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2025-2026学年四川省广元中学高三（上）入学数学试卷
一、单选题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设集合 = { |0 ≤ < 4}，则 = { | 13 ≤ ≤ 5}，则 ∩ 等于( )
A. { |0 < ≤ 13 } B. { |
1
3 ≤ < 4} C. { |4 ≤ < 5} D. { |0 < ≤ 5}
2.复数 = 2 11 的虚部为( )
A. 11 B. 2 C. 11 D. 11

3 .函数 ( ) = 2 的图象大致为( )
A. B.
C. D.
4.已知 ， 为单位向量，且 丄( + 2 )，则向量 与 的夹角为( )
A. 30° B. 60° C. 120° D. 150°
2 25 .双曲线 ： 2 2 = 1( > 0, > 0)的一条渐近线的倾斜角为 130°，则双曲线 的离心率为( )
A. 2 40° B. 2 40° C. 1 D. 1 50 50
6.用数字 1，2，3，4，5 组成的无重复数字的四位偶数的个数为( )
A. 8 B. 24 C. 48 D. 120
7.已知等差数列{ }的公差 < 0， 5 7 = 35， 4 + 8 = 12，记该数列的前 项和为 ，则 的最大值为( )
A. 66 B. 72 C. 132 D. 198
8.已知定义在 上的连续函数 ( )的导函数为 ( )，则下列说法错误的是( )
A.若 ( )关于( , 0)中心对称，则 ( )关于 = 对称
B.若 ( )关于 = 对称，则 ( )有对称中心
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C.若 ( )为周期函数，则 ( )为周期函数
D.若 ( + 1)为奇函数， ( 1)为偶函数，则 ( )周期为 2
二、多选题：本题共 3小题，共 18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知函数 ( ) = cos( + )( > 0, > 0,0 < < ) 5 在 = 12处取得最小值 2，与此最小值点最近的
( ) 图象的一个对称中心为( 6 , 0)，则下列结论正确的是( )
A. ( ) = 2 (2 + 6 )
B.将 = 2 2 的图象向左平移3个单位长度即可得到 ( )的图象
C. ( )在区间(0, 2 )上单调递减
D. ( ) 在区间[0, 2 )上的值域为[ 2, 3]
10.如图，正四面体 的棱长为 1， ， 分别是棱 ， 上的点，且 =
= ， ∈ (0,1)，则( )
A.不存在 ，使得 //平面
B.直线 与直线 异面
C.不存在 ，使得平面 ⊥平面
D.三棱锥 2体积的最大值为24
2 2
11.已知抛物线 ： 2 = 2 ( > 0) 和椭圆 ： 2 + 2 1 = 1( > 1)有相同的焦点 ，且交于 ， 两点，
的准线与 交于 ， 两点，则( )
A.存在 < 2，使△ 为等边三角形
B.存在 > 1，使四边形 为正方形
C.任意 > 1，点 总在圆 ：( 1)2 + 2 = 1 外
D.任意 > 2，椭圆上任一点总在圆 ：( 1)2 + 2 = 1 外
三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分。
12 1.已知向量 在向量 上的投影向量是 2
，且 = (1, 2, 1)，则 = ______．
13.某圆台的上、下底面半径和高的比为 1：4：4，若母线长为 15，则该圆台的侧面积为______．
14.函数 ( ) = + 12
3 ( 1) 2 ( > 0)，若 ( ) > 0 在(0, + ∞)恒成立，则 的取值范围
是______．
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四、解答题：本题共 5小题，共 77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
已知数列{ }满足 1 = 1， 2 = 2， +2 = 3．
(1)求 2 ；
(2)当 为奇数时，求数列{ }的前 项和 ．
16.(本小题 15 分)
如图 1， // ， ⊥ ，且 = = 12 = 2， 是 中点，沿 将△ 折起到△ 的位置(如
图 2)，使得∠ = 120°．
(1)求证：面 ⊥面 ；
(2) 若线段 上存在一点 ，使得平面 与平面 夹角的余弦值是 5，求 的值．5
17.(本小题 15 分)
2 2
已知双曲线 与双曲线 ： 6 3 = 1 有共同的渐近线．
(1)若 经过抛物线 = 2 + 8 14 的顶点，求双曲线 的方程；
