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安徽省合肥市第七中学 2026 届高三上学期第一次质量检测数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设集合 = { |1 ≤ ≤ 3}， = { |2 < < 4}，则 ∪ =( )
A. { |2 < ≤ 3} B. { |2 ≤ ≤ 3} C. { |1 ≤ < 4} D. { |1 < < 4}
2.“ > 2”是“ 2 2 > 0”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
3.已知非零实数 , 满足 > ，则下列不等式一定成立的是( )
A. + > 0 B. 2 > 2 C. 1 >
1 D. 2 +
2 > 2
4 + 1, ≤ .已知函数 ( ) = 2 , > ,若 ( )的值域为 R，则实数 的取值范围是( )
A. ( ∞,0] B. [0,1] C. [0, + ∞) D. ( ∞,1]
5.已知函数 ( ) = ln 2 3 + 2 在[1, + ∞)上单调递增，则 的取值范围是( )
A. ( ∞, 1] B. ( ∞, 1) C. ( ∞,2] D. (2, + ∞)
6.已知 ( )是定义在 上的奇函数， ∈ ，恒有 ( ) + ( + 2) = 0，且当 ∈ (0,1]时， ( ) = 2 + 1，则
(0) + (1) + (2) + + (2025) =( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
7.已知函数 ( )的定义域为 ，且 ( ) > ′( ) + 1， (0) = 3，则不等式 ( ) > 2 + 1 的解集为( )
A. ( ∞,0) B. (0, + ∞) C. ( ∞,1) D. (1, + ∞)

8 ( ) = 3 + 1, ≤ 0.设函数 log , > 0，若关于 的方程 ( )
2 ( + 2) ( ) + 3 = 0 恰好有六个不同的实数解，
4
则实数 的取值范围为( )
A. 2 3 2,2 3 2 B. 2 3 2, 32
C. 32 , + ∞ D. 2 3 2, + ∞
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.设 > 0, > 0, + = 1，则下列不等式中一定成立的是( )
A. 1 4 B. + 2 C. 2 + 2 2 2 D.

+
4
8
10.某同学根据著名数学家牛顿的物体冷却模型：若物体原来的温度为 0(单位：℃)，环境温度为 1( 1 < 0，
单位℃)，物体的温度冷却到 ( > 1，单位：℃)
1
需用时 (单位：分钟)，推导出函数关系为 = ( ) = ln 0
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1 ln 1 ， 为正的常数．现有一壶开水(100℃)放在室温为 20℃的房间里，根据该同学推出的函数
关系研究这壶开水冷却的情况，则( )(参考数据：ln2 ≈ 0.7)
A.函数关系 = + e 1 0 1 也可作为这壶外水的冷却模型
B. = 1当 20时，这壶开水冷却到 40℃大约需要 28 分钟
C.若 (60) = 10，则 (30) = 30
D.这壶水从 100℃冷却到 70℃所需时间比从 70℃冷却到 40℃所需时间短
11.设 ′( )是 ( )的导函数， ″( )是函数 ′( )的导函数．若方程 ″( ) = 0 有实数解 0，且在 0的左 右
附近， ″( )异号，则称点 0, 0 为函数 = ( )的“拐点”.经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐
点”且“拐点”就是三次函数图象的对称中心．已知函数 ( ) = 3 + 2 + 9 4( ≠ 0)的对称中心为
(2, 2)，则下列说法中正确的是( )
A. = 1, = 6
B. ( )的极小值为 4
C.若函数 ( )在区间( , 4)上存在最小值，则 的取值范围为[0,3)
D.若过点(3, )可以作三条直线与 = ( )的图象相切，则 的取值范围为( 5, 4)
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.若函数 ( ) = e 1 + 有一个零点，则实数 的取值范围是 ．
13.已知直线 = + 是曲线 = ln(1 + )与 = 2 + ln 的公切线，则 + = ．
14.在同一平面直角坐标系中， ， 分别是函数 ( ) = e ln( )和 ( ) = 2ln( 1) 图象上的动点，若对
任意 > 0，有| | ≥ 恒成立，则实数 的最大值为 ．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
化简求值：
5 2 0 1
(1)0.252 × 0.5 4 3 3 38 3 + 0.064
3 + 4 ( 2)4；
(2)log 139 + 2 lg25 + lg2 log49 × log38 + 2
log23 1 + ln e．
16.(本小题 15 分)
已知函数 ( )的定义域是{ | ≠ 0}，对定义域内的任意 1， 2都有 ( 1· 2) = ( 1) + ( 2)，且当 > 1 时，
( ) > 0， (2) = 1．
(1)证明： ( )是偶函数；
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(2)证明： ( )在(0, + ∞)上是增函数；
(3)解不等式 (2 2 1) < 2．
17.(本小题 15 分)
已知函数 ( ) = ln( + 1) 2．
(1)当 = 4 时，求曲线 ( )在(0, (0))处的切线方程；
(2)若 ( )存在极大值，且极大值不大于 3 ln2，求实数 的取值范围．
18.(本小题 17 分)
2+
已知定义在 上的奇函数 ( )满足 log = ，( > 0 且 ≠ 1, ∈ ).
