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江苏省南京市临江高级中学 2026 届高三上学期一模考前模拟
数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知复数 满足 1 + i = 1 i 2，则 的虚部为( )
A. 1 B. 2 C. 1 D. 2
2.已知集合 = log2 ≤ 1 ， = | 2| ≤ 1 ，则 ∪ =( )
A. ( ∞,3] B. (3, + ∞) C. (0, + ∞) D. (0,3]
3.已知平面向量 = 1, 5 , = 1, 2 ，若 // ，则 =( )
A. 113 B. 3 C. 3 D.
11
3
4.已知数列 是等比数列，若 5 3 = 12， 6 4 = 24，则 2024 =( )
A. 22023 1 B. 22023 C. 22024 1 D. 22024
5.用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，截得的圆台上底面半径为 1，下底面半径为 2，且该圆台侧面积
为 3 5 ，则原圆锥的母线长为( )
A. 2 B. 5 C. 4 D. 2 5
2
6
2
.已知双曲线 ： 2 2 = 1( > 0, > 0)的焦距为 4 3，焦点到渐近线的距离为 6，则该双曲线的渐近
线方程为( )
A. =± B. =± 22 C. =± 2 D. =± 3
7.已知圆 : 2 + 2 4 6 + 4 = 0 关于直线 : + 1 = 0( > 0) 1 1对称，则2 + 3 的最小值是( )
A. 2 B. 3 C. 6 D. 4
8 3.若 sin( ) = 5，cos2 =
3
5，且 , 都为锐角，则 sin( + ) =( )
A. 24 B. 13 2425 25 C. 25 D. 1
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法正确的是( )
A.若幂函数 ( )的图象过点(4,2)，则 (2) = 2
B.若函数 ( 1)的定义域为[ 1,2]，则函数 ( + 2)的定义域为[2,5]
C.若函数 ( ) = 2 + 4 在(1,2)上只有一个零点，则实数 的范围为(4,5)
D.函数 ( ) = cos + 1 , ∈ [ π π π π2 2 , 2 ]的单调增区间为[ 6 , 2 ]
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10.已知函数 ( ) = tan 2 + π6 ，则( )
A. ( )在定义域内是增函数
B. ( ) π的最小正周期为2
C. π直线 = 12是 = | ( )|图象的一条对称轴
D. 11π12 , 0 是 ( )图象的一个对称中心
11.某校开展“强国有我，筑梦前行”主题演讲比赛，共有 4 位男生，6 位女生进入决赛．现通过抽签决定
出场顺序，记事件 表示“第一位出场的是女生”，事件 表示“第二位出场的是女生”，则( )
A. ( ) = 3 55 B. = 9 C. ( ) = ( ) D. ( ∪ ) =
13
15
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.已知实数 , 满足2 = 3, 3 = 2，则 = ．
13 1+ .已知数列 1 满足 = 1 ( ≥ 2, ∈ )，若 1 = 2，则 2024 = ． 1
14
2 2
.椭圆 2 +

2 = 1( > > 0)的左、右焦点分别为 1, 2， 是椭圆上一点，直线 1的斜率为 2，∠ 1 2 =
90°，则椭圆的离心率为 ．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
在 中，角 , , 的对边分别为 , , ，且 3 sin = 2 cos2 2．
(1)求角 ；
(2)若 为边 上一点，且 = = 33 = 1，求 的值．
16.(本小题 15 分)
已知函数 ( ) = ln + ln
3
2 ．
(1)若曲线 = ( )在点 1, (1) 处的切线与 轴平行，求实数 的值；
(2)若 = 0，求 ( )的单调区间．
17.(本小题 15 分)
随着科技的发展， 技术已经深度介入普通人的生活，正在改变着人们的生活和工作．为了调查 技术在
普通人中的使用情况，一调查机构对此进行了调查，并从参与调查的市民中分别抽取男，女各 100 人进行
统计分析，整理得到如下列联表：
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性别 经常借助 技术 不经常借助 技术 合计
男
女 50
合计 120
(1)完成上述列联表，并根据小概率值 = 0.005 的独立性检验，分析是否经常借助 技术与性别有关联；
(2)采用按比例分配的分层随机抽样的方法，从表中不经常借助 技术的人中抽取 8 人，再从这 8 人中随机
抽取 3 人，记 3 人中男性人数为随机变量 ，求 的分布列和数学期望．
2
参考公式： 2 = ( )( + )( + )( + )( + )， = + + + ．

0.050 0.010 0.005

3.841 6.635 7.879
18.(本小题 17 分)
如图，在四棱锥 中， ⊥平面 , // , ∠ = 90°, = 2, = = 1．
(1)证明： 是直角三角形．
(2)若 = 1，求平面 与平面 夹角的余弦值．
19.(本小题 17 分)
2 2 1
已知椭圆 : 2 + 2 = 1( > > 0)的离心率为2，右焦点为 ， (0, 3)是 上一点．
(1)求 的方程；
(2)过 的直线 交 于 , 两点，求 ( 为坐标原点)的面积的最大值．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.1
13.13
14. 53 /
1
3 5
15.【详解】(1)依题意， 3 sin = 2 cos2 2，由正弦定理可得 3sin sin = 2sin cos
2
2，
因为 0 < < π，所以 sin ≠ 0，所以 3sin = 2cos2 2，

