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2025-2026学年四川省泸州市纳溪中学高三（上）第一次月考数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.设为等差数列的前项和，若，，则的公差为( )
A. B. C. D.
3.已知函数，则满足的的取值范围是( )
A. B. C. D.
4.已知函数在处取得极大值，则的值是( )
A. B. C. D.
5.已知，，则“”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
6.若函数在区间上单调递增，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
7.若，则( )
A. B. C. D.
8.已知平面向量，，，，则的最小值是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.若复数满足，则( )
A. B. 的虚部为 C. 为纯虚数 D.
10.已知函数，则( )
A. 是的一个周期 B. 的图象关于直线对称
C. 在上单调递减 D. 的最小值为
11.已知函数的定义域为，若，，则( )
A. B.
C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知向量，，则在上的投影向量的坐标为______．
13.已知函数对任意实数，方程有解，则的取值范围是______．
14.设函数，当时，，则的值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知函数．
求不等式的解集；
将图象上所有点的横坐标伸长为原来的两倍，纵坐标不变，得到的图象，求曲线在点处的切线与坐标轴围成的三角形面积．
16.本小题分
设为数列的前项和，且．
求数列的通项公式；
设数列满足，，求的值．
17.本小题分
设的内角，，的对边分别为，，，且．
求；
若的最大值为，求的值．
18.本小题分
已知函数．
证明：为奇函数；
求的导函数的最小值；
若恰有三个零点，求的取值范围．
19.本小题分
对于，若数列满足，则称这个数列为“优美数列”．
已知数列，，是“优美数列”，求实数的取值范围；
若首项为的等差数列为“优美数列”，且其前项和满足恒成立，求的公差的取值范围；
已知各项均为正整数的等比数列是“优美数列”，数列不是“优美数列”，若，试判断数列是否为“优美数列”，并说明理由．
参考答案
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14.
15.解：由题设，则，
所以且，可得且，
所以解集为且；
由题意，则，
所以，，
所以曲线在点处的切线为，
显然切线过，故其与坐标轴围成的三角形面积为．
16.解：当时，，解得，
当时，由，得，
两式相减可得：，
所以，即，
所以是首项为，公比为的等比数列，则．
由题可得：，所以，
当时，，
当时，也满足上式，所以，
所以，
所以．
17.解：由及正弦定理，
可得，
即，
整理得，
显然不合题设，
则，所以，
而，故可得；
由正弦定理，可得，
可得，，
所以，
由知：，
则
，
由，则，
又的最大值为，
所以，可得负值舍，
综上，．
18.解：证明：，
，
，
为上的奇函数；
，
，
当且仅当，即时取等号，
的导函数的最小值为；
，
，令，
则，
为奇函数，又恰有三个零点，也恰有三个零点，显然，
在和上各有一个零点，
令，则，
即与在和上各有一个交点，
由，且，即为奇函数，
令，则，显然上，上，
综上可得在上递增，但递增速率先变快后变慢，大致图象如下图示：
又与都过原点，且原点处的切线斜率为，
结合图象知：当时，与在和上各有一个交点，
的取值范围为
19.解：对于，若数列满足，则称这个数列为“优美数列”，
由数列，，是“优美数列”，
可得，即，
则，即有，的取值范围是；
由首项为的等差数列为“优美数列”，且其前项和满足恒成立，
令的公差为，且，
则，可得，显然时不等式恒成立，
当时，恒成立，而，故，
综上，，即的取值范围是；
存在，数列是“优美数列”，理由如下：
各项均为正整数的等比数列是“优美数列”，数列不是“优美数列”，
若，
令的公比为，则，故，显然，
所以最小项为，
同理对于最小项为，
综上，，故或，
所以，或，或，或，
当，则，此时，显然，不是“优美数列”；
当，则，此时，显然，不是“优美数列”；
当，则，此时，显然，不是“优美数列”；
当，则，此时，令，
所以，
故单调递增，且，此时满足“优美数列”；
综上，时是“优美数列”．
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