(1)求 的值．
(2)若对任意 ∈ [0,1]有 2 2 + + 1 > (1) > 0 恒成立，求实数 的取值范围．
(3) (2) = 80若 9且函数 ( )满足
( ) + ( ) = 2 + 2 1，其中 > 0, ≠ 1，问是否存在实数 ，使
函数 ( )在[0,1]上的最大值为 0？若存在，求出 的值或取值范围；若不存在，说明理由．
19.(本小题 17 分)
已知函数 ( ) = ln + ，其中 , ∈ ．
(1)讨论函数 ( )在(0, + ∞)上的极值点的个数．
(2)若函数 ( ) = ( )．
( )设点 1, 1 和点 2, 2 是曲线 = ( )上任意两点(不重合)，曲线 = ( )在这两点处的切线
能否重合 若能，求出该切线方程；若不能，说明理由．
( )当 = 1 1时，若对于任意的 ∈ ( 1, + ∞)，不等式 sin ≤ 2 ( + 1)恒成立，求实数 的最小值．
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参考答案
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12.( ∞, 1] ∪ 0
13.3 ln2
14.3 22
5 2 1
15.【详解】(1)解：0.252 × 0.5 4 3 3 3 08 3 + 0.064
3 + 4 ( 2)4
5
2 2 4 3
2 1
1 1 3 3 2 3 3
= 2 × 2 2 1 + 5 + 2
= 2 5
4 5 1 4 5 32
× 24 9 1 + 2+ 2 = 2 9 1 + 2 + 2 = 9
(2) log 9 + 1解： 3 2 lg25 + lg2 log49 × log38 + 2
log23 1 + ln e
1 log23 1
= log 132 + lg52 + lg2 log 232 × log 23
2
2 3 + 2
32 2 2
+ lne
2 3 1
= 1 log33 + lg5 + lg2 log23 × 3log32 + 2 + 2
2
3 1
= 4 + lg(5 × 2) log23 × 3log32 + 2+ 2
3 1
= 4 + 1 log23 × 3log32 + 2+ 2 = 4 + 1 3+ 2 = 4
16.【详解】(1)证明令 1 = 2 = 1，得 (1) = 2 (1)，
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∴ (1) = 0.令 1 = 2 = 1，得 ( 1) = 0，
∴ ( ) = ( 1· ) = ( 1) + ( ) = ( )．
∴ ( )是偶函数．
(2)证明设 2 > 1 > 0，
则 ( 2) ( 1) = ( 1·
2
) ( 1)1
= ( 1) + (
2
) ( 1) = (
2
)，1 1
∵ 22 > 1 > 0，∴ > 1．
∴ ( 2 ) > 0，即 ( 2) ( 1) > 0．1
∴ ( 2) > ( 1).
