限内一点，为坐标原点，．为上一点，且，点为的中点，与交于点，且，则( )
A. 点在以为直径的圆上 B. 椭圆的离心率为
C. 椭圆的方程为 D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知为抛物线的焦点，为上一点，若，则 ．
13.已知，且，则 ．
14.若圆锥内半径最大的球的表面积为，则圆锥的侧面积的最小值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知的三个内角，，的对边分别为，，，且．
求的值；
若，求的值．
16.本小题分
设双曲线的左右焦点分别为，过点且垂直于轴的直线被截得的弦长为，过原点且斜率为的直线交于两点．
求的方程；
求四边形的面积．
17.本小题分
如图，在矩形中，，将沿着翻折到的位置，得到三棱锥，且平面，如图所示．
求证：平面平面；
求直线与平面所成角的正弦值．
18.本小题分
已知函数的两个极值点分别为和．
求的解析式；
若直线与曲线有且仅有两个公共点，求的值．
19.本小题分
杜老师为了解学生“十一假期”的出行情况，在校内随机抽取了名学生，对其出行情况进行调查，结果如下：
市外游 市内游 合计
男生
女生
合计
依据小概率值的独立性检验，判断学生“十一假期”选择市外游或市内游是否与性别有关联；
在学校里，小林同学每次都从校内的甲、乙两个餐厅中选择一个就餐．
已知小林同学第一次选择甲、乙两个餐厅的概率相同，若第一次就餐选择了甲餐厅，则第二次就餐选择乙餐厅的概率为；若第一次就餐选择了乙餐厅，则第二次就餐选择甲餐厅的概率为，求小林同学第二次就餐选择乙餐厅的概率；
假设小林同学每次选择甲、乙两个餐厅就餐的概率分别为、，且每次选择互不影响．若选择甲餐厅就餐记分，选择乙餐厅就餐记分，小林同学选择甲、乙两个餐厅就餐累计得分恰为分的概率为，求数列的通项公式．
参考公式：，其中．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.因为，所以，
由正弦定理，得，
又因，所以，
因为，所以，
所以．
由知，
由余弦定理，得，即，
整理得，解得舍去，
故

16.过点且垂直于轴的直线为，
将代入双曲线方程可得，解得；
因此可得，又，且，
解得，
故双曲线的方程为．
如下图所示：
联立，解得，
所以四边形的面积．

17.因为平面，平面，可得，，
由题意可知：，且，平面，
可得平面，由平面，所以平面平面．
由题意可知：，
设点到平面的距离为，
因为，即，解得，
所以直线与平面所成角的正弦值为．

18.，
由题意，得和是关于的方程的两根，
由韦达定理，得解得
此时．
当时，；当时，；当时，，
所以在和上单调递增，在上单调递减，
所以是的极大值点，是的极小值点，符合题意．
综上，．
直线与曲线有且仅有两个公共点，等价于关于的方程仅有两个实根，
即关于的方程仅有两个实根．
设，则．
当时，；当时，；当时，，
所以在和上单调递增，在上单调递减，
所以是的极大值点，是的极小值点，
且，．
根据题意，得或
解得或．

19.解：零假设：选择市外游或市内游与性别无关联．
由列联表中的数据，得，
所以依据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断不成立，故可推断成立，
即“十一假期”选择市外游或市内游与性别无关联．
解：记事件：小林同学第一次就餐选择了甲餐厅，事件：小林同学第二次就餐选择了乙餐厅，
则，
所以，
即小林同学第二次就餐选择乙餐厅的概率为．
由题得，
当时，，
所以，故为常数数列．
又，所以，故．
又，
所以是以为首项，为公比的等比数列，
所以，故．

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