(2)若双曲线 的两个焦点分别为 1， 2，点 为 上的一点，且| 1| = | 2| + 10，求双曲线 的方程．
18.(本小题 17 分)
如果曲线 = ( )存在相互垂直的两条切线，称函数 = ( )是“正交函数”.已知 ( ) = 2 + + 2 ，
设曲线 = ( )在点 ( 0, ( 0))处的切线为 1．
(1)当 = 8， 0 = 8 时，是否存在直线 2满足 1 ⊥ 2，且 2与曲线 = ( )相切？请说明理由；
(2)如果函数 = ( )是“正交函数”，求满足要求的实数 的集合 ；
(3)若对任意 ∈ [ 5, 4)，曲线 = ( )都不存在与 1垂直的切线 2，求 0的取值范围．
19.(本小题 17 分)
从 ， ， ， ， 五个网络节点中随机选择三个进行数据传输测试．
(1)若 ， ， 三个核心节点中被选中的数量为随机变量 ，求 的分布列；
(2)若现只有 、 、 三个节点进行数据传输测试.每次传输规则如下：
数据在 节点时：掷骰子，若点数大于 3，则传输至 节点；否则保留在 节点；
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数据在 节点时：掷骰子，若点数大于 4，则传回 节点；否则传输至 节点；
数据在 节点时：掷骰子，若点数大于 3，则传回 节点；否则传回 节点．
初始时数据在 节点，设经过 次骰子投掷(即 次传输)后，数据在 节点的概率为 ．
①求 3；
②求 ．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12. 2
13.225
14.(0, 23 ( + 1))
15.解：(1)因为 +2 = 3，所以数列 2， 4， ， 2 构成首项为 2 = 2，公差为 3 的等差数列，
所以 2 = 2 + ( 1) 3 = 3 1；
(2)由 +2 = 3，所以数列 1， 3， ， 2 1构成首项为 1 = 1，公差为 3 的等差数列，得到 2 1 = 1 +
( 1) 3 = 3 2，
设 = 2 1，
则 2 1 = ( 1 + 3 + + 2 1) + ( 2 + 4 + + 2 2) = (1 + 4 + 7 + + 3 2) + (2 + 5 + 8 + +
3 4) = (1+3 2) + ( 1)(2+3 4) = 3 22 2 3 + 1，
2
又 = +1 +1 +1 3 +12 ，所以 为奇数时， = 3( )
2
2 3( 2 ) + 1 = 4 ．
16.(1)证明：因为 ⊥ ， ⊥ ， ∩ = ，
所以 ⊥平面 ，又 面 ，
从而面 ⊥面 ．
(2)解：∵面 ⊥面 ，面 ∩面 = ，
过 点作 ⊥ ，则 ⊥底面 ，
所以以 为坐标原点， ， ， 所在直线分别为 轴， 轴， 轴，
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建立空间直角坐标系 ，
则 (0,0,0)， (0, 1, 3)， (0,2,0)， (2,2,0)，
则 = (2,2,0)， = (0, 1, 3)， = (0,3, 3)，
设 = (0 ≤ ≤ 1)，则 = (0,3 , 3 )，
∴ = + = (0,3 1, 3 3 )，
设面 的一个法向量为 = ( , , )，
= 2 + 2 = 0
由 ，
= (3 1) + ( 3 3 ) = 0
令 = 1，可得 = 1， = 3 13 3 ，
可得 = (1, 1, 3 13 3 )，
不妨取平面 的一个法向量为 = (2,0,0)，
设平面 与平面 的夹角为 ，
| | 2 5
则由题意有 = |cos < , > | = | = =|| | 2× 2+( 3 1 2 5 ，)3 3
( 3 1 2整理得 2 1 ) = 9，解得 = 3，
即平面 与平面 2夹角的余弦值为 5时， = 3．5
2 2
17. 解：(1)双曲线 与双曲线 ： 6 3 = 1 有共同的渐近线，
2 2
不妨设双曲线 的方程为 6 3 = ，
∵抛物线 = 2 + 8 14 = ( 4)2 + 2 的顶点坐标为(4,2)，
∴ 16 46 3 = ，
= 4解得 3，
2 2 2 2
∴双曲线 的方程为 6 3 =
4
3，即为 8 4 = 1；
2 2
(2) ∵ 双曲线 与双曲线 ： 6 3 = 1 有共同的渐近线，
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∴ 2双曲线 的渐近线方程为 =± 2 ，
∵ | 1| = | 2| + 10，
∴ 2 = 10，
即 = 5，
∴ 12 =
1
或 2 =
解得 = 5 22 或 = 5 2，
2 2 2 2
则双曲线 的方程为25 25 = 1

或25 50 = 1．
2
18.(1)当 = 8 时， ′( ) = 2 + 2 8，