∴ ( )在(0, + ∞)上是增函数．
(3)解∵ (2) = 1，∴ (4) = (2) + (2) = 2．
又∵ ( )是偶函数，
∴不等式 (2 2 1) < 2 可化为 (|2 2 1|) < (4)．
又∵函数 ( )在(0, + ∞)上是增函数，∴ |2 2 1| < 4．
10 10 2
解得 22 < < 2 ，又 2 1 ≠ 0，解得： ≠± 2
10 , 2 ∪ 2 , 2 ∪ 2 10即不等式的解集为 2 2 2 2 2 , 2 ．
17.【详解】(1)当 = 4 时， ( ) = ln( + 1) 4 16 1，故 ′( ) = +1 4，
∴ (0) = ln1 0 16 = 16, ′(0) = 1 4 = 3，
∴曲线 ( )在(0, (0))处的切线方程为 + 16 = 3( 0)，即 3 + + 16 = 0．
(2)由题意得， + 1 > 0，故函数 ( )的定义域为( 1, + ∞)，
∵ ( ) = ln( + 1) 2 ∴ ′( ) = 1 = ( +1)+1， +1 +1 ，
当 ≤ 0 时， ( + 1) + 1 > 0， ′( ) > 0， ( )在( 1, + ∞)上为增函数， ( )无极值．
当 > 0 时，由 ′( ) = 0 = 1得 1 > 1，
由 ′( ) > 0 1 1得， 1 < < 1，由
′( ) < 0 得， > 1，
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∴ ( ) 1, 1 1 1在 上为增函数，在 1, + ∞ 上为减函数，
∴ = 1当 1 时， ( )
1 1
有极大值，极大值为 2 1 = ln 1+ ，
∴ ln 1 1 +
2 ≤ 3 ln2，即 2 + ln 2 ln2 ≥ 0，
2
令 ( ) = 2 + ln 2 ln2( > 0)，则 ′( ) = 2 1 + 1 2 +1 = ，
2
∵ 2 2 + 1 = 2 1 + 74 8 > 0，∴
′( ) > 0，
∴ ( )在(0, + ∞)上为增函数，
∵ (2) = 22 2 + ln2 2 ln2 = 0，
∴要使 ( ) ≥ 0，则 ≥ 2，
∴实数 的取值范围是[2, + ∞)．
18.【详解】(1)因 ( )是定义在 上的奇函数，故 (0) = 0，由log = 0 可得 = 1，
2
(0) = 1 + 则由 1 = 0，解得 = 1．
2(2) (1) 1由 可得 log = ，设 = log

，则 = ，
2
代入可得 ( ) = 1 =
，故 ( ) = ，
由 (1) = 1 > 0，可得 2 > 1，又 > 0，故得 > 1，
则 ( ) = 在 R 上为增函数，
由 2 2 + + 1 > (1)在 ∈ [0,1]上恒成立，
2 2+2
可得 2 2 + + 1 > 1 在 ∈ [0,1]上恒成立，也即 > +1 在 ∈ [0,1]上恒成立．
2 2
设 ( ) = 2 +2 ′ +1 , ∈ [0,1]，则 ( ) =
2( +2 1) ′
( +1)2 ，由 ( ) = 0，解得 = 1 ± 2，
则当 ∈ [0, 2 1)时， ′( ) < 0，当 ∈ ( 2 1,1]时， ′( ) > 0．
故函数 ( )在[0, 2 1)上单调递减，在( 2 1,1]上单调递增．
又 (0) = (1) = 2，即 ∈ [0,1]时， ( )max = 2，故 > 2．
即实数 的取值范围为(2, + ∞)．
(3)由(2)可得 (2) = 2 2 = 80 4 29，即 9 80 9 = 0，因 > 0，解得 = 3，则 ( ) = 3
3 ，
则由 ( ) + ( ) = 32 + 3 2 1 可得 ( ) = 32 + 3 2 (3 3 ) 1，
化成对数式，则有 ( ) = log [32 2 + 3 (3 3 ) 1]，
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设3 3 = ，则32 + 3 2 = (3 3 )2 + 2 = 2 + 2，因 ∈ [0,1] 8，则 ∈ [0, 3 ]，
此时 ( ) = ( ) = log ( 2 + 1)．
因函数 ( )在[0,1]上的最大值为 0，则log ( 2 + 1) ≤ 0
