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四川省广元中学 2026 届高三上学期入学考试数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设集合 = { |0 ≤ < 4} 1，则 = | 3 ≤ ≤ 5 ，则 ∩ 等于( )
A. |0 < ≤ 1 B. | 13 3 ≤ < 4 C. { |4 ≤ < 5} D. { |0 < ≤ 5}
2.复数 = 2 11i 的虚部为( )
A. 11i B. 2 C. 11 D. 11

3.函数 ( ) = e e 2 的图象大致为( )
A. B.
C. D.
4.已知 , 为单位向量，且 ⊥ ( + 2 )，则向量 与 的夹角为( )
A. 30° B. 60° C. 120° D. 150°
2 2
5.双曲线 : 2

2 = 1( > 0, > 0)的一条渐近线的倾斜角为 130°，则 的离心率为
A. 2 40° B. 2 40° C. 1sin50° D.
1
cos50°
6.用数字 1，2，3，4，5 组成的无重复数字的四位偶数的个数为( )
A. 8 B. 24 C. 48 D. 120
7.已知等差数列 的公差 < 0, 5 7 = 35, 4 + 8 = 12，记该数列的前 项和为 ，则 的最大值为( )
A. 66 B. 72 C. 132 D. 198
8.已知定义在 R 上的连续函数 ( )的导函数为 ( )，则下列说法错．误．的是( )
A.若 ( )关于( , 0)中心对称，则 ( )关于 = 对称
B.若 ( )关于 = 对称，则 ( )有对称中心
C.若 ( )为周期函数，则 ( )为周期函数
D.若 ( + 1)为奇函数， ( 1)为偶函数，则 ( )周期为 2
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二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知函数 ( ) = cos( + ) > 0, > 0,0 < < π 在 = 5π12处取得最小值 2，与此最小值点最近的
( ) π图象的一个对称中心为 6 , 0 ，则下列结论正确的是( )
A. ( ) = 2cos 2 + π6
B. π将 = 2sin2 的图象向左平移3个单位长度即可得到 ( )的图象
C. ( ) π在区间 0, 2 上单调递减
D. ( ) π在区间 0, 2 上的值域为 2, 3
10.如图，正四面体 的棱长为 1， ， 分别是棱 ， 上的点，且 = = ， ∈ (0,1)，则( )
A.不存在 ，使得 /\ !/平面 B.直线 与直线 异面
C. 2不存在 ，使得平面 ⊥平面 D.三棱锥 体积的最大值为24
2 2
11 .已知抛物线 : 2 = 2 ( > 0)和椭圆 : 2 + 2 1 = 1( > 1)有相同的焦点 ，且交于 ， 两点， 的准
线与 交于 ， 两点，则( )
A.存在 < 2，使 为等边三角形
B.存在 > 1，使四边形 为正方形
C.任意 > 1，点 总在圆 : ( 1)2 + 2 = 1 外
D.任意 > 2，椭圆上任一点总在圆 : ( 1)2 + 2 = 1 外
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.已知向量 1在向量 上的投影向量是 2
，且 = 1, 2, 1 ，则 = ．
13.某圆台的上、下底面半径和高的比为 1: 4: 4，若母线长为 15，则该圆台的侧面积为 ．
14.函数 ( ) = ln + 1 32 ( 1)
2 ( > 0)，若 ( ) > 0 在(0, + ∞)恒成立，则 的取值范围
是 ．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
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15.(本小题 13 分)
已知数列 满足 1 = 1， 2 = 2， +2 = 3.
(1)求 2 ；
(2)当 为奇数时，求数列 的前 项和 .
16.(本小题 15 分)
如图 1， // ， ⊥ 1，且 = = 2 = 2， 是 中点，沿 将 折起到 的位置(如
图 2)，使得∠ = 120°．
(1)求证：面 ⊥面 ；
(2)若线段 上存在一点 ，使得平面 5 与平面 夹角的余弦值是 5 ，求 的值．
17.(本小题 15 分)

