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上海市控江中学 2026 届高三上学期 9 月开学考试
数学试卷
一、单选题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列函数中，值域为[0, + ∞)的是
1
A. = 2 B. = 2 C. = tan D. = cos
2.若 , ∈ ，且 > 0，则下列不等式中，恒成立的是
A. 2 + 2 > 2 B. + ≥ 2 C. 1 1 2 + > D. + ≥ 2
3.设 为数列 的前 项和，“ 是递增数列”是“ 是递增数列”的( )．
A.充分非必要条件 B.必要非充分条件
C.充要条件 D.既非充分又非必要条件
4.已知圆锥曲线 的对称中心为原点 .若对任意给定的 ，均存在 上的三点 , , 使得 与
相似，则称曲线 为“完备曲线”.现有如下两个命题：
①任意椭圆都是“完备曲线”；
②存在双曲线不是“完备曲线”
下列判断正确的是( )．
A.①②都是真命题 B.只有①是真命题 C.只有②是真命题 D.①②都是假命题
二、填空题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。
5.设全集 = 1,2,3,4 ，集合 = 2,4 ，则 = ．
6.不等式| 2| > 1 的解集为 ．
7.在△ 中，tan = 23 ，则 sin =
8.已知直线 的倾斜角为直线 = 3 + 1 的倾斜角的一半，则直线 的斜率为 ．
9.已知 , ∈ R，若 = 1，则 2 + 2的最小值是 ，
10.如果圆锥的底面圆半径为 1，母线长为 2，则该圆锥的侧面积为 ．
11.在( 1 )8 的展开式中，
4的系数为 . (用数字作答)
12.若 1 + 2 ( 是虚数单位)是方程 2 + + = 0( , ∈ )的一个根，则 =
13.若 ( )是定义在 上的奇函数，当 < 0 时， ( ) = log2(2 )，则 (0) + (2) = ；
14.一份考卷有 10 道考题，分别为 , 两组，每组 5 道．现要求考生选答 6 道，但每组最多选 4 道，有 种
选法．
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15.已知数列 满足： 1 = 1， +1 ∈ 1, 2, , ∈ ，记数列 的前 项和为 ，若对所有
满足条件的列数 ， 10的最大值为 ，最小值为 ，则 + = ．
16.已知平面向量 、 、 都是单位向量且 = 12 .
1
若对区间 2 , 1 内的任意实数 1， 2， 3，都有 1 + 2
+
13 ≥ 2 +
+ ，则 的最小值为 ．
三、解答题：本题共 5 小题，共 70 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题 14 分)
四棱锥 ，底面为正方形 ，边长为 4， 为 中点， ⊥平面 ．
(1)若△ 为等边三角形，求四棱锥 的体积；
(2)若 的中点为 ， 与平面 所成角为 45°，求 与 所成角的大小．
18.(本小题 14 分)
在 中，角 、 、 对应边为 、 、 ，其中 = 2．
(1) 2π若 + = 3，且 = 2 ，求边长 的值；
(2) = π若 12 , = 2 sin ，求 的面积．
19.(本小题 14 分)
为迎接我校校庆，文创中心组织师生共同准备了书签及明信片这两种校庆纪念品，每种纪念品均分为手绘
款和普通款两类．校庆当日，志愿者小江负责在弦歌台服务点发放纪念品．在做准备工作时，小江清点了
服务点已有的各类纪念品的份数，发现缺失手绘款明信片，准备向文创中心申请补领，其余纪念品的份数
如下表所示：
书签明信片
手绘款40
普通教150 120
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(1)设每位抵达的校友可以随机抽取 1 份纪念品，小江补领了手绘款明信片 40 张．记事件 ：首位抵达的校
友抽到手绘款纪念品，事件 ：首位抵达的校友没有抽到明信片，分别计算 ( )、 ( )，并判断事件 ，
是否独立；
(2)设每位抵达的校友可以随机抽取 2 份纪念品．若小江希望事件“首位抵达的校友恰好抽到一张明信片，
且恰好抽到一份手绘款纪念品”发生概率大于 0.2，且考虑到纪念品总数有限，希望补领的手绘款明信片的
张数尽可能地少，则他应该申请补领多少张手绘款明信片？
20.(本小题 14 分)
2
已知椭圆 : 4 +
2 = 1．
(1)求椭圆 的离心率；
(2) 4设 、 、 是椭圆 上的不同三点，若 = + 3
2
5 5
，点 为线段 的中点，求证：点 在椭圆 22 + 2 =
1 上；
(3)已知直线 过点 1, 0 且斜率为 ( ≠ 0)，直线 与椭圆 相交于 1, 1 , 2, 2 ，设 与
的面积比为 ，当 0 < 2 < 512时，求实数 的取值范围．
21.(本小题 14 分)
设函数 = ( )和函数 = ( )的定义域均是 , 是 的非空子集.若对任意 1, 2 ∈ ，当 1 2 ∈ 时，总
有 1 2 ∈ ，则称函数 = ( )是函数 = ( )的一个“ 关联函数”．