法一：即 2 3sin 2 cos 2 = 2cos
2
2，
0 < < π π 因为 ，所以 0 < 2 < 2，cos 2 ≠ 0
3sin 3所以 2 = cos 2，所以：tan 2 = 3 ，
π π
所以2 = 6，即 = 3．
法二：即 3sin cos = 1，
π
所以 2sin 6 = 1，即 sin
π = 16 2，
π π
因为 0 < < π，所以 6 < 6 <
5π
6 ，
π π π
所以 6 = 6，即 = 3．
(2)因为 = 1, = 3 π，又因为 = , = 3，
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所以 为等边三角形，
2π
则 = 1, ∠ = 3 ，
2 2 2
由余弦定理得 cos∠ = + 2 =
1
2，
所以 2 + 2 = 0，解得 = 1 或 = 2(舍去)，故 = 1．
16.【详解】(1)由题意知 ′( ) = + 1 ln 3 ′ 5 2 + 2 2，则 (1) = + 2，
又因为曲线 = ( )在点 1, (1) 处的切线与 轴平行，
故 + 52 = 0
5
，解得 = 2．
(2) = 0 ( ) = ln 3时， 2 ，定义域为(0, + ∞)，
5
′( ) = 1 ln 2 +
3 = 5 2ln ，令 ′2 2 2 2 ( ) = 0 可得 = e2，
5 5
当 ∈ 0, e2 时， ′( ) > 0，当 ∈ e2, + ∞ 时， ′( ) < 0，
5 5
所以 ( )的单调增区间为 0, e2 ，单调减区间为 e2, + ∞ ．
17.【详解】(1)2 × 2 列联表为：
性别 经常借助 技术 不经常借助 技术 合计
男 70 30 100
女 50 50 100
合计 120 80 200
零假设为 0：是否经常借助 技术与性别无关联．
根据表中数据，得：
2 = 200(70×50 50×30)
2 25
100×100×120×80 = 3 ≈ 8.333 > 0.005 = 7.879，
根据小概率值 = 0.005 的独立性检验，可以推断 0不成立，即是否经常借助 技术与性别有关联，这种推
断犯错误的概率不超过 0.005．
(2)采用按比例分配的分层随机抽样，
男性抽取人数为 8 × 30 5080 = 3，女性抽取人数为 8 × 80 = 5，
所以随机变量 的可能取值为 0,1,2,3，
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0 3
( = 0) = C3C53 =
10 = 5，
C8 56 28
1 2
( = 1) = C3C5 30 15
C3
=
8 56
= 28，
2 1
( = 2) = C3C5 = 153 56，C8
C3 0 ( = 3) = 3C5 = 1
C38 56
，
所以 的分布列为：

0 1 2 3
5 15 15 1
28 28 56 56
所以 ( ) = 0 × 528 + 1 ×
15
28 + 2 ×
15+ 3 × 1 = 63 956 56 56 = 8．
18.【详解】(1)在四棱锥 中，取 的中点 ，连接 , ，
由 // , ∠ = 90 , = = 1，得四边形 是边长为 1 的正方形，
则 = 2, = 2，又 2 + 2 = 2，于是 ⊥ ，
由 ⊥平面 , 平面 ，得 ⊥ ，
又 ∩ = , , 平面 ，因此 ⊥平面 ，
又 平面 ，所以 ⊥ ，即 是直角三角形．
(2)以 为坐标原点，直线 , , 分别为 ， ， 轴建立空间直角坐标系，
则 (0,0,0), (1,1,0), (0,2,0), (0,0,1)， = ( 1,1,0), = (0,2, 1)．

= + = 0
设平面 的法向量为 = ( , , ) ，则 = 1

，取 ，得 = (1,1,2)，
= 2 = 0
显然 = (0,1,0)是平面 的一个法向量，设平面 与平面 的夹角为 ，
cos = |cos , | = | | 1 6则 | || | = 1× 6 = 6 ，
所以平面 与平面 6夹角的余弦值为 6 ．
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19.【详解】(1)因为 (0, 3)是 上一点，代入椭圆方程解得 = 3，
=
2 3
又 =
1 2
2，解得 = 4，
2 2
所以椭圆 的方程为 4 + 3 = 1．
(2)由(1)得半焦距 = 1，点 (1,0)，显然 的斜率不为零，
设直线 的方程为 = + 1， ( 1, 1), ( 2, 2)，
= + 1
由 2 23 2 + 4 2 = 12消去 ，得(3 + 4) + 6 9 = 0，显然Δ > 0，
6 9
则 1 + 2 = 3 2+4， 1 2 = 3 2+4，
2 2
所以| 1 2| = ( 1 + 2)2 4 =
36 36 12 +1
1 2 (3 2+4)2 + 3 2+4 = 3 2+4 ，
2
则 1 6 +1 6的面积 = 2 | || 1 2| = 3 2+4 = ，3 2+1+ 1
2+1
令 1 + 2 = ≥ 1，函数 = 3 + 1 在[1, + ∞)
1
上单调递增，当 = 1 时，3 + 取得最小值 4，
1
则当 = 0 时，3 2 + 1 + 取得最小值 4，( )
3
2+1 max
= 2，
所以 3的面积的最大值为2．
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