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2025-2026学年安徽省六安市独山中学高三（上）第一次月考数学试卷
一、单选题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知 2( + ) ( ) = 8 2 ，则| + | =( )
A. 2 2 B. 2 3 C. 2 D. 3
2.已知平面单位向量 , 满足 ⊥ ( 2 )，则( + 2 ) =( )
A. 2 B. 2 C. 1 D. 1
3.已知数列{ }中， 1 = 1， = 1 + 3 2( ∈ ，且 ≥ 2)，则通项公式 =( )
2
A. 3 +2 B. 3
2 3 +2 C. (3 1)2 2 2 D.
( 1)(3 +2)
2
4 1.抛物线 = 2
2的焦点到顶点的距离为( )
A. 2 B. 1 C. 1 12 D. 4
5.已知 = 20.1， = 0.50.2， = log0.51.1，则( )
A. < < B. < < C. < < D. < <
6.已知定义在 上的函数 ( )满足 ( 1)为奇函数， ( 2)为偶函数.若 (2) = 2，则 (2024) =( )
A. 2 B. 0 C. 2 D. 2024
7.五一劳动节前夕，4 名同学各自在周六、周且两天中等可能地任选一天参加公益活动，且周六、周日都有
同学参加公益活动，则周六恰有 2 位同学参加公益活动的概率为( )
A. 3 B. 3 C. 1 D. 57 14 2 14
1
8 3 + 1, ( ≤ 1) 4.已知函数 ( ) = 2|ln( 1)|, ( > 1)，若 ( ) = ( ) 2 ( ) + 3的零点个数为 4，则实数 取值范围为
( )
A. ( 63 ,
5
6 ] ∪ (
4
3 , + ∞) B. (
6
3 ,
5
6 ] ∪ (2, + ∞)
C. [ 56 , 2) D. (
4
3 , + ∞)
二、多选题：本题共 3小题，共 18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知由 5 个数据组成的一组数据的平均数为 7，方差为 2，现再加人一个数据 1，组成一组新数据，则( )
A.这组新数据的平均数为 3 B.这组新数据的平均数为 6
C. 20 25这组新数据的方差为 3 D.这组新数据的方差为 3
10.已知空间中不同的直线 ， 和不同的平面 ， ， // ，且点 ∈ ，则下列命题中不正确的是( )
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A.如果 // ，则 // B.如果 ，则
C.如果 // ，则 // D.如果 // ，则
11.已知函数 ( ) = ( + )( > 0, > 0, | | < 2 )的部分图象如图所示，
下列说法正确的是( )
A.函数 = ( )的最小正周期为 2
B.函数 = ( )在[ 2 3 , 6 ]单调递减
C.函数 = ( ) 5 的图象关于直线 = 12对称
D. 该图象向右平移6个单位可得 = 2 2 的图象
三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分。
12.函数 = sin(2 + 3 ) + 4 的最小正周期为______．
2
13 ( ) = + 2, < 1,.已知函数 ( 2), ≥ 1.则 (4) = ______．
2 2
14 .若双曲线 ： 2 2 = 1( > 0, > 0)的一条渐近线被圆
2 + ( 2)2 = 4 所截得的弦长为 2 3，则
的离心率为______．
四、解答题：本题共 5小题，共 77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
在△ 中，内角 ， ， 所对的边分别 ， ， 其中 = + 2, = 2 ，且 = 2 ．
(1)求 的值；
(2)求 的值．
16.(本小题 15 分)
1
在等比数列{ }中， 1 = 1，且 1, 2 + 2 , 3成等差数列．
(Ⅰ)求数列{ }的通项公式；
(Ⅱ)设 = log2
