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山东省潍坊市寿光第一中学 2026届高三上学期直升班拉练 9月月考
数学试卷
一、单选题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.(1 + 5i)i 的虚部为( )
A. 1 B. 0 C. 1 D. 6
2.设集合 = { ∈ N∣ 1 < < 2}，则 的真子集的个数是( )
A. 8 B. 7 C. 4 D. 3
3 1.已知幂函数 ( )的图象经过点 2, 4 ，则函数 ( )的图象大致为( )
A. B.
C. D.
4.已知事件 , 满足 ( ) = 0.5， ( ) = 0.2，则( )
A.若 ，则 ( ) = 0.5 B. 若 与 互斥，则 ( + ) = 0.7
C.若 与 相互独立，则 = 0.9 D.若 ( | ) = 0.2，则 与 不相互独立
5.已知圆柱和圆锥的底面半径相等，侧面积相等，且它们的高均为 3，则圆锥的体积为( )
A. 2 3π B. 3 3π C. 6 3π D. 9 3π
6.已知 ( ) 2 3是定义在 上且周期为 的偶函数，当 2 ≤ ≤ 3 时， ( ) = 5 2 ，则 4 =( )
A. 12 B.
1 1 1
4 C. 4 D. 2
7.若命题 ：“ ∈ [ 1,2]， ≤ 2 + 1”.使命题 为假命题的一个必要不充分条件是( )
A. [1, + ∞) B. ( ∞,2] C. (1, + ∞) D. ( ∞,5]
2
8.已知函数 ( ) = 2 , < 0 + ln( + 1), ≥ 0在 上单调递增，则 的取值范围是( )
A. ( ∞,0] B. [ 1,0] C. [ 1,1] D. [0, + ∞)
二、多选题：本题共 3小题，共 18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
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9.下列选项正确的是( )
A.若随机变量 ～ 3, 2 ，且 ( < 6) = 0.84，则 (3 < < 6) = 0.34
B.一组数据 88，90，90，91，92，93，95，96，98，99 的第 50 百分位数为 92
C.若样本数据 1， 2，…， 6的方差为 2，则数据 2 1 1，2 2 1，…，2 6 1 的方差为 8
^ ^
D.已知回归直线方程为 = + 7，若样本中心为( 5,22)，则样本点(3, 2.5)处残差为 0.5
10 .已知数列 满足 1 = 1, +1 = 2+ ∈ N
，则下列结论正确的是( )

A. 1 + 1 为等比数列 B. > +1
C. 1 1 的前 项和 = 2
+1
2 D. 2 +1 的前 项和 = 1 2 +1 1
11.已知函数 ( )的定义域为 ， ( ) = 2 ( ) + 2 ( )，则( )．
A. (0) = 0 B. (1) = 0
C. ( )是偶函数 D. = 0 为 ( )的极小值点
三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分。
12.已知平面向量 = ( , 1), = ( 1,2 ),若 ⊥ ，则| | =
13.若直线 = 2 + 5 是曲线 = e + + 的一条切线，则 = ．
2 214.设双曲线 : 2 2 = 1( > 0, > 0)的左右焦点分别为 1、 2，过 2作平行于 轴的直线交 于 ， 两点，
若| 1 | = 13, | | = 10，则 的离心率为 ．
四、解答题：本题共 5小题，共 77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
已知 , , 分别为 3三个内角 , , 的对边，且 cos 3 sin = 0．
(1)求 ；
(2)若 = 3 3 3，且 的面积为 2 ，求 的周长．
16.(本小题 15 分)
2+
已知数列 的前 项和 = 2 ， ∈ ．
(1)求数列 的通项公式；
(2)设 = 2 + ( 1) ，求数列 的前 项和 n．
17.(本小题 15 分)
一家调查机构在某地随机抽查 1000 名成年居民对新能源车与燃油车的购买倾向，得到如下表格：
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倾向于购买燃油车 倾向于购买新能源车 合计
女性居民 150 250 400
男性居民 350 250 600
合计 500 500 1000