2

2
已知双曲线 与双曲线 ： 6 3 = 1 有共同的渐近线．
(1)若 经过抛物线 = 2 + 8 14 的顶点，求双曲线 的方程；
(2)若双曲线 的两个焦点分别为 1， 2，点 为 上的一点，且 1 = 2 + 10，求双曲线 的方程．
18.(本小题 17 分)
如果曲线 = ( )存在相互垂直的两条切线，称函数 = ( )是“正交函数”.已知 ( ) = 2 + + 2ln ，
设曲线 = ( )在点 0, 0 处的切线为 1．
(1)当 = 8， 0 = 8 时，是否存在直线 2满足 1 ⊥ 2，且 2与曲线 = ( )相切？请说明理由；
(2)如果函数 = ( )是“正交函数”，求满足要求的实数 的集合 ；
(3)若对任意 ∈ [ 5, 4)，曲线 = ( )都不存在与 1垂直的切线 2，求 0的取值范围．
19.(本小题 17 分)
从 , , , , 五个网络节点中随机选择三个进行数据传输测试．
(1)若 , , 三个核心节点中被选中的数量为随机变量 ，求 的分布列；
(2)若现只有 , , 三个节点进行数据传输测试.每次传输规则如下：
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数据在 节点时：掷骰子，若点数大于 3，则传输至 节点；否则保留在 节点；
数据在 节点时：掷骰子，若点数大于 4，则传回 节点；否则传输至 节点；
数据在 节点时：掷骰子，若点数大于 3，则传回 节点；否则传回 节点．
初始时数据在 节点，设经过 次骰子投掷(即 次传输)后，数据在 节点的概率为 ，
①求 3
②求
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12. 2
13.225π
14. 0, 23 ( + 1)
15.(1)因为 +2 = 3，所以数列 2, 4, , 2 构成首项为 2 = 2，公差为 3 的等差数列，
所以 2 = 2 + ( 1) 3 = 3 1．
(2)由 +2 = 3，所以数列 1, 3, , 2 1构成首项为 1 = 1，公差为 3 的等差数列，得到 2 1 = 1 +
( 1) 3 = 3 2，
设 = 2 1，
则 2 1 = 1 + 3 + + 2 1 + 2 + 4 + + 2 2 = (1 + 4 + 7 + + 3 2) + (2 + 5 + 8 + +
3 4) = (1+3 2) + ( 1)(2+3 4) 22 2 = 3 3 + 1，
= +1 +1
2
又 2 ，所以 为奇数时， = 3( 2 )
2 3( +12 ) + 1 =
3 +1
4 .
16.(1)因为 ⊥ ， ⊥ ， ∩ = ， , 平面 ，
所以 ⊥平面 ，
又 平面 ，
所以平面 ⊥平面 ．
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(2) ∵面 ⊥面 ，面 ∩面 = ，
故以 为坐标原点， 所在直线为 轴， 所在直线为 轴，在平面 内过 点作 的垂线所在直线为
轴，建立空间直角坐标系 ．
∴ (0,0,0), (2,0,0), (0, 1, 3), (0,2,0), (2,2,0)，
∴ = 0, 1, 3 ， = 0,3, 3 ， = (2,2,0)，
则平面 的一个法向量 = (2,0,0)，
设 = (0 ≤ ≤ 1)，则 = (0,3 , 3 )，
∴ = + = (0,3 1, 3 3 )，
设面 的一个法向量为 = ( , , )，
= 0 2 + 2 = 0，即 ,
= 0 (3 1) + 3 3 = 0
= 1 3 1令 ，得 = 1, 1, 3 3 ，
平面 与平面 夹角记为 ，