1
+1，求数列{ }的前 项和 ． +1
17.(本小题 15 分)
已知函数 ( ) = +2 ．
(1)求函数 ( )的极值；
(2)若对任意 ∈ [0, + ∞)，都有 ( ) ≥ 成立，求实数 的取值范围．
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18.(本小题 17 分)
2 2
已知双曲线 ： 2 2 = 1( > 0, > 0), 1, 2分别是 的左、右焦点.若 的离心率 = 2，且点(4,6)在 上．
(1)求 的方程；
(2)若过点 2的直线 与 的左、右两支分别交于 ， 两点，与抛物线 2 = 16 交于 ， 两点，试问是否存在
常数 1 ，使得| | | |为定值？若存在，求出常数 的值；若不存在，请说明理由．
19.(本小题 17 分)
某企业拥有甲、乙两条零件生产线，为了解零件质量情况，采用随机抽样方法从两条生产线共抽取 180 个
零件，测量其尺寸(单位： )得到如下统计表，其中尺寸位于[55,58)的零件为一等品，位于[54,55)和[58,59)
的零件为二等品，否则零件为三等品．
生产线 [53,54) [54,55) [55,56) [56,57) [57,58) [58,59) [59,60]
甲 4 9 23 28 24 10 2
乙 2 14 15 17 16 15 1
(1)将样本频率视为概率，从甲、乙两条生产线中分别随机抽取 2 个零件，每次抽取零件互不影响，以 表
示这 4 个零件中一等品的数量，求 的分布列和数学期望 ( )；
(2)已知该企业生产的零件随机装箱出售，每箱 60 个.产品出厂前，该企业可自愿选择是否对每箱零件进行
检验.若执行检验，则每个零件的检验费用为 5 元，并将检验出的三等品更换为一等品或二等品；若不执行
检验，则对卖出的每个三等品零件支付 120 元赔偿费用.现对一箱零件随机检验了 10 个，检出了 1 个三等
品.将从两条生产线抽取的所有样本数据的频率视为概率，以整箱检验费用与赔偿费用之和的期望作为决策
依据，是否需要对该箱余下的所有零件进行检验？请说明理由．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.2
14.2
15.(1)因为 = 2 ，所以由正弦定理可得 = 2 ，
又 = 2 ， = + 2 ，所以 2 = 2 + 2，解得 = 2 2；
(2)由(1)可得 = 2 2， = 2， = 4，
2 2 2
= + = 4+8 16 = 2所以 2 2×2×2 2 4 ，
可得 = 1 cos2 = 144 ，
所以 = = 7．
16.解：(Ⅰ) 1由题意等比数列{ }中， 1 = 1，且 1, 2 + 2 , 3成等差数列．
可知，2 2 + 1 = 3 + 1，又 1 = 1，得 2 = 2 ，∴ = 2，
故 = 2 1．
(Ⅱ)由 = 2 1，得 = 22 = ，
∴ =
1
+
1 1
1 2 2
+ +
3 +1
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= 1 12+
1 1 1 1
2 3 + + +1
= 1 1 +1 = +1．
17.解：(1) +2函数 ( ) = ，定义域为 ，
则 ′( ) = +1 ，
令 ′( ) > 0，解得 < 1，令 ′( ) < 0，解得 > 1，
故 ( )在( ∞, 1)上单调递增，在( 1, + ∞)上单调递减，
所以 ( )的极大值为 ( 1) = ，无极小值；
(2)若对任意 ∈ [0, + ∞)，都有 ( ) ≥ 成立，
即 ≤ +2 + 对任意 ∈ [0, + ∞)恒成立，

令 ( ) = +2 ( +1) + ( ≥ 0)，则 ′( ) = ，
令 ( ) = ( + 1)( ≥ 0)，则 ′( ) = 1 ≥ ′(0) = 0，
所以 ( )在[0, + ∞)上单调递增，即 ( ) ≥ (0) = 0，
所以 ′( ) ≥ 0 在[0, + ∞)上恒成立，
所以 ( )在[0, + ∞)上单调递增，
故 ( ) ≥ (0) = 2，
所以 ≤ 2，
即 的取值范围是( ∞,2]．
18.(1)设双曲线 的半焦距为 ( > 0)，
