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安徽省六安市金安区毛坦厂中学 2026 届高三上学期第一次月考
数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若集合 = { | 2 11 + 24 < 0} = | 1， 7 ≤ 0 ，则 ∩ =( )
A. (1,8) B. [1,8) C. (3,7] D. (3,7)
2.下列求导结果正确的是( )
A. 1 2 ’ = 1 2 B. cos30° ’ = sin30°
C. ln(2 ) = 1′ 32 D. ’ =
3
2
3.已知 = log27， = log38， = 0.30.2，则 , , 的大小关系为
A. < < B. < < C. < < D. < <
4.已知函数 ( )是奇函数，当 ≥ 0 时， ( ) = ln + 1，则曲线 = ( )在 = 1 处的切线方程为( )
A. = B. = + 2 C. = D. = 2
5 1.若命题“存在 20 ∈ ，使 + + 4 < 0”是假命题，则非零实数 的取值范围是( )
A. ( ∞, 1] ∪ [1, + ∞) B. ( 1,1) C. [ 1,0) ∪ (0,1] D. [ 1,1]
6.已知 ， ∈ ，则“log1 < log1 ”的一个必要不充分条件是( )
3 3

A. 1 1 1 14 < 3 B. > C. ln( ) > 0 D. 3
< 1
7.如图是下列四个函数中的某个函数在区间[ 3,3]的大致图像，则该函数是( )
A. =
3+3 3
2+1 B. = 2+1 C. =
2 cos
2+1 D. =
2sin
2+1
8 ln +ln .已知函数 ( ) = 在[1, + ∞)上为减函数，则实数 的取值范围是
A. 0 < < 1 B. 0 < ≤ C. ≤ D. ≥
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二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知函数 ( ) = ln( )( ≠ 0)，则( )
A. 1当 > 0 时， ( ) > 0 的解集为 , + ∞
B.若 ( )是增函数，则 的取值范围为(0, + ∞)
C. ( )有且仅有一个零点
D.曲线 = ( )在点 1, (1) 1处的切线的斜率为
10.下列几个说法，其中正确的有( )
A.若函数 (2 + 1)的定义域为( 1,2) 1，则函数 ( )的定义域为 1, 2 ；
B.已知函数 ( ) = log1 3 2 + 8 在[ 1, + ∞)上是减函数，则实数 的取值范围是( 11, 6]；
2
C.若函数 ( ) = 3 1 b 有两个零点，则实数 的取值范围是 0 < < 1；

D. ( ) = 2 1若 1+2 ( ∈ )是奇函数，且实数 满足 (2 1) < 3，则 的取值范围是(0, + ∞)．
11.已知函数 ( ) 是定义在 R 上的奇函数， ( + 1)是偶函数，当 ∈ (0,1]时， ( ) = e 1，则下列说法中
正确的有( )
A. ∈ [1,2)时， ( ) = 2 e 1
B.函数 ( )的最小正周期是 4
C. 2025 =1 ( ) = 1
D.方程 ( ) = lg| |恰有 10 个不同的实数根
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.已知函数 ( ) = ln ，若直线 过点(0, 1)，并且与曲线 = ( )相切，则直线 的方程为 ．
13. 2 + (3 )2 + lg2 + lg5 2019 + ( 2020)0 = ．
14.设 > 0， > 0， + 2 = 4 ( +1)(2 +1)，则 的最小值为 ．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
2
已知幂函数 ( ) = ( 1)2 4 +2在(0, + ∞)上单调递增，函数 ( ) = 2 ．
(1)求 的值；
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(2)当 ∈ [1,2]时，记 ( )， ( )的值域分别为集合 ， ，设命题 : ∈ ，命题 : ∈ ，若命题 是 成立
的必要条件，求实数 的取值范围．
16.(本小题 15 分)
已知函数 ( ) = 3 + 2( ∈ )的图象过点 ( 1,2)，且在点 处的切线恰好与直线 3 = 0 垂直．
(1)求函数 ( )的解析式；
(2)若函数 ( )在区间[ , + 1]上单调递增，求实数 的取值范围．
17.(本小题 15 分)
已知函数 ( ) = 2 + 1( > 0 且 ≠ 1).