8
在 ∈ [0, 3 ]上恒成立且等号成立．
当 0 < < 1 时， 2 + 1 取得最小值 1；当 > 1 时， 2 + 1 取得最大值 1．
2
设 ( ) = 2 + 1 = ( )22 + 1

4 , ∈ [0,
8
3 ]，其对称轴为直线 = 2．
①当 0 < < 1 = < 1 时， 2 2，则函数 ( )在 = 2时取得最小值，
2
即 ( 2 ) = 1

4 = 1，解得 = 0，不合题意，舍去；
1 < ≤ 8 4 8②当 3时， = 2 ≤ 3，则函数 ( )在 = 3时取得最大值，
即 ( 83 ) = (
8 2 8
3 ) 3 + 1 = 1，解得 =
8
3，符合题意；
8 4
③当 > 3时，2 > 3，则函数 ( )在 = 0 时取得最大值，
即 (0) = 02 × 0+ 1 = 1，符合题意．
8
综上，存在实数 ∈ [ 3 , + ∞)，使函数 ( )在[0,1]上的最大值为 0．
19. 1【详解】(1) ( )的定义域为(0, + ∞)， ′( ) = + ，
当 ≥ 0 1， ′( ) = + > 0， ( )在(0, + ∞)单调递增，无极值点，
当 < 0 时， ′( ) = 1 + = 0 =
1
，
0 < < 1 1 时，
′( ) > 0， ( )单调递增， > 时，
′( ) < 0， ( )单调递减，
所以，此时 ( )有一个极值点，
综上，当 ≥ 0 时， ( )无极值点，当 < 0 时， ( )有一个极值点．
(2)( )不能重合，理由如下：
( ) = ( ) = ln + 2 , ( > 0)， ′( ) = 1 + ln + 2 ，
不妨设 0 < 1 < 2，所以在点 1, 1 的切线方程为 = ′( ) 1 + 1 ，
即 = 1 + ln 1 + 2 1 21 1，
同理可得在点 2, 2 的切线方程为
= 1 + ln 2 + 2 22 2 2，又两切线重合，
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1 + ln 1 + 2 1 = 1 + ln 2 + 2 2 ln ln
所以 1 2
+ 2 1 2 = 0
1 21 = 2 2
，即
2 1 + 2 = 1
,
1
2 1
即 ln ln 1 2 11 2 + = ln 2
2
1 = 0，1 2 2 +12
2 1 1
令 = 1 ∈ (0,1)
2( 1) 4
，则 ln 1 2 1 = ln +1 = ln + +1 2 = ( )，2 2 +12
2 2
′( ) = 1 4 = ( +1) 4 ( 1) ( +1)2 ( +1)2 = ( +1)2 > 0，
1
1
所以 ( )在(0,1)上单调递增，则 ( ) < (1) = 0，即 ln 1 2 2 1 = 0 无解，2 +12
所以曲线 = ( )在这两点处的切线不能重合．
( ) = 1， ( ) = ln + 2 1，令 = + 1 > 0，sin ≤ 2 ( + 1)，
即 2sin( 1) ≤ ln + 2 ，
即 ln + 2 2sin( 1) ≥ 0 在 ∈ (0, + ∞)恒成立，
令 ( ) = ln + 2 2sin( 1), > 0，
又 (1) = 1 ≥ 0，解得 ≥ 1，
当 ≥ 1 时， ( ) = ln + 2 2sin( 1) ≥ ln + 2 2sin( 1)，
令 ( ) = ln + 2 2sin( 1), > 0，
′( ) = ln + 2 2cos( 1)，令 ( ) = ′( ) = ln + 2 2cos( 1), > 0，
′( ) = 1 + 2 + 2sin( 1) > 0，所以 ( )在(0, + ∞)单调递增，
又 (1) = 0，所以 0 < < 1 时， ( ) = ′( ) < (1) = 0， ( )单调递减，
> 1 时， ( ) = ′( ) > (1) = 0， ( )单调递增，所以 ( )min = (1) = 0，
即 ( ) = ln + 2 2sin( 1) ≥ ln + 2 2sin( 1) ≥ 0，
综上， ≥ 1， 的最小值为 1．
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