= = 2
由题意可得 16
2
36
2 = 1
，解得 = 2, = 2 3, = 4，
2 = 2 + 2
所以双曲线 的方程为
2

2
= 1．4 12
(2) 16存在常数 = 3满足条件．
理由如下：由(1)知 2(4,0)，显然直线 的斜率不为 0，则设直线 的方程为 = + 4，
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2 2
联立 4 12 = 1，消去 并整理可得(3 2 1) 2 + 24 + 36 = 0，
= + 4
所以 3 2 1 ≠ 0， = 144( 2 + 1) > 0，
设 ( 1, 1)， ( 2, 2)
24 36
，则 1 + 2 = 3 2 1 , 1 2 = 3 2 1，
| | = 1 + 2| 1 2| = 1 + 2 ( 21 + 2) 4 1 2
2
| | = 1 + 2 ( 24 2 36 12( +1)．3 2 1 ) 4 3 2 1 = |3 2 1|
因为直线 过点 2且与 的左、右两支分别交于 ， 两点，所以 ， 两点在 轴同侧，所以 1 2 > 0．
2
此时 3 2 1 > 0，即 2 > 1 | | = 12( +1)3，所以 ．3 2 1
设 ( 3, 3)， ( , 2 24 4)，将 = + 4 代入抛物线方程 = 16 ，得 16 64 = 0，
则 21 = 256( + 1) > 0, 3 + 4 = 16 , 3 4 = 64，
所以| | = 1 + 2| 3 4|
= 1 + 2 ( + )23 4 4 3 4
= 1+ 2 (16 )2 4 ( 64)
= 16( 2 + 1)．
1 2 = 3 1 = 12
2 4 3
所以| | | | 12( 2+1) 16( 2+1) 48( 2+1) ．
2
故当 4 3 = 12 12 4 3 1时， 48( 2+1) 为定值4，
所以当 = 16 1 13时，| | | |为定值4．
19.解：(1) 23+28+24 3由已知任取一个甲生产线零件为一等品的概率为 100 = 4，
15+17+16 3
任取一个乙生产线零件为一等品的概率为 80 = 5，
的所有可能取值为 0，1，2，3，4，
( = 0) = 1 1 2 2 44 × 4 × 5 × 5 = 400，
( = 1) = 1 × 12 4 ×
3 2 2 1
4 × ( 5 ) + 2 ×
2
5 ×
3
5 × (
1 2 36
4 ) = 400，
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( = 2) = ( 3 )24 × (
2 2 1 2 3 2 1 1 3 1 2 3 117
5 ) + ( 4 ) × ( 5 ) + 2 × 4 × 4 × ( 2 × 5 × 5 ) = 400，
( = 3) = ( 3 )2 × 14 2 ×
2 3 1 1 3
5 × 5 + 2 × 4 × 4 × (
3 2 162
5 ) = 400，
( = 4) = ( 3 )24 × (
3
5 )
2 = 81400，
所以 的分布列为：
0 1 2 3 4
4 36 117 162 81
400 400 400 400 400
( ) = 0 × 4 + 1 × 36 + 2 × 117 + 3 × 162 + 4 × 81 = 27400 400 400 400 400 10；
(2) 4+2+2+1 1由已知，每个零件为三等品的频率为 180 = 20，
1
设余下的 50 个零件中的三等品个数为 ，则 ～ (50, 20 )，
所以 ( ) = 50 × 120 =
5
2，
设检验费用与赔偿费用之和为 ，
若不对余下的所有零件进行检验，则 = 10 × 5 + 120 ，
( ) = 50 + 120 × ( ) = 50 + 120 × 52 = 350，
若对余下的所有零件进行检验，则检验费用 60 × 5 = 300 元，
因为 350 > 300，所以应对剩下零件进行检验．
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