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2025-2026学年江苏省南通市如东县高三（上）学情检测数学试卷
一、单选题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合 = ( 1,1)， = [0,2)，则 ∩ =( )
A. [ 1,2] B. [0,1) C. (0,1) D. ( 1,0]
2.已知 ， 为实数，“ ≠ 0”是“ ≠ 0”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
3.已知函数 ( )的导函数为 ′( )，且 ( ) = + 1，则 ′( ) =( )
A. 1 B. 2 C. D. 1
4 .声强级 (单位： )由公式： = 10 ( 10 12 )给出，其中 为声强(单位： /
2).若某音源的声强由 1变
为 2，其声强级由 10.1 提高到 30.1，则( )
A. 2 = 1 + 20 B. 2 = 20 1 C. = 100 D. 102 1 2 = ( 1)
5.已知函数 ( ) = 2 + 2 的定义域是 ，则函数 ( ) = 4 2 +2( ∈ )的最大值是( )
A. 4 B. 0 C. 32 D. 60
6.已知 ， > 0，且 = + + 3，则 + 4 的最小值是( )
A. 6 B. 9 C. 13 D. 7 + 4 3
7.已知函数 ( )是定义在 1上的偶函数，且 ( + 2 )是奇函数，当 1 ≤ ≤ 2 时， ( ) = 3 2 ，则
( 13 ) =( )
A. 13 B.
11 5 11
3 C. 3 D. 3
8.已知 ln 5 = 5 且 < 5，ln