(1)能否在犯错误不超过 1%的前提下认为对新能源车与燃油车的购买倾向存在性别差异？
(2)从倾向于购买燃油车的居民中按性别采用分层随机抽样的方法抽取 10 人，再从中抽取 4 人进行座谈，
求在有女性居民参加座谈的条件下，恰有 2 名男性居民也参加座谈的概率．
(3)从所有参加调查的男性居民中按购买这两种车的倾向性，采用分层随机抽样的方法抽出 12 人，再从中
随机抽取 3 人进行座谈，记这 3 人中倾向于购买新能源车的居民人数为 ，求 的分布列与数学期望．
2 = ( )
2
参考公式： ( + )( + )( + )( + )，
0.1 0.05 0.01 0.005
2.706 3.841 6.635 7.879
18.(本小题 17 分)
已知 ( ) = 2 ln + 1 22 ( + 2) ∈ R ．
(1)讨论 ( )的单调性；
(2) 若任意的 2 11, 2 ∈ 0, + ∞ 1 ≠ 2 , > 3 ，求 的取值范围．2 1
19.(本小题 17 分)
如图，在四棱锥 中，四边形 是直角梯形，∠ = ∠ = ∠ = 90 ，且 = = 2，
= 2 2， = = 1， 为 中点．
(1)证明： //平面 ；
(2)证明： ⊥平面 ；
(3) 1在线段 上是否存在点 ，使得平面 与平面 夹角的余弦值为5 若存在，求出点 的位置；若不
存在，请说明理由．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12. 2
13.4
14.32
15.(1) 3 3因为 cos 3 sin = 0，由正弦定理得 sin cos 3 sin sin = 0，
因为 ∈ (0, π) 3，可得 sin > 0，所以 cos 3 sin = 0，
若 cos = 0，则 sin = 0，不合题意，故 cos ≠ 0，所以 tan = 3，
又因为 ∈ (0, π) π，所以 = 3．
(2) 3 3 1 3 3因为 的面积为 2 ，可得2 sin = 2 ，可得 = 6，
又因为 = 3，所以 = 2，由余弦定理 2 = 2 + 2 2 cos ，
可得 2 = 4 + 9 2 × 2 × 3 × 12 = 7，所以 = 7，
所以 的周长为 + + = 7 + 5．
2
16.(1) + 1 1因为数列 的前 项和 = 2 ， ∈ ，所以 1 = 2 + 2 = 1；
≥ 2 1 1 1 1当 时， 2 = 1 = 2 + 2 2 ( 1)
2 + 2 ( 1) = ，
又 1 = 1 适合上式，所以 = ；
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(2) = 2 + ( 1) ，
所以数列 的前 项和 = 2 + 22 + 23 n + + 2 + 1+ 2 3 + 4 + ( 1) ，

当 2 1 2为偶数时， n = 1 2 + ( 1 + 2) + ( 3 + 4) + + ( 1) + = 2
+1 2 + 2，
= 2 1 2

当 为奇数时， n 1 2 + ( 1 + 2) + ( 3 + 4) + + ( 2) + ( 1)
= 2 +1 2+ 1 = 2 +12 2
+1 = 2 +1 +52 2 ．
2 +1 +5 , 为奇数
综上， = 2 ．
2 +1 2 + 2 , 为偶数
17.(1) 2 = 1000×(150×250 350×250)
2 125
因为 400×600×500×500 = 3 ≈ 41.7 > 0.01. = 6.635，
所以在犯错误不超过 1%的前提下认为对新能源车与燃油车的购买倾向存在性别差异．
(2)由表格可得倾向于购买燃油车的居民中男、女性别比为 7：3，
4
所以抽取男性 7 C 5人，女性 3 人，再从中抽取 4 人进行座谈，有女性居民记为事件 ，则 ( ) = 1 74 = ，C10 6
2 2
恰有 2 名男性居民记为事件 ，则 ( ) = C3C74 =
3
C10 10
，
( ) 3 6 9
所以在有女性居民参加座谈的条件下，恰有 2 名男性居民也参加座谈的概率为 = ( ) = 10 × 5 = 25．
(3)在所有参加调查的男性居民中按购买这两种车的倾向性，采用分层随机抽样的方法抽
12 人，抽样比为 50：1，可得抽取结果如下表：
倾向于购买燃油车倾向于购买新能源车
男性居民 7 5
再从中随机抽取 3 人进行座谈，记这 3 人中倾向于购买新能源车的居民人数为 ，
0 1 2 3 ( = 0) = C
3 1 2
可取 ， ， ， ，可求出 73 =
7
44， ( = 1) =
C5C7 21
3 = 44，C12 C12
