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2025-2026学年山东省菏泽一中高三（上）开学数学试卷
一、单选题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合 = { ∈ | 1 ≤ ≤ 4}，集合 = { ∈ | 2 ∈ }，则 ( ∩ ) =( )
A. {3,4} B. { 1,3,4} C. {0,1,2} D. { 1,0,1,2}
2.设复数 满足| 1| = | + |，则 在复平面上表示的图形是( )
A.直线 = B.直线 = C.圆 2 + 2 = 1 D.抛物线 = 2
3.记 为数列{ }的前 项和.下列说法正确的是( )
A.数列{ }成等差数列的充要条件是对于任意的正整数 ，都有 2 +1 = + +2
B.数列{ }成等比数列的充分不必要条件是对于任意的正整数 ，都有 2 +1 = +2
C.已知数列{ }的前 项和 = ( + 1) ，则数列{ }是等差数列的充分不必要条件是实数 = 0
D.已知数列{ }的前 项和 = 2 ，则数列{ }是等比数列的充要条件是 = 1
4 1 2 3.满足条件 1 = 2 = 3，且 + = 0 的一组 1， 2， 3为( )
A. 1 = 4， 2 = 3， 3 = 2 B. 1 = 4， 2 = 2， 3 = 3
C. 1 = 3， 2 = 9， 3 = 2 D. 1 = 18， 2 = 12， 3 = 2
5.函数 ( ) = 2 2( 4 ) + 3 2 的最小正周期为( )
A. 2 B. 4 3 C. D.
2
3
6.甲、乙轮流抛一枚均匀硬币，先抛出正面者获胜.若甲先抛，则甲获胜的概率为( )
A. 7 3 2 18 B. 4 C. 3 D. 2
7.函数 ( ) = 2 + 4 + 6 + + 2024 2025 的零点个数为( )
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
8.设正四棱锥 的底面 是边长为 2 的正方形，高为 ( > 0)，若该四棱锥的外接球与内切球的
球心重合，则外接球半径与内切球半径之比为( )
A. 2 1 B. 2 C. 3 D. 2 + 1
二、多选题：本题共 3小题，共 18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知向量 = ( , 3)， = (1, )，若| + | = | |，则 可能为( )
A. B. 2 C. 5 D. 11 6 3 6 6
10.设随机变量 ～ (1, 2)，且 ( ≤ 0) = 0.2，则( )
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A. (0 < < 2) = 0.4 B. ( ≤ 2) = 0.8
C. = 2 + 1 的方差为 4 2 D.若 增大，则 (| 1| < 1)增大
11.已知集合 = {1,2,3, , 19}，现随机选取集合 中 3 个元素组成子集(简称 3 元子集)，记该子集中的最
小数为 .( )
A. 的最小取值为 1，最大取值为 19
B.集合 中以 为最小数的 3 元子集共有 219 个
2
C.取到“集合 中以 为最小数的 3 元子集”的概率为 19
319
D. ( ) = 5
三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分。
+ 2, > 0
12.已知函数 ( ) = 2, ≤ 0 ，若 ( ( ( ))) =
25
4，则 ( ) = ______．
13.(1 + )5 × (1 + 2)6展开式中 12的系数为______．
14.平面上的整点(横纵坐标都是整数的点)到直线 15 + 20 + 23 = 0 的距离的最小值为______．
四、解答题：本题共 5小题，共 77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
在△ 中，已知角 = 60°，边 = 7，且 3 + 3 = 28．
(1)证明： + = 4；
(2)若点 在 上，且 为角平分线，求 的长度．
16.(本小题 15 分)
在四棱锥 中，底面 为边长为 2 的菱形，∠ = 60°， ⊥底面 ，且 = 2 2，点
为 中点，点 为 上靠近点 的一个三等分点，点 在线段 上的动点．
(1)若 //平面 ，求出点 的位置；
(2)求直线 与平面 所成角的正弦值的最大值．
17.(本小题 15 分)
某游戏有三个骰子，其面数如下：骰子 ：四个面，分别标有数字 1，1，3，4；骰子 ：四个面，分别标有
数字 2，4，5，6；骰子 ：六个面，分别标有数字 1，3，5，7，9，11；玩家按骰子面数比例随机选择一
个骰子(即选择概率等于其面数占总面数的比例)，然后掷该骰子两次，记录两次结果的最大值.请解答以下
问题：
(1)若玩家选择骰子 ，求两次投掷的最大值为 4 的概率；
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(2)求两次投掷的最大值为 4 的概率；
(3)设奖金为最大值的平方(单位：元)，若玩家获得的奖金超过 16 元，求玩家选择骰子 的概率．
