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上海市上海中学东校2026届高三上学期暑假返校评估测试数学试卷
一、单选题：本题共4小题，每小题3分，共12分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若，则不等式成立的一个充要条件是 ．
A. B. C. D.
2.下列关于统计概率知识的判断，正确的是( )
A. 将总体划分为层，通过分层随机抽样，得到两层的样本平均数和样本方差分别为和，且已知，则总体方差
B. 在研究成对数据的相关关系时，相关关系越强，相关系数越接近于
C. 某医院住院的位新冠患者的潜伏天数分别为，，，，，，，，则该样本数据的第百分位数为
D. 若，则事件，相互独立
3.如图，是四面体已知，，以下两个语句中：棱与棱一定相等；棱与棱不一定相等；下列选项判断正确的是( )
A. ，都正确 B. 正确，错误 C. 错误，正确 D. ，都错误
4.设函数，设集合，设，则为( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共12小题，每小题3分，共36分。
5.所有满足的集合的个数是 ．
6.等号成立时的范围 ．
7.曲线平行于直线的切线方程为 ．
8.已知函数在区间上的最大值是，则实数 ．
9.已知是第二象限的角，化简： ．
10.某种动物从出生起活到岁的概率为，从出生起活到岁的概率为，现有一个岁的这种动物，它能活到岁的概率为 ．
11.在直角三角形中，点是斜边的中点，点为线段的中点，则 ．
12.如图，在矩形中，，，点为的中点，点在边上，若，则的值是 ．
13.将排成一列，不在首位且不在末位的不同排法共有 种
14.已知等差数列的前项和分别为和，若，且是整数，则的值为 ．
15.已知双曲线的左，右焦点分别为，，过左焦点作直线与双曲线交于，两点在第一象限，若线段的中垂线经过点，且点到直线的距离为，则双曲线的离心率为 ．
16.已知函数，将的图象绕原点逆时针旋转后，所得曲线仍是函数的图象，则的取值范围为 ．
三、解答题：本题共4小题，共52分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
已知函数．
当时，求不等式的解集；
设，若不等式对一切恒成立，求实数的取值范围．
18.本小题分
已知向量，且，
求函数在上的单调递减区间；
已知的三个内角分别为，其对应边分别为，若有，，求面积的最大值．
19.本小题分
已知点分别为椭圆的左右焦点，直线与椭圆有且仅有一个公共点，直线，垂足分别为点．
求证：；
求证：为定值，并求出该定值；
求的最大值．
20.本小题分
已知函数．
当，时，求曲线在点处的切线方程；
当时，既存在极大值，又存在极小值，求的取值范围；
当，时，，分别为的极大值点和极小值点，且，求实数的取值范围．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.或
8.或．
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.【详解】当时，，由，得，
即，则，解得，
所以不等式的解集为．
不等式，
当时，原不等式成立；
当时，由绝对值三角不等式，得，当且仅当取等号，
因此，即，解得，则，
所以实数的取值范围是．

18.【详解】，，即，
所以，
令，，解得：，，
因为，所以，解得：，
因为，所以，所以，
函数在上的单调递减区间为；
，即，
因为，所以，所以，解得：，
因为，所以，从而，
由基本不等式可得：，当且仅当时等号成立，
即，解得：，
由面积公式得：，当时，等号成立，
所以面积的最大值为

19.【详解】联立与得：，
由直线与椭圆有一个公共点可知：，
化简得：；
由题意得：，
因为，所以，故，
其中，，
所以，
为定值，该定值为；
，
由题意得：点在直线的同侧，
所以，
，其中为的夹角，
由此可知：，
当且仅当即时，等号成立，所以的最大值为．

20.【详解】函数的定义域为，
当，时，，
则，故，又，
所以曲线在点处的切线方程为，即．
当时，，定义域为，
所以，
因为既存在极大值，又存在极小值，
所以必有两个不等的实数根，
当时，不符合题意，
故，令，解得或且
所以且，
当时，，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
当时，，单调递增；
所以函数分别在，时取到极大值和极小值，满足题意，
当时，，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
当时，，单调递增；
所以函数分别在，时取到极大值和极小值，满足题意，
综上，的取值范围为．
由知，或，
所以，
，
由题意，得对任意的恒成立，
因为当时，在上单调递减，
所以，故，
所以，且，则．
令，其中，
所以，
令，则，
当，即时，，在上单调递增，
所以，即，符合题意，
当，即时，设方程的两根分别为，，
则，，不妨设，
当时，，在上单调递减，
所以当时，，即，不合题意，
综上所述，的取值范围为．

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