(1)函数 ( )是否过定点？若是求出该定点，若不是，说明理由．
(2)将函数 ( )的图象向下平移 1 个单位，再向左平移 2 个单位后得到函数 ( )，设函数 ( )的反函数为 ( )，
求 ( )的解析式；
(3)在(2)的基础上，若函数 = ( )过点(4,2)，且设函数 = ( )的定义域为(1,4]，若在其定义域内，不等
式 ( ) + 2 2 ≤ 2 + ( ) + 6 恒成立，求 的取值范围．
18.(本小题 17 分)
已知函数 ( ) = ( 1) ln + 1．
(1)求 ( )的单调区间；
(2)当 ≤ 2 时，证明：当 > 1 时， ( ) < e 1恒成立．
19.(本小题 17 分)
已知函数 ( ) = 2 2 + 1 + ( > 0)在区间[2,3]上有最大值 4 和最小值 1．
(1)求 ， 的值；
(2)若存在 ∈ [3,4]， ( ) < 2 2 + 7 对任意的 ∈ [0,5]都成立；求 的取值范围；
(3)设 ( ) = ( ) ，若不等式 (2 ) 2
≥ 0 在 ∈ [ 1,1]上有解，求实数 的取值范围．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12. 1 = 0
13. 1
14.92．
15.【详解】(1)依题意得：( 1)2 = 1， = 0 或 = 2，
当 = 2 时， ( ) = 2在(0, + ∞)上单调递减，
与题设矛盾，舍去，
∴ = 0．
(2)由(1)得： ( ) = 2，
当 ∈ [1,2)时， ( ) ∈ [1,4)，即 = [1,4)，
当 ∈ [1,2)时， ( ) ∈ [2 , 4 )，即 = [2 , 4 )，
若命题 是 成立的必要条件，则 ，
2 ≥ 1 ≤ 1
则 4 ≤ 4，即 ≥ 0 ,
解得：0 ≤ ≤ 1．
16.【详解】(1)因为函数 ( ) = 3 + 2( ∈ )的图象过点 ( 1,2)，所以 + = 2，
又因为 ′( ) = 3 2 + 2 ，且 ( )点 处的切线恰好与直线 3 = 0 垂直，
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所以 ′( 1) = 3 2 = 3，
+ = 2 = 1
由 3 23 2 = 3解得 = 3，所以 ( ) = + 3 ( ∈ )．
(2)由(1)知 ′( ) = 3 2 + 6 = 3 ( + 2)，
令 ′( ) > 0，即 3 ( + 2) > 0，解得 < 2 或 > 0，
令 ′( ) < 0，即 3 ( + 2) < 0，解得 2 < < 0，
所以 ( )在( ∞, 2)单调递增，( 2,0)单调递减，
(0, + ∞)单调递增，
根据函数 ( )在区间[ , + 1]上单调递增，
则有 + 1 ≤ 2 或 ≥ 0，解得 ≤ 3 或 ≥ 0．
17.【详解】(1) ∵ ( ) = 2 + 1( > 0 且 ≠ 1)，令 2 = 0，得 = 2，∴ (2) = 0 + 1 = 2．
因此，函数 = ( )的图象恒过定点(2,2)；
(2)将函数 = ( )的图象向下平移 1 个单位，得到函数 = 2( > 0 且 ≠ 1)的图象，再将所得函数的
图象向左平移 2 个单位，可得到函数 ( ) = ( > 0 且 ≠ 1)的图象．
因此， ( ) = log ( > 0 且 ≠ 1)；
(3)由题意得 (4) = log 4 = 2，得 2 = 4，∵ > 0 且 ≠ 1，∴ = 2，则 ( ) = log2 ，
当 ∈ (1,4]时， ( ) = log2 ∈ (0,2]．
由 ( ) + 2 2 ≤ 2 + ( ) + 6，得 log2 + 2 2 ≤ log2 2 + log2 + 6，