则 ′(8) = 334，
33即 1的斜率 1 = 4，
假设 2存在，则 2的斜率 2 =
4
33，
则 ′( ) = 有解，
2 4
即 2 + 8 = 33在(0, + ∞)上有解，
该方程化简为 33 2 130 + 33 = 0，
= 3 11解得 11或 3，符合要求，
因此该函数存在另外一条与 1垂直的切线 1；
(2) ′( ) = 2 + + 2 = 2( + 1 ) + ，
令 ( ) = ′( ) 1，则 ′( ) = 2(1 2 )，
当 ∈ (0,1)时， ′( ) < 0， ′( )单调递减；
当 ∈ (1, + ∞)时， ′( ) > 0， ′( )单调递增；
设曲线 = ( )的另一条切线的斜率为 ′( 0)，
当 ≥ 4 时， ′( ) = 2 + + 2 ≥ 4 + ≥ 0，
显然不存在 ′( 0) ′( 0) = 1，
即不存在两条相互垂直的切线；
当 < 4 时， ′( ) ≥ (1) = 4 + ，
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且 ′(1) = 4 + < 0，
2 1 2
所以 ′( ) = > 0， ′( ) = > 0，
且 > 1，0 < 1 < 1，
所以 ′( )在( 1 , 1)，(1, )上各有一个零点 1， 2，
故当 ∈ (0, 1)，或 ∈ ( 2, + ∞)时，都有 ′( ) ∈ (0, + ∞)；
当 ∈ ( 1, 2)时， ′( ) ∈ [4 + , 0)，
故必存在 ′( 0) ′( 0) = 1，
即曲线 ′ = ( )存在相互垂直的两条切线，
所以 < 4，
所以 = { | < 4}；
(3)因为 ∈ [ 5, 4)，
由(2)知，曲线 = ( )存在相互垂直的两条切线，
不妨设 0 ∈ ( 1, 2)， 0 ∈ (0, 1) ∪ ( 2, + ∞)，满足 ′( 0) ′( 0) = 1，
1
即 ′( 0) = ， ′( 0)
1 1
又 4 + ≤ ′( 0) < 0， ′( 0) = ≥ ′( 0) +4
，
所以 ′( 0) = 2( 0 +
1
) + ≥
1
0 +4
，
1
故 2( 0 + ) ≥ +
1
( +4) = ( + 4) +
1
0 ( +4)
+ 4，
当且仅当 = 5 1时等号成立，所以 0 + ≥ 3，0
3 5 3+ 5解得 0 ∈ (0, 2 ] ∪ [ 2 , + ∞)，
( ) = 2 + + 2又 ′ 0 0 < 0，即 2
2
0 + 0 + 2 < 0，
0
2 16 + 2 16
解得 4 < 0 < 4 ，
1 < +
2 16 ≤ 2 1
2
因为 4 ，2 ≤
16 = 44 < 1， + 2 16
1
所以 0 = ( 2 , 2],
3 5 1
综上可知，对任意满足 5 ≤ < 4 的所有函数不存在与 1垂直的切线 2的 0的取值范围是( 2 , 2 ] ∪
[2, 3+ 5 ] ∪ [2, 3+ 52 2 ).
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19.解：(1) 的可能取值为 1，2，3，
1 2 1 3
( = 1) = 33 =
3
10 , ( = 2) =
3 2 6
3 = 10 , ( = 2) =
3 = 1
5 5
3
5 10
，
所以 得分布列为：
1 2 3
3 6
1
10 10 10
(2) 1 1①由题意，当投掷 3 次骰子后，点数大于 3 的概率为2，若点数大于 4 的概率为3，数据在 中，共有 4
种情况：
→ → → 1 1 1 1，其概率为2 × 2 × 2 = 8，
→ → → 1，概率为2 ×
1 1 1
2 × 3 = 12，
→ → → 1 1 1 1，概率为2 × 3 × 2 = 12，
→ → → 1 × 2 × 1，概率为2 3 2 =
1
6，
所以投掷 3 1 1 1 1 11次后，数据在 中的概率为 3 = 8 + 12 + 12 + 6 = 24；
②设投掷 次后，数据仍在 中的概率为 ，
1 1 1 1 1
所以当 ≥ 2 时， = 2 1 + 3 1 + 2 (1 1 1) = 6 1 + 2，
= 1 2
1
1 + 2 (1 1 ) =
1
1 2
1
1 + 2，
1 = 1所以 3 2 (
1
1 3 ), 1
1 1 1 1
3 = 2 3 = 6 ≠ 0，
1 1 1
所以数列{ 1 3 }是以6为首项， 2为公比的等比数列，
1所以 3 =
1
6 (
1 ) 1, 1 1 1 12 = 6 ( 2 ) + 3，
1 1 4 1 1 4所以 = 9 ( 2 ) + 9 ( ≥ 2)，所以 = 9 ( 2 ) + 9．
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