cos = 2 5 2则
|
= = ，解得 = ．
|| | 2 5 3
2× 1+1+ 3 13 3
2
所以 = 3．
2 2
17.(1) 依题意可设 的方程为 6 3 = ( ≠ 0)．
抛物线 = 2 + 8 14 = ( 4)2 + 2，顶点为(4,2)，
2 2
将(4,2) 4 代入 的方程，得 = 3，则 的方程为 8 4 = 1．
(2)由题意易知 1 2 = 10 = 2 ， = 5．
> 0
2 2 25
当焦点在 轴上时， ，可设双曲线 的方程为6 3 = 1，则 6 = 25，3 = 2，
2 2
则双曲线 的方程为25 25 = 1．
2
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2 2
当焦点在 轴上时， < 0，可设双曲线 的方程为 3 6 = 1，则 3 = 25， 6 = 50，
2 2
则双曲线 的方程为25 50 = 1．
2 2 2 2
综上所述，双曲线 的方程为25 25 = 1 或25 50 = 1．
2
18.(1)当 = 8 时， ′( ) = 2 + 2 8，则 ′ (8) =
33 33
4，即 1的斜率 1 = 4，
假设 2存在，则 2的斜率
4
2 = 33，
则 ′( ) = 2 42有解，即 2 + 8 = 33在(0, + ∞)上有解，
该方程化简为 33 2 130 + 33 = 0 3 11，解得 = 11或 3，符合要求，
因此该函数存在另外一条与 1垂直的切线 2．
(2) ′( ) = 2 + + 2 = 2 + 1 + ，
令 ( ) = ′( ) 1，则 ′( ) = 2 1 2 ，
当 ∈ (0,1)时 ′( ) < 0， ′( )单调递减；当 ∈ (1, + ∞)时 ′( ) > 0， ′( )单调递增；
设曲线 = ( )的另一条切线的斜率为 ′ 0 ，
当 ≥ 4 时， ′( ) = 2 + + 2 ≥ 4+ ≥ 0，显然不存在
′ 0 ′ 0 = 1，即不存在两条相互垂直
的切线；
当 < 4 时， ′( ) ≥ ′(1) = 4 + ，且 ′(1) = 4 + < 0，
∴ ′( ) = 2 1 2 1 > 0，
′ = > 0，且 > 1，0 < < 1，
∴ ′( ) 1在 , 1 、(1, )上各有一个零点 1, 2，
故当 ∈ 0, ′1 ，或 ∈ 2, + ∞ 时，都有 ( ) ∈ (0, + ∞)；
当 ∈ 1, ′2 时， ( ) ∈ [4 + , 0),
故必存在 ′ ′0 0 = 1，即曲线 ′ = ( )存在相互垂直的两条切线，
所以 < 4，
所以 = { | < 4}．
(3)因为 ∈ [ 5, 4)，由(2)知，曲线 = ( )存在相互垂直的两条切线，
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不妨设 0 ∈ 1,
1
2 ， 0 ∈ 0, 1 ∪ 2, + ∞ ，满足 ′ 0 ′ 0 = 1，即 ′ 0 = ′
，
0
又 4 + ≤ ′ ′ 1 10 < 0， 0 = ′ ≥ +4， 0
′ = 2 + 1所以 0 0 + ≥
1
0 +4
，
1 1 1
故 2 0 + ≥ +0 ( +4)
= ( + 4) + ( +4)+ 4，
1
当且仅当 = 5 时等号成立，所以 0 + ≥ 3，0
∈ 0, 3 5 ∪ 3+ 5解得 0 2 2 , + ∞ ，
又 ′ 20 = 2 0 + + < 0，即 2
2
0 + 0 + 2 < 0，
0
2 16 + 2
解得 4 < 0 <
16
4 ，
+ 21 < 16 ≤ 2 1 ≤
2 16 4
因为 4 ，2 4 = < 1， + 2 16
1
所以 0 ∈ 2 , 2 ．
3 5 1
综上可知，对任意满足 5 ≤ < 4 的所有函数不存在与 1垂直的切线 2的 0的取值范围是 2 , 2 ∪
2, 3+ 52 ．
19.(1) 的可能取值为 1，2，3
1 2 1 3
( = 1) = C3 = 33 ， ( = 2) =
C3C2 = 6 ( = 2) = C， 3 = 1
C 3 35 10 C5 10 C5 10
所以 得分布列为：
1 2 3
3 6 1
10 10 10
(2) 1 1①由题意，当投掷 3 次骰子后，点数大于 3 的概率为2，若点数大于 4 的概率为3，
数据在 中，共有 4 种情况：
→ → → 1 1 1 1，其概率为2 × 2 × 2 = 8；
→ → → 1 1 1 1，概率为2 × 2 × 3 = 12；
→ → → 1 1 1 1，概率为2 × 3 × 2 = 12；
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→ → → 1 2 1 1，概率为2 × 3 × 2 = 6；
所以投掷 3 1 1 1 1 11次后，数据在 中的概率为 3 = 8 + 12 + 12 + 6 = 24．
②设投掷 次后，数据在 中的概率为 ，
1 1
所以当 ≥ 2 时， = 2 1 + 3
1 1 1
1 + 2 1 1 1 = 6 1 + 2，
=
1 1
2 1 + 2 1 1 1 =
1 12 1 + 2，
1 1 1 1 1 1 1
所以 3 = 2 1 3 ， 1 3 = 2 3 = 6 ≠ 0，
1 1 1
所以数列 1 3 是以6为首项， 2为公比的等比数列，
1 1 1 1 1 1 1
所以 3 = 6 2 ， = 6
1
2 + 3，

所以 =
1 1 4
9 2 + 9 ( ≥ 2)，所以 =
1
9
1 4
2 + 9．
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