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湖南省邵阳市邵东市第四中学 2026 届高三第一次月考数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1 1.已知集合 = 2 = , = = lg 2 ，则 ∩ =( )
A. 1,0,1 B. 1,0 C. 0,1 D. 1
2.已知 = 0.20.6， = 0.60.2， = log0.60.2，则( )
A. > > B. > > C. > > D. > >
3.若函数 ( ) = ln e 1 + 为偶函数，则实数 =( )
A. 1 B. 12 C. 1 D.
1
2
4.已知正数 , 满足( 1)( 2) = 4，则 + 4 的最小值为( )
A. 16 B. 17 C. 18 D. 19

5.已知函数 ( ) = log 14 4 , ( ) = log
1
1 4 的零点分别为 , ，则( )4
A. 0 < < 1 B. = 1 C. 1 < < 2 D. ≥ 2
6.血氧饱和度是呼吸循环的重要生理参数.人体的血氧饱和度正常范围是 95％～100％，当血氧饱和度低于
90％时，需要吸氧治疗，在环境模拟实验室的某段时间内，可以用指数模型： ( ) = e 0 描述血氧饱和度
( )随给氧时间 (单位：时)的变化规律，其中 0为初始血氧饱和度， 为参数.已知 0 = 60％，给氧 1 小时
后，血氧饱和度为 80％.若使得血氧饱和度达到 90％，则至少还需要给氧时间(单位：时)为( )(精确到 0.1，
参考数据：ln2 ≈ 0.69，ln3 ≈ 1.10)
A. 0.5 B. 0.7 C. 0.9 D. 1.1
7.已知 ( ) = ln(1 + ) + ln(1 )，若 (2 1) < ( )，则实数 的取值范围是( )
A. ∞, 13 ∪ (1, + ∞) B. ( ∞,0) ∪ 0,
1
3
C. 0, 13 D. (0,1)
8.函数 ( ) = ln 2ln 2 + ，若 ( ) ≥ 0 恒成立，则 ( + 1)的取值范围是( )
A. ∞, e B. 0,2e C. [2, + ∞) D. ( ∞,2]
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列命题中假命题的是( )．
A.命题“ ∈ ， 2 + ≥ 0”的否定是： 0 ∈ ， 20 + 0 < 0
B.设 ∈ ，则“2 ≥ 0”是“| 1| ≤ 1”的充分而不必要条件
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C.若 + = 1 1 1，则 + 的最小值为 4
D. = ( + 1) ( )若 的定义域是[1,2]，则函数 ( ) = ln( 2)的定义域为(2,3]
( ) = + 2, ≤ 010.已知函数 log , > 0，若 ( ) = 有三个不等实根 1， 2， 3，且 1 < 2 < 3，则( )2
A. ( )的单调递增区间为( ∞,0], [1, + ∞)
B. 的取值范围是(0,2)
C. 1 2 3的取值范围是( 2,0]
D.函数 ( ) = ( ) 有 4 个零点
11.已知定义在 ( ) ( ) = + 3上的函数 满足 2 , ( 1) = 1, (0) = 2
3
，且 4 为奇函数，则( )
A. ( )为奇函数 B. ( )为偶函数
C. ( )是周期为 3 的周期函数 D. (0) + (1) + … + (30) = 2
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
1
12.2log23 + lg5 2 + lg2 lg50 9 24 = ．
2 113 +.若函数 ( ) = 2 , 0 < < 1,为减函数，则实数 的取值范围为 ．
(1 ) + 2, ≥ 1
14.已知3 = 2 + 3 ，则 2 的最小值为 ．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
设全集 = ，已知集合 = { ∣ 2 < ≤ 1}，集合 = ∣2 1 ≤ ≤ + 1 ．
(1)当 = 0 时，求 ∪ ；
(2)若 ∩ = ，求实数 的取值范围．
16.(本小题 15 分)
已知函数 ( ) = log ( > 0 且 ≠ 1).
(1)若 ( )在区间[ , 2 ]上的最大值与最小值之差为 1，求 的值；
(2)解关于 的不等式log ( 1) > log 2 ．
17.(本小题 15 分)
已知 ( )是定义在 上的奇函数，当 > 0 时， ( ) = 2 1．
(1)求 (0)的值；
(2)当 < 0 时，求 ( )的解析式；
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(3)若关于 的方程 (2 ) + ( ) + + 3 = 0( ∈ )在(0,1)上有两个不相等的实根，求 的取值范围．
18.(本小题 17 分)
2
已知函数 ( ) = 2 1+1．
(1)判断函数 ( )的单调性，并利用定义证明；
(2)求证：函数 = ( )的图象关于点(1,1)中心对称；
(3)若对 1， 2 ∈ ，且 1 + 2 > 2，恒有 21 + 2 + > 0 成立，求实数 的取值范围．
19.(本小题 17 分)
已知函数 ( ) = e2 + + 1( < 0)．
(1)当 = 1 时，求函数 = ( )在点 0, (0) 处的切线方程；
(2)求函数 ( )的单调区间；
(3)若不等式 ( ) + ( + 2)e ≤ 0 恒成立，求整数 的最大值．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.103
13. 32 , 2
14.3log32
15.解：(1) = { ∣ ≤ 2 或 > 1}．
= ∣ 1 ≤ ≤ 1
∴ ∪ = { ∣ ≤ 2 或 ≥ 1}．
(2)由 ∩ = ，
则①当 = 时，由 2 1 > + 1，解得 > 2；
2 1 ≤ + 1 2 1 ≤ + 1
②当 ≠ 时， + 1 ≤ 2或 2 1 > 1
解得 ≤ 3 或 1 < ≤ 2．
综上，实数 的取值范围为( ∞, 3] ∪ (1, + ∞)．
16.解：(1)因为 ( ) = log 在[ , 2 ]上为单调函数，且 ( )在[ , 2 ]上的最大值与最小值之差为 1，
所以 log (2 ) log = log 2 = 1，
1
解得 = 2 或 = 2．
(2)当 0 < < 1 时， ( ) = log 是(0, + ∞)上的减函数，
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1 > 0 < 1
所以 2 > 0，即
2 < <
,
1 < 1 < < + 1
故原不等式的解集为 ；
当 > 1 时， ( ) = log 是(0, + ∞)上的增函数，
1
1 > 0 <
所以 2 > 0，即 < < ,
1 > 2 < 1 或 > + 1
故原不等式的解集为 , 1 ．
综上，当 0 < < 1 时，不等式的解集为 ；当 > 1 时，不等式的解集为 , 1 ．
17.解：(1) ∵ ( )是定义在 上的奇函数，
∴ (0) = 0．
(2)若 < 0，则 > 0，
∵当 > 0 时， ( ) = 2 1，
∴当 > 0 时， ( ) = 2 1 = ( )，
则当 < 0 时, ( ) = 2 + 1
(3)当 0 < < 1 时， (2 ) + ( ) + + 3 = 0 等价为22 1 + (2 1) + + 3 = 0，
即(2 )2 + 2 + 2 = 0，
设 = 2 ，∵ 0 < < 1，∴ 1 < < 2，
即方程 2 + + 2 = 0 在 1 < < 2 上有两个不相等的实根，
设 ( ) = 2 + + 2，∵ (0) = 2 > 0，
∴要使 2 + + 2 = 0 在 1 < < 2 上上有两个不相等的实根，
= 2 8 > 0
∈ ∞, 2 2 ∪ 2 2, + ∞1 < < 2
则 2 ，即 4 < < 2，即 3 < < 2 2，
(1) = 3 + > 0 > 3
(2) = 6 + 2 > 0 > 3
即实数 的取值范围是 3, 2 2 ．