18.(本小题 17 分)
已知函数 ( ) = ( + 1) 2 + 3 2，其中 为常数．
(1)当 = 2 时，求曲线 = ( )在点(1, (1))处的切线方程；
(2)讨论函数 ( )的单调性；
(3)若函数 ( )在区间(0,3)内存在两个不同的极值点，求 的取值范围．
19.(本小题 17 分)
2 2 2 2
已知椭圆 + 1： 2 2 = 1( > > 0)和双曲线 2： 2 2 = 1( > 0, > 0)有共同的焦点，设椭圆和双曲
线的离心率分别为 1和 2．
(1)求证： 2 2 = 2 + 2；
(2)设点 为椭圆 1与双曲线 2在第一象限的交点，且∠ 1 2 22 = 60°，求 3 1 + 2的最小值，并求此时 1与 2
的值；
(3)在(2)的条件下，设点 为椭圆 1上任意一点，过点 作双曲线的两条渐近线的垂线(点 不在两条渐近线
) 上 ，垂足分别为 和 ，试问△ 面积 是否有最大值，如果有最大值，求出此时 2的值，如果没有最大
值，请说明理由．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.94
13.136
14. 225
15.(1)证明：由余弦定理可知， 2 = 2 + 2 2 × × ，即 7 = 2 + 2 × ，
又 3 + 3 = ( + )( 2 × + 2) = 28，
所以 28 = 7( + )，
解得 + = 4；
(2)解：由 + = 4，
及 7 = 2 + 2 × = ( + )2 3 × = 16 3 × ，
可以解得 × = 3，再与 + = 4 联立，
解得： = 1， = 3 或 = 3， = 1，
1
利用三角形的面积相等公式 △ = 2 × =
1
2 ×
1
2 + 2 × × sin 2，
即 1 × 3 × 32 = 1 × ×
1
2 + 3 × ×
1
2，
3 3
解得 = 4 ．
16.(1)假设 为 上靠近 的三等分点，
∵ 、 分别为 、 的三等分点，
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∴ // ，
∵ // ，
∴ // ，
又∵ 平面 ， 平面 ，
∴ //平面 ，
所以 为 上靠近 的三等分点．
(2)在平面 内，过点 作 垂线 ，
∵ ⊥底面 ，∴ ⊥ ，
∵ ⊥ ， ∩ = ， ， 平面 ，
∴ ⊥平面 ，
以 为原点， ， ， 所在直线分别为 、 、 轴建立空间直角坐标系，
则 (0,0,2 2)， (0,2,0)， ( 3, 3,0)， ( 3, 1,0)，
∴ ( 3 , 12 2 , 2)，
设 = = ( 3 , 3 , 2 2 )， ∈ [0,1]，
∴ ( 3 , 3 , 2 2 2 2 )， ∈ [0,1]，
∴ = ( 3 32 , 3
1
2 , 2 2 2 )，
且 = (0,2, 2 2)， = ( 3, 1,0)，
设平面 的一个法向量 = ( , , )，
则 = 0 2 2 2 = 0

，则 ，
= 0 3 = 0
取 = ( 2, 6, 3)，
设直线 与平面 所成角为 ，
| = |cos , | = | 6则
|
= ，
|| | 11 20 2 14 +3
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= 7当 时，( 20 220 14 + 3)
11 2 30
= ，20 ( ) = ．11
即直线 与平面 所成角的正弦值的最大值为2 30．
11
17.(1) 1骰子 的面为 1，1，3，4，每个面出现的概率为4，两次投掷共有 16 种可能的结果组合，
3 9
最大值是 4 的情况包括至少有一次掷出 4，两次都不出现 4 的概率为( 4 )
2 = 16，
9 7
因此至少有一次出现 4 的概率为 1 16 = 16；
(2) 4 4 6玩家选择骰子 的概率为14、骰子 的概率为14，骰子 的概率为14，
7
骰子 最大值为 4 的概率为16，
骰子 最大值为 4 的概率：两次投掷共有 4 × 4 = 16 个结果，两次投掷的最大值为 4 的情况是两次结果都
不超过 4 且至少有一次为 4，
共有 3 种情况((2,4)，(4,2)，(4,4)) 3，故概率为16，
骰子 最大值为 4 的概率：没有数字 4，因此概率为 0，
4 7 4 3
总概率为： = 14 × 16 + 14 × 16 +
6
14 × 0 =
5
28；
(3)奖金超过 16 元意味着最大值超过 4，
骰子 最大值超过 4 的概率：不可能超过 4，概率为 0，
12 3骰子 最大值超过 4 的概率：至少有一次掷出 5 或 6 共有 16 4 = 12 种，故概率为16 = 4，
骰子 最大值超过 4 的概率：共有 6 × 6 = 36 个结果，至少有一次掷出超过 4，共有 36 4 = 32，故概率
32 = 8为36 9，
设最大值超过 4 为事件 ，选择骰子 为事件 ，
计算全概率： ( ) = 4 × 0 + 4 × 3 + 6 8 2514 14 4 14 × 9 = 42，
4 ×3
则 ( | ) = 14 4 925 = 25．
42
18.(1)当 = 2 时， ( ) = 3 2 + 6 2， (1) = 1，