(1)若 = 0 ，求函数 = e 的所有“ 关联函数”；
(2)若 = [0, + ∞)，且函数 = 2 ln + 是其自身的一个“ 关联函数”，求实数 的取值范围；
(3)已知 = ( )是定义在 上的函数．若存在定义在 上的函数 = ( )，使得对任意正整数 ，都满足 =
( ) 1是 = ( )的一个“ +1 ,
1
关联函数”，求证： = ( )是 上的严格增函数．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5. 1,3
6.( ∞,1) ∪ (3, + ∞)
7. 2211
8. 33
9.2
10.2π
11.28
12.1
13. 2
14.200
15.1078
16.0
17.解：(1) ∵△ 为等边三角形，且 为 中点， = 4，
∴ = 2 3，
又 ⊥平面 ，
∴四棱锥 的体积 = 1 1 2 32 33 正方形 = 3 × 2 3 × 4 = 3 ．
(2) ∵ ⊥平面 ，
∴ ∠ 为 与平面 所成角为 45°，即∠ = 45°，
∴△ 为等腰直角三角形，
∵ ， 分别为 ， 的中点，
∴ = = 4，
∴ = 2 + 2 = 2 5，
∵ // ，
∴ ∠ 或其补角即为 与 所成角，
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∵ ⊥平面 ，∴ ⊥ ，
又 ⊥ ， ∩ = ， 、 平面 ，
∴ ⊥平面 ，∴ ⊥ ，
在 △ 中，tan∠ = 2 5 5 = 4 = 2 ，
故 与 所成角的大小为 arctan 52 ．
18.(1)由 = 2 ，可得 sin = 2sin ，结合 + = 2π3，
得 sin 2π3 = 2sin
3
，即 2 cos +
1
2 sin = 2sin ，
3 3
则 2 cos = 2 sin ，可得 tan =
3
3 ，
由于 0 < < 2π π π π3 ，故 = 6，则 = 2 , = 3，
1
= = sin
2×
故 2
2 3
sin sin ，得 sin = 3 = 3 ；
2
(2)由题意知 = 2 sin ，故 sin = 2sin sin ，
由于 sin > 0 sin = 2，故 2 ，
结合 = π π12，可知 为锐角，则 = 4，
故 = π , = 5π 5π π π3 12，sin = sin 12 = sin 4 + 6 = sin
π π π π 6+ 2
4 cos 6 + cos 4 sin 6 = 4 ，
2
2×
故sin = sin ，得 =
sin
sin =
2
6+ 2 = 2 3 1 ；
4
1 1 3所以 = 2 sin = 2 × 2 × 2 3 1 × 2 = 3 3．
19.(1)依题意，
书签明信片
手绘款40 40
普通教150 120
( ) = 40+40 840+40+150+120 = 35，
( ) = 40+150 1940+40+150+120 = 35，
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( ) = 40 440+40+150+120 = 35，
因为 ( ) ≠ ( ) ( )，
所以事件 ， 不独立．
(2)设手绘款明信片的张数为 ，首位抵达的校友恰好抽到一张明信片，且恰好抽到一份手绘款纪念品为事
件 ，
C1C1 1 1
则 ( ) = 150+C40C1202 > 0.2，解得 58.07 < < 822.93，C310+
考虑到纪念品总数有限，希望补领的手绘款明信片的张数尽可能地少，且为整数，
所以手绘款明信片的张数为 59．
2
20.(1) 由 24 + = 1 可得 = 2, = 1，则 =
2 2 = 3，
则椭圆 的离心率为 = =
3
2 ．
(2)
如图，设 ( 3, 3), ( 4, 4), ( 0, 0), ( , )，
因 , , 是椭圆 上的不同三点，则 2 23 + 4 3 = 4, 24 + 4 2 2 24 = 4, 0 + 4 0 = 4，( )
由 = 4 + 3 5 5 可得( 0, 0) =
4
5 (
3
3, 3) + 5 ( 4, 4)，
4 3 4 3
即 0 = 5 3 + 5 4① 0 = 5 3 + 5 4②，
由①2 + 4 4②2可得： 2 20 + 4 0 = ( 5 3 +
3
5
2 4 3
4) + 4( 5 3 + 5 4)
2，
2 + 4 2 = 16 ( 2 + 4 2) + 9 ( 2 + 4 2) + 24即 0 0 25 3 3 25 4 4 25 ( 3 4 + 4 3 4)，
将( )代入整理得： 3 4 + 4 3 4 = 0．
+ +
又因点 ( , )为线段 的中点，故 = 3 42 , =
3 4
2 ，
2
由 + 2 2 = 1 ( 3+ 4 )2 + 2( 3+ 4 )2 = 12 2 2 2 8 (
2
3 + 4 2
1 2 2 1
3) + 8 ( 4 + 4 4) + 4 ( 3 4 + 4 3 4)
1 1 1 2= 8 × 4 +
2
8 × 4 + 4 × 0 = 1，可知点 在椭圆 2 + 2 = 1 上.