18.解：(1)函数 ( ) = 22 1+1在定义域 内单调递增，证明如下：
2 ( ) = 22 1+1 = 2 1 2 +2 ，任取 1， 2 ∈ ，令 1 < 2，
则2 1 + 2 > 0，2 2 + 2 > 0，2 1 2 2 < 0，
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1 2
故 1 2 = 2 1
2
2 1+2 2 1
2 4 2 2
2 2+2 = 2 1+2 2 2+2 < 0，
即 1 < 2 ，所以 ( )在定义域 内单调递增．
(2)证明：因为 ( )的定义域为 ，
( ) = 2 1 2 2 2

2 +2 ， (2 ) = 2 1 22 +2 = 2 1 2 +2 ，

有 ( ) + (2 ) = 2 1 2 22 +2 + 1 2 +2 = 2，
所以 ( )的图象关于点(1,1)对称．
(3)因为 1 + 2 > 2，即 1 > 2 2，
由(1)可知： ( )在定义域 内单调递增，则 1 > 2 2 ，
由(2)可知： ( ) + (2 ) = 2，即 (2 ) = 2 ( )，
可得 1 > 2 2 = 2 2 ，即 1 + 2 > 2，
由 1 + 22 + > 0 1 + 2 > 2 ，得 2 ≤ 2，
即 2 2 ≤ 0，解得 1 ≤ ≤ 2，
所以实数 的取值范围为[ 1,2]．
19.解：(1)函数 ( )的定义域为 R, ′(0) = 1 2e2 = 1 =0 ，
则曲线 ( )在点 0, (0) 处的切线为 0 = 1 × ( 0)，
即 = ．
(2)因为 ′( ) = 1 + 2 e2 ，
∵ < 0 时，由 ′( ) > 0 1 1，得 < ln ，令 ′2 2 ( ) < 0 >
1
，得 2 ln
1
2 ，
1 1 1 1
所以 ( )在 ∞, 2 ln 2 上单调递增，在 2 ln 2 , + ∞ 上单调递减．
综上所述， ( ) 1 1 1 1的单调递增区间为 ∞, 2 ln 2 ，单调递减区间为 2 ln 2 , + ∞ ．
(3)依题知， ( ) + ( + 2)e ≤ 0 恒成立，即 e2 + + 1 + ( + 2)e ≤ 0 恒成立，
设 ( ) = + e2 + ( + 2)e + 1, ∈ ，
则 ′( ) = 1 + 2 e2 + ( + 2)e = e + 1 2e + 1 ，
当 < 0 1 1时，由 ′( ) > 0，得 < ln ′ ，由 ( ) < 0，得 > ln ，
1 1
所以 ( )在 ∞, ln 上单调递增，在 ln , + ∞ 上单调递减，
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1 1 1 2 1
则 ( ) ≤ ln = ln + + ( + 2) + 1 ≤ 0 恒成立，
1 1
整理得 ln ≤ 0．
1 1 1 1 1
设 ( ) = ln ′ , < 0，则 ( ) = + 2 = 2 > 0 恒成立，所以 ( )在( ∞,0)上单调递增，又
∈ ，且 ( 1) = 0 + 1 = 1 > 0, ( 2) = ln 1+ 12 2 < ln
1
e+
1
2 = 0
故整数 的最大值为 2．
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