4 = 4 且 < 4

，ln 3 = 3 且 < 3，则( )
A. < < B. < < C. < < D. < <
二、多选题：本题共 3小题，共 18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9 1.已知 + = 3，则( )
1 12 2 3 3
A. + 1 = 7 B. 2 + 1 2 = 47 C.
= 5 D. 2 + + 1 27 = 18
10.已知四棱锥 的底面为矩形， ⊥底面 ， = 1， = = 2，点 是 的中点，则( )
A. //平面
B.平面 ⊥平面
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C.二面角 2的正切值为 2
D. 3过点 且与平面 平行的平面截该四棱锥所得截面的面积为4
11.已知函数 ( ) 1的定义域为 ，且 ( 2 ) ≠ 0，若 ( ) ( ) ( + ) = 4 ，则( )
A. (0) = 0 B. ( 12 ) = 0
C. ( 1 12 ) + ( 2 ) = 0 D. (0.2
0.2) < ( 14 )
三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分。
2
12. 2 + 15125 + ( 38 ) = ______．
13.若直线 = 2 4 是曲线 = + + 的切线，则实数 的值是______．
14 1.已知正数 ， ， 满足 4 2 + 2 + 2 = 4，则 ( + 2 )的最大值是______．
四、解答题：本题共 5小题，共 77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
1 1
甲、乙两人投篮命中率分别为2和3，并且他们投篮互不影响，现每人分别投篮 2 次．
(1)记甲投篮命中的次数为 ，求随机变量 的概率分布和期望；
(2)求甲比乙进球数多的概率．
16.(本小题 15 分)
已知幂函数 ( ) = ( 2 + 1) +1在(0, + ∞)上单调递增．
(1)求实数 的值；
(2)求关于 的不等式 ( ) < + 2 的解集．
17.(本小题 15 分)
设函数 ( ) = 3 3 2 + ．
(1)当 = 1 时，求过点(0,2)且与曲线 = ( )相切的直线方程；
(2)若 1， 2是函数 ( )的两个极值点．
①求实数 的取值范围；
②求证： 1 + 2 + ( 1) + ( 2)是定值．
18.(本小题 17 分)
如图，在三棱锥 中，平面 ⊥平面 ，底面 是等边三角形，侧面 是等腰直角三角形，
∠ = 90°， = 2 3，点 是 的中点．
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(1)证明： ⊥ ；
(2)设点 ， ， ， 均在球 的球面上．
①证明：点 在平面 内；
②求直线 与平面 所成角的正弦值．
19.(本小题 17 分)
已知函数 ( )的定义域是 ，对于 ∈ ，定义集合 ( ) = { | ( ) ≥ ( )}．
(1)已知函数 ( ) = 2 1 1，求 (0)；
(2)已知函数 ( ) = 2 + ( 2) + 3 + 2 ，且 (1) [ 1,1]，求实数 的取值范围；
(3)若函数 ( ) = (1 + ) + 2 ，对任意的 1， 2 ∈ ，且 1 < 2，都有 ( 2) ( 1)，求实数
的值．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.214
13. 3
14.89
15.(1)由题意，甲投篮命中次数 的所有可能取值为 0，1，2，
( = 0) = (1 1 )2 = 12 4， ( = 1) =
1 1 1 1 1 2 1
2 × 2 (1 2 ) = 2， ( = 2) = ( 2 ) = 4，
所以随机变量 的分布列为：
0 1 2
1 1 1
4 2 4
( ) = 0 × 14+ 1 ×
1 1
2 + 2 × 4 = 1．
(2) 1 1甲、乙两人投篮命中率分别为2和3，并且他们投篮互不影响，
现每人分别投篮 2 次，甲比乙进球数多包含以下三种情况：
1 1 1 1①甲进 球，乙进 0 球，概率为 11 = 2 × 2 (1 2 )(1 3 )
2 = 29，
1 1 1 1
②甲进 2 球，乙进 1 球，概率为 2 2 12 = 2( 2 ) 2( 3 )(1 3 ) = 9，
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1 1 1
③甲进 2 球，乙进 0 球，概率为 3 = ( 2 )
2(1 23 ) = 9，
2 1 1 4
所以甲比乙进球数多的概率 = 1 + 2 + 3 = 9 + 9 + 9 = 9．
16.(1)因为函数 ( )为幂函数，
所以 2 + 1 = 1，解得 = 1 或 = 2，
当 = 2 时， ( ) = 1，在(0, + ∞)上单调递减，不符合题意；
当 = 1 时， ( ) = 2，在(0, + ∞)上单调递增，符合题意；
所以 = 1；
(2)由(1)知 ( ) = 2，由 ( ) < + 2 ，
得 2 ( 2 ) < 0 ( )[ + ( 1)] < 0，
当 = 1 1，即 = 2 22时，不等式 ( ) < 0 无解；
1
当 < 1 ，即 < 时，不等式 22 (
2 ) < 0 解为 < < 1 ；
当 > 1 1，即 > 2时，不等式
2 ( 2 ) < 0 解为 1 < < ；
1
综上可得，当 = 2时，不等式
2 ( 2 ) < 0 解集为 ；
< 1当 2时，不等式
2 ( 2 ) < 0 解集为( , 1 )；
1
当 > 时，不等式 22 (
2 ) < 0 解为(1 , )．
17.(1)当 = 1 时，函数 ( ) = 3 3 2 + 1，导函数 ′( ) = 3 2 6 1，
设切点为( 0, 0)，那么 = ′( ) = 3 20 0 6 0 1，
那么切线为 0 = (3 20 6 0 1)( 0)，
代入(0,2)，那么可得 2 0 = (3 20 6 0 1)( 0)，
化简可得：2 3 3 20 0 + 1 = 0，
所以 3 3 3 20 0 + 1 30 = 0，可得( 20 1) (2 0 + 1) = 0，
解得 0 = 1 或 0 =
1
2，
1
因此切点为( 2 ,
5
8 )，(1, 2)，
+ 2 = 4( 1) 5 = 11 1因此切线为 和 8 4 ( + 2 )，
即 4 + 2 = 0 和 11 4 + 8 = 0．
(2)①由于 1， 2是 ( )的两个极值点，
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因此导函数 ′( ) = 3 2 6 = 0 有两个不等的根实数根 1， 2，
因此根的判别式 = 36 + 12 > 0，解得 > 3，
因此 ∈ ( 3, + ∞)．

②证明：由①知， 1 + 2 = 2, 1 2 = 3，
又 ( 1) + ( 2) = ( 31 + 3 2 22) 3( 1 + 2) ( 1 + 2) + 2 ，
而 2 + 2 = ( + )2 2 = 22 2 2 1 2 1 2 1 2 3 = 4 + 3，
3 + 3 = ( + )( 2
2
1 2 1 2 1 1 2 + 22) = 2[( 2 21 + 2) 1 2] = 2(4 + 3 3 )
= 2(4 + ) = 8 + 2 ，
所以 1 + 2 + ( 1) + ( 2) = 2 + 8 + 2 3(4 +
2
3 ) 2 + 2 = 2，
即 1 + 2 + ( 1) + ( 2)是定值．
18.(1)证明：因为平面 ⊥平面 ，且平面 ∩平面 = ，
且△ 是等腰直角三角形，∠ = 90°，点 是 的中点，所以 ⊥ ，
所以 ⊥平面 ，所以 ⊥ ；
(2)①证明：因为△ 是等边三角形，又点 是 的中点，
所以 ⊥ ，所以以点 为原点， , , 为 ， ， 轴的正方向，建系如图：
则 (3,0,0)， (0, 3, 0)， (0, 3, 0)， (0,0, 3)
设 ( , , )，
由条件可知| | = | | = | | = | |，
所以 2 + ( + 3)2 + 2 = 2 + ( 3)2 + 2 = ( 3)2 + 2 + 2 = 2 + 2 + ( 3)2，
解得： = 1， = = 0，即 (1,0,0)，
所以点 在平面 内；
② = (0, 3, 3)， = (3,0, 3)， = ( 1,0, 3)，
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设平面 的一个法向量 = ( , , )，
= 3 3 = 0
，取 ，