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(3)
2
依题意，设直线 : = ( 1)，将其与 24 + = 1 联立，
消元整理得：(4 2 + 1) 2 8 2 + 4 2 4 = 0，
2
1 +
8
2 = 2
显然 > 0，且 4 +12 ，因 1 = ( 1 1), 2 = ( 2 1)，
= 4 41 2 4 2+1
1×| |×| |
则 = = 2 1 1 1 = | |，又 1 2 < 0 =
1 = 1 ，则 1，
2×| |×| 2| 2 2
2 1
+ 1 = 1 1 + 2 1 = (1 1)
2+( 2 1)2 = ( 1+ 2)
2 2 1 2 2( 由 1
+ 2)+2
2 1 1 1 (1 1)( 2 1) ( 1+ 2) 1 2 1
8 2( )2 2×4
2 4 8 2 2× +2 2
= 4 2+1 4 2+1 4 2+1 = 24 +102 2 2 = 2 +
4
，
8 2
2
4 4 1 12 +3 12 +3
4 +1 4 2+1
0 < 2 < 5 3 < 12 2 + 3 < 8 1 < 4 < 4 5 1 10因 12，则得 ，故2 12 2+3 3，即得2 < + < 3．
1
又函数 ( ) = + , ( > 0)在(0,1)上单调递减，在(1, + ∞)上单调递增，且 (1) = 2，
1 10 1 1 5 1
又由 + = 3解得 = 3或 = 3，由 + = 2解得 = 2或 = 2，
1 1
由函数图象可得3 < < 2或 2 < < 3，
1 1
故实数 的取值范围为( 3 , 2 ) ∪ (2,3)．
21.(1)设 = ( )是 = e 的 0 关联函数，
对于 1, 2 ∈ ，
当 1 2 ∈ {0}时，即 1 2 = 0，总有 1 e 2 ∈ 0 ，
所以 2 e 2 = 0，
设 2 = ，则 ( ) e = 0，
所以 ( ) = e ，
所以 = e 的 0 关联函数为 = e ．
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(2)因为 = 2 ln + 是其自身的一个[0, + ∞)关联函数．

对于 1, 2 ∈ (0, + ∞)，当 1 2 ≥ 0 时， 21 ln 1 + 2 2 ln 2 + ≥ 0．1 2
= 2 ln + 所以函数 在(0, + ∞)上单调递增，
1
所以 ′ = 2 2 ≥ 0 在(0, + ∞)上恒成立，
即 ≤ 2 3 在(0, + ∞)上恒成立，所以 ≤ 2 3 min， ∈ (0, + ∞)
设 ( ) = 2 3 ，则 ′( ) = 6 2 1，
令 ′( ) > 0 6，则 > 6 ；
′( ) < 0 6，则 0 < < 6 ，
所以 ( )在 0, 6 66 上单调递减，在 6 , + ∞ 上单调递增，
所以 ( )min =
6 6
6 = 9 ，
所以 ≤ 69 ，
所以 6的取值范围为 ∞, 9 ．
(3)因为存在定义在 上的函数 = ( )，使得对于任意正整数 ，都满足 = ( )是 = ( ) 1 1的一个 +1 ,
关联函数．
所以对任意 1, 2 ∈ ，当 1 ∈
1 , 1 1 12 +1 时，有 1 2 ∈ +1 , ，
= , 1 1 1 1取 1 2 = 2 ，则 ( ) ( 2 ) ∈ 2 +1 , 2 ，
1
取 1 = + 2 , 2 = ，则 ( +
1 ) ( ) ∈ 12 2 +1 ,
1
2 ，
= + 1 , = 1 ( + 1 1取 1 2 2 2 ，则 2 ) ( 2 ) ∈
1
+1 ,
1
，
因为 ( ) ( ) = ( ) ( 1 12 ) ( + 2 ) (
1 1
2 ) + ( + 2 ) ( )
所以 ( ) ( ) ∈ 1 1 1 1 1 1 1 12 +1 + 2 +1 , 2 +1+ 2 = (2 +1) , ( +1)
若 ( ) ( ) = ≠ 0 1 1 1 1，则存在 ，使得 | | < (2 +1) < ( +1) < | |，此时 (2 +1) , ( +1) ，矛
盾，
所以 ( ) ( ) = 0，
所以对任意 1, 2 ∈ ，对于任意正整数 ，当 1 ∈
1 1
2 +1 , 时，
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∈ 1 1有 1 2 +1 , ，
可得当 0 < 1 2 ≤ 1 时， ( 1) ( 2) > 0，
则对于任意整数 ， ( )在( , + 1]上单调递增，
当 1 2 > 1 时，存在整数 1, 2，使得 1 + 1 ≥ 1 > 1 > > 2 + 1 ≥ 2 > 2，
则可得 ( 1) > ( 1) > > ( 2 + 1) ≥ ( 2)，
则 ( )是 上的严格增函数．
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