( ) = 1′ 6 + 6，此时 ′(1) = 1，
因此曲线 = ( )在点(1, (1))处的切线方程为 = ．
2
(2) 1 2( +1) +3 +1函数 ( )的定义域为(0, + ∞)， ′( ) = 2( + 1) + 3 = ，
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当 + 1 = 0，即 = 1 时， ′( ) = 1 3，令 ′( ) = 0
1
，解得 = 3，
令 ′( ) > 0 得 ∈ (0, 1 13 )，令 ′( ) < 0 得 ∈ ( 3 , + ∞)，
1 1
此时函数 ( )在(0, 3 )上单调递增，在( 3 , + ∞)上单调递减；
当 + 1 ≠ 0 时， 2( + 1) 2 + 3 + 1 = 0 中， = 9 2 + 8( + 1) = 9( + 49 )
2 + 569 > 0，
当 + 1 < 0，即 < 1 时，
方程 2( + 1) 2 + 3 + 1 = 0 在(0, + ∞)上有两个不等正根，
= 3 + 9
2+8 +8 3 9 2+8 +8
分别为 1 4( +1) ， 2 = 4( +1) ，
= 3 + 9
2+8 +8 2 2
1 2 4( +1)
3 9 +8 +8 2 9 +8 +8
4( +1) = 4( +1) < 0，故 1 < 2，
令 ′( ) > 0 得 ∈ (0, 1) ∪ ( 2, + ∞)，令 ′( ) < 0 得 ∈ ( 1, 2)，
( ) (0, 3 + 9
2+8 +8 3 9 2+8 +8
此时函数 在 4( +1) )和( 4( +1) , + ∞)上单调递增，
( 3 + 9
2+8 +8 2
在 4( +1) ,
3 9 +8 +8
4( +1) )上单调递减．
当 + 1 > 0，即 > 1 时，
2
方程 2( + 1) 2 + 3 + 1 = 0 在(0, + ∞) = 3 + 9 +8 +8上仅有一个正根 0 4( +1) ，
令 ′( ) > 0 得 ∈ (0, 0)，令 ′( ) < 0 得 ∈ ( 0, + ∞)，
2 2
此时函数 ( )在(0, 3 + 9 +8 +8 3 + 9 +8 +84( +1) )上单调递增，在( 4( +1) , + ∞)上单调递减．
综上，当 = 1 1 1时，函数 ( )在(0, 3 )上单调递增，在( 3 , + ∞)上单调递减；
2 2
当 < 1 时，函数 ( ) (0, 3 + 9 +8 +8 3 9 +8 +8在 4( +1) )和( 4( +1) , + ∞)上单调递增，
3 + 9 2( +8 +8 3 9
2+8 +8
在 4( +1) , 4( +1) )上单调递减；
2
> 1 ( ) (0, 3 + 9 +8 +8当 时，函数 在 4( +1) )上单调递增，
( 3 + 9
2+8 +8
在 4( +1) , + ∞)上单调递减；
(3)由(2)可知，若函数 ( )在区间(0,3)内存在两个不同的极值点，则 < 1，
函数 ( ) = 2( + 1) 2 + 3 + 1 3 的对称轴为 = 4( +1)，且 (0) = 1，
故 0 < 3 < 3 174( +1) ，且 (3) > 0，解得 ∈ ( ∞, 9 )．
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19.(1)证明：因为椭圆与双曲线有公共的焦点，
所以 = 2 2 = 2 + 2，
整理得 2 2 = 2 + 2，
则 2 2 = 2 + 2；
(2)设椭圆和双曲线在第一象限的交点为 ，
|
此时 1
| + | 2| = 2
| 1| | 2| = 2
，
| 1| = + 解得 | 2| =
，
由余弦定理得 4 2 = ( + )2 + ( )2 2( + )( ) 60° = 2 + 3 2，
因为椭圆和双曲线的离心率分别为 1和 2，
1 3
即 4 = + ，
2 21 2
2 2
所以 3 2 + 21 2 =
1
4 (3
2
1 + 22)(
1 + 3 1 2 9 1
2 2
) = 4 (6 + 2 + 2 ) ≥ 3，1 2 1 2
当且仅当 22 = 3 21，即 1 =
2 6
2 ， 2 = 2 时，等号成立，
2 6
则椭圆离心率 1 = 2 ，双曲线的离心率 2 = 2 ．
(3)设 ( , 2 20 0)，渐近线斜率分别为 2 和 2 ，
2设点 在渐近线 = 2 上，倾斜角为 ，
| 2 |
此时| | = 2 0 0 ，
3
2
| 2 + |
同理得| | = 2 0 0 ，
3
2
在四边形 中，∠ + ∠ = ，
所以 sin∠ = sin∠ = 2 = 2 23 ，
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1
= 1
| 2 2|
× 2 0 0 × 2 2 = 2 2|
2 2
0 |
2 3 3 9 ，
2
因为 20 ∈ [0, 2]，
所以| 2 20 | ∈ [0, 2]( = )，
2
此时△ 2 2 面积最大值 = 9 ．
= 2 2则 2 2 2 9 1 = 9 ．
故△ 2面积 有最大值， 2 = 9 ．
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