C2C1 7 C3 ( = 2) = 5 7 = ， ( = 3) = 5 = 1，
C3 312 22 C12 22
的分布列如下：

0 1 2 3
7 21 7 1
44 44 22 22
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( ) = 1 × 21数学期望 44 + 2 ×
7
22 + 3 ×
1 5
22 = 4．
18.(1) ( ) 0, + ∞ , ′( ) = 2 的定义域为 + ( + 2) =
( )( 2)
．
若 ′( ) = 0，则( )( 2) = 0．
①若 ≤ 0，当 > 2 时， ′( ) > 0；当 0 < < 2 时， ′( ) < 0，
所以 ( )在(0,2)上单调递减，在 2, + ∞ 上单调递增；
②若 0 < < 2，当 > 2 或 0 < < 时， ′( ) > 0；当 < < 2 时， ′( ) < 0，
所以 ( )在 0, 上单调递增，在 , 2 上单调递减，在 2, + ∞ 上单调递增；
2
③若 = 2, ′( ) = ( 2) ≥ 0，当且仅当 = 2 时取等号，此时 ( )在 0, + ∞ 上单调递增；
④若 > 2，当 > 或 0 < < 2 时， ′( ) > 0；当 2 < < 时， ′( ) < 0，
所以 ( )在(0,2)上单调递增，在 2, 上单调递减，在 , + ∞ 上单调递增．
综上所述，当 ≤ 0 时， ( )在(0,2)上单调递减，在 2, + ∞ 上单调递增；
当 0 < < 2 时， ( )在 0, 上单调递增，在 , 2 上单调递减，在 2, + ∞ 上单调递增；
当 = 2 时， ( )在 0, + ∞ 上单调递增；
当 > 2 时， ( )在(0,2)上单调递增，在 2, 上单调递减，在 , + ∞ 上单调递增．
(2) < 2 不妨设 11 2，则 > 3 2 1 > (3 ) 2 12 1
2 + ( 3) 2 > 1 + ( 3) 1．
设 ( ) = ( ) + ( 3) = 2 ln + 12
2 5 ，则 2 > 1 ，
所以 ( )在 0, + ∞ 2 上单调递增，所以 ′( ) = + 5 ≥ 0 对 ∈ 0, + ∞ 恒成立，
所以 2 ≥ (5 )对 ∈ 0, + ∞ 恒成立，
2
又 (5 ) = 2 + 5 = 5 25 5 252 + 4，所以当 = 2时， (5 )取最大值 4，
25 25 25
所以 2 ≥ 4，解得 ≥ 8，即 的取值范围为 8 , + ∞ ．
19.(1)证明：取 中点记为 ，连接 ， ，
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则 // 1，且 = 2 ；
// = 1，且 2 ；
所以 平行且等于 ，
所以四边形 为平行四边形，所以 ．
又因为 平面 ， 平面 ，
所以 //平面 ．
(2)记 中点为 ，连接 ， ，
则四边形 为正方形，
且根据勾股定理得 = = 2，
所以 2 + 2 = 4 = 2，
则∠ = 90 ，所以 ⊥ ．
又因为 ⊥ ， ∩ = ， , 平面 ，所以 ⊥平面 ．
因为 平面 ，所以 ⊥ ．
又因为 2 + 2 = 8 = 2，
所以 ⊥ ，且 ∩ = ， , 平面 ，
所以 ⊥平面 ．
(3)由(2)知， ⊥平面 ，且∠ = 90 ．
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以 为坐标原点，以 ， ， 分别为 ， ， 轴建立空间直角坐标系，
(0,2,0)， (0,0,0)， (1,0,0)， (1,1,0)， (0,0,2)，
设 = ， ∈ [0,1]，则 ( , , 2 2 )，
则 = (0,2,0)， = ( , , 2 2 )， = (1,0,0)，
设平面 与平面 的法向量分别为 1 = 1 , 1, 1 和 2 = 2, 2, 2 ,
1 = 2 则 1
= 0,
1 = 1 + 1 + (2 2 ) 1 = 0
令 1 = 2 2，得 1 = (2 2,0, )．
2 = 2 = 0
2 = 2 + 2 + (2 2 ) 2 = 0
令 2 = 2 2，得 2 = (0,2 2, )．
设平面 与平面 的夹角为 ， ∈ 0, 2 ，
2
则 cos = cos 1, =
1 2 1 1
2 =1
=
2 (2 2)2+ 2
= 5，解得 2．
1
因此存在点 为 的中点，使得平面 与平面 夹角的余弦值为5．
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