= (1, 3, 3)
= 3 3 = 0
所以直线 与平面 所成角的正弦值为：

所以|cos < , > | = | | | 1+3| 7
|
= = ．
|| | 2 7 7
19.(1) 2 1已知函数 ( ) = 1，因此 (0) =
2×0 1
0 1 = 1，
因此 ( ) ≥ (0) 2 1，即 1 ≥ 1，
2 1
因此 1 1 ≥ 0

，即 1 ≥ 0，解得 ≤ 0 或 > 1，
因此 (0) = ( ∞,0] ∪ (1，+∞)；
(2)因为 (1) = 1 + 2 + 3 + 2 = 3 ，
因此 ( ) ≥ (1)，即 2 + ( 2) + 3 ≥ 0，即( 1)[ ( 3)] ≤ 0，
①当 3 < 1，即 < 4 时，上面不等式的解集为[ 3,1]，
因为 (1) [ 1,1]，因此[ 3,1] [ 1,1]，则 3 ≥ 1，即 ≥ 2，
因此 2 ≤ < 4；
②当 3 = 1，即 = 4 时，不等式( 1)[ ( 3)] ≤ 0 的解集为{ | = 1}，满足 (1) [ 1,1]；
③当 3 > 1，即 > 4 时，不等式( 1)[ ( 3)] ≤ 0 的解集为[1, 3]，
不满足 (1) [ 1,1]，不合题意，
综上，满足 (1) [ 1,1]的实数 的取值范围为[2,4]；
(3)由题，对任意的 1， 2 ∈ ，且 1 < 2，都有 ( 2) ( 1)，
若 ∈ ( 2)，则 ∈ ( 1)，即由 ( ) ≥ ( 2)，则 ( ) ≥ ( 1)，
因此 ( 2) ≥ ( 1)，结合 1 < 2，可知 ( )在定义域 上单调递增，
即 ′( ) ≥ 0 对 ∈ (0, + ∞)恒成立，又 ′( ) = + ( )，
+ 即 ≥ 0，对 ∈ (0, + ∞)恒成立，
令 = ，则 = 2( > 0)，则由( )可得 2 + = 2 + ，
令 ( ) = 2 + ， > 0，问题转化为 ( ) ≥ 0，对 > 0 恒成立，
( ) = 2 2 因 ′ 2 = 2 ，
若 ≤ 0， ′( ) > 0 在(0, + ∞)上恒成立，即 ( )在(0, + ∞)上单调递增，
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又 → 0 时， ( ) → ∞，不满足 ( ) ≥ 0，对 > 0 恒成立；
若 > 0 ，令 ′( ) = 0，得 = 2，
0 < < 当 2时， ′( ) < 0， ( )在(0, 2 )上单调递减，
> 当 2时， ′( ) > 0， ( ) (

在 2 , + ∞)上单调递增，
因此 ( ) = 在 2处取得最小值，为 ( 2 ) = 2

2 + 2，

因为 ( ) ≥ 0 恒成立，因此 ( 2 ) = 2 2 + 2 ≥ 0，
令 ( ) = 2 2 + 2( > 0)，则 ′( ) =
2
1 =
2
，
当 0 < < 2 时， ′( ) > 0，在(0,2)上单调递增，
当 > 2 时， ′( ) < 0， ( )在(2, + ∞)上单调递减，
因此 ( )在 = 2 处取得最大值为 (2) = 2 1 2 + 2 = 0，
因此，不等式 ( ) ≥ 0 当且仅当 = 2 时成立，此时 ( ) ≥ 0 对 > 0 恒成立，
因此实数 的值为 2．
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