即 log2 + 2 2 ≤ 2log2 + log2 + 6，
令 = log2 ∈ (0,2]，则不等式( + 2)2 ≤ 2 + + 6 对任意的 ∈ (0,2]恒成立，
∴ ≥ 2 + 2 对任意的 ∈ (0,2] =
2
恒成立，构造函数 + 2，其中 ∈ (0,2]．
= 2 + 2 (0,2] = 2 2则函数 在区间 上单调递增，则该函数的最大值为 max 2 + 2 = 3，
∴ ≥ 3，因此，实数 的取值范围是[3, + ∞)．
18.【详解】(1) ( ) 1 1定义域为(0, + ∞)， ′( ) = =
≤ 0 ′( ) = 1当 时， < 0，故 ( )在(0, + ∞)上单调递减；
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当 > 0 时， ∈ 1 , + ∞ 时，
′( ) > 0， ( )单调递增，
当 ∈ 0, 1 时， ′ ( ) < 0， ( )单调递减．
综上所述，当 ≤ 0 时， ( )的单调递减区间为(0, + ∞)；
> 0 时， ( ) 1 1的单调递增区间为 , + ∞ ，单调递减区间为 0, ．
(2) ≤ 2，且 > 1 时，e 1 ( ) = e 1 ( 1) + ln 1 ≥ e 1 2 + 1 + ln ，
令 ( ) = e 1 2 + 1 + ln ( > 1)，下证 ( ) > 0 即可．
′( ) = e 1 2+ 1 ( ) = ′( ) ′( ) = e 1 1 ，再令 ，则 2，
显然 ′( )在(1, + ∞)上递增，则 ′( ) > ′(1) = e0 1 = 0，
即 ′( ) = ( )在(1, + ∞)上递增，
故 ′( ) > ′(1) = e0 2 + 1 = 0，即 ( )在(1, + ∞)上单调递增，
故 ( ) > (1) = e0 2+ 1 + ln1 = 0，问题得证
19.【详解】(1) ( ) = 2 2 + 1 + = ( 1)2 + 1 +
∵ > 0，∴ ( )在[2,3]上单调递增，
(2) = 1
∴ 1 + = 1 = 1 (3) = 4 9 6 + 1 + = 4 = 0
(2)由(1)得： ( ) = 2 2 + 1，当 ∈ [3,4]时， ( )min = (3) = 4
又∵存在 ∈ [3,4]， ( ) < 2 2 + 7 对任意的 ∈ [0,5]都成立，
∴ 4 = ( )min < 2 2 + 7 对任意的 ∈ [0,5]都成立
即 + 2 2 + 3 > 0 对任意的 ∈ [0,5]都成立，其中 看作自变量， 看作参数，
2 3
即 2 + 3 > 02 ，解得： ∈ ( ∞,1) ∪ , + ∞ 5 + 2 + 3 > 0 2
( ) 2 2 +1 1
(3) ( ) = = = + 2
1 1
∴ (2 ) 2 ≥ 0 2 + 2 2 2
≥ 0 2 ≤ 2 + 2 2
1 1 1
令2 = ( 2 ≤ ≤ 2)则 2
≤ 2 + 2 2 ≤ + 2
∴ ≤ 1 + 1 2 2 ，因为不等式 (2
) 2 ≥ 0 在区间[ 1,1]上有解
∴ ≤ (1 + 1 2 ) 1 2 1 2 2 max，又∵ 1 + 2 = ( 1)
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1
而2 ≤ ≤ 2
1
2 ≤
1
≤ 2 ∴ (1 +
1
2
2
)max = 1
∴ ≤ 1，即实数 的取值范围是( ∞,1]
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