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高一数学上学期第一次月考测试卷
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
测试范围：必修第一册第一章、第二章；
第I卷（选择题）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。
1．（5分）下列说法中正确的是（ ）
A．联合国所有常任理事国（共5个）组成一个集合
B．朝阳中学年龄较小的学生组成一个集合
C．与是不同的集合
D．由1，0，5，1，2，5组成的集合有六个元素
2．（5分）命题“”的否定是（ ）
A． B．
C． D．
3．（5分）设，则的范围是（ ）
A． B． C． D．
4．（5分）设，，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
5．（5分）已知不等式的解集为或，则不等式的解集为（ ）
A． B．或
C． D．或
6．（5分）若，，且，则的最小值为（ ）
A． B． C．4 D．5
7．（5分）设集合，，且M，N都是集合的子集，如果把叫做集合的“长度”，那么集合的“长度”的最小值是（ ）
A． B． C． D．
8．（5分）若关于的不等式的解集中恰有3个整数，则实数的取值范围为（ ）
A． B．或
C．或 D．或
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9．（6分）下列说法正确的是（ ）
A．命题：，的否定是：.
B．命题：存在的否定是：任意
C．是的充分不必要条件.
D．已知集合，则
10．（6分）设全集，集合，，若，，，则（ ）
A． B．
C．真子集的个数31 D．
11．（6分）已知关于的一元二次不等式的解集为或，则（ ）
A．且 B．
C．不等式的解集为 D．不等式的解集为
第II卷（非选择题）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．（5分）已知集合，且，则 ．
13．（5分）若不等式对一切实数都成立，则实数的取值范围为 .
14．（5分）如图，某规划组计划建设一个矩形花草园，在矩形的中心位置建造一个面积为的矩形花园，在矩形的四周铺设草坪，要求南北两侧的草坪宽，东西两侧的草坪宽，则矩形面积的最小值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。
15．（13分）用适当的方法表示下列集合，并判断它是有限集还是无限集.
(1)由大于且小于的偶数组成的集合；
(2)所有被除余的整数所构成的集合；
(3)平面直角坐标系中第四象限的全体点的坐标构成的集合；
16．（15分）已知命题．命题．
(1)写出两个命题的否定；
(2)若两个命题都是真命题，求实数的取值范围．
17．（15分）已知正数满足.
(1)求的最小值；
(2)求的最小值；
(3)求的最小值.
18．（17分）已知集合，集合．
(1)若，且，求实数a的取值范围；
(2)是否存在实数m，使“”是“”的必要不充分条件 若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由．
19．（17分）已知函数．
(1)若不等式的解集为，求的取值范围；
(2)解关于的不等式；
(3)若不等式对一切恒成立，求的取值范围．
答案解析
第I卷（选择题）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。
1．（5分）下列说法中正确的是（ ）
A．联合国所有常任理事国（共5个）组成一个集合
B．朝阳中学年龄较小的学生组成一个集合
C．与是不同的集合
D．由1，0，5，1，2，5组成的集合有六个元素
【答案】A
【解题思路】根据集合元素的确定性、互异性和无序性判断即可.
【解答过程】对于A，联合国所有常任理事国共5个，即：中国，美国，俄国，英国，法国，可以组成集合，故A正确；
对于B，“年龄较小”的标准不明确，无法确定集合的元素，故B错误；
对于C，集合的元素满足无序性，与是相同集合，故C错误；
对于D，集合的元素满足互异性，由1，0，5，1，2，5可组成的集合，且有4个元素，故D错误.
故选：A.
2．（5分）命题“”的否定是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解题思路】利用全称量词命题的否定判断即得.
【解答过程】命题“”是全称量词命题，其否定为存在量词命题，
所以所求的否定为：.
故选：B.
3．（5分）设，则的范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解题思路】根据的范围利用不等式的性质直接求解即可.
【解答过程】由已知，得，
由同向不等式相加得到．
故选：D．
4．（5分）设，，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
【答案】A
【解题思路】根据充分条件、必要条件的定义判断即可.
【解答过程】因为，，若，可得，故充分性成立；
由，即，，可得，故必要性不成立；
所以“”是“”的充分不必要条件.
故选：A.
5．（5分）已知不等式的解集为或，则不等式的解集为（ ）
A． B．或
C． D．或
【答案】A
【解题思路】根据题意，由不等式的解集结合韦达定理代入计算，即可得到，然后求解一元二次不等式，即可得到结果.
【解答过程】因为不等式的解集为或，
所以方程的两根分别为，
由韦达定理可得，解得，
则不等式可化为，
即，解得，
所以不等式的解集为.
故选：A.
6．（5分）若，，且，则的最小值为（ ）
A． B． C．4 D．5
【答案】B
【解题思路】先化简已知等式，再应用基本不等式计算求解即可.
【解答过程】因为，，且，则，
，同理，
则，
当且仅当时，的最小值为.
故选：B.
7．（5分）设集合，，且M，N都是集合的子集，如果把叫做集合的“长度”，那么集合的“长度”的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解题思路】先确定集合、的“长度”，根据它们都是的子集，且“长度”最小，所以集合、应该在集合的两端，可求“长度”的最小值.
【解答过程】易得：集合的“长度”为，
集合的 “长度”为.
因为它们都是的子集，要使“长度”最小，
集合、应该在的两端.
若集合在左，集合在右，则，，
此时，，，
所以的 “长度”为：.
若集合在左，集合在右，则，，
此时，，，
所以的“长度”为：.
综上可知，“长度”的最小值为.
故选：C.
8．（5分）若关于的不等式的解集中恰有3个整数，则实数的取值范围为（ ）
A． B．或
C．或 D．或
【答案】B
【解题思路】将原不等式化为，按照与2的大小分类讨论解不等式，再结合解集中的整数个数建立不等式求解可得,
【解答过程】．
当时，不等式的解集为空集，不符合题意．
当时，不等式的解集为，
要使关于的不等式的解集中恰有3个整数，
只需满足解得．
当时，不等式的解集为，
要使关于的不等式的解集中恰有3个整数，
只需满足解得．
综上，实数的取值范围为.
故选：B.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9．（6分）下列说法正确的是（ ）
A．命题：，的否定是：.
B．命题：存在的否定是：任意
C．是的充分不必要条件.
D．已知集合，则
【答案】ABD
【解题思路】根据含有一个量词的命题的否定判断AB；根据充分条件的判定判断C；根据集合的并集运算判判断D.
【解答过程】A：根据全称量词命题的否定为存在量词命题，原命题的否定为，对；
B：根据存在量词命题的否定为全称量词命题，原命题的否定为，对；
C：若，假设，此时不成立，故充分性不成立，错；
D：集合，
把集合范围表示在数轴上，如图，

所以,D对.
故选：ABD.
10．（6分）设全集，集合，，若，，，则（ ）
A． B．
C．真子集的个数31 D．
【答案】ACD
【解题思路】根据题意，作出韦恩图，结合图形可得集合A、B，根据真子集的定义和并集的定义与运算即可判断CD.
【解答过程】由题意知，
作出韦恩图，如图，

由图可知，故A正确，B错误；
所以集合的真子集个数为个，故C正确；
，故，故D正确.
故选：ACD.
11．（6分）已知关于的一元二次不等式的解集为或，则（ ）
A．且 B．
C．不等式的解集为 D．不等式的解集为
【答案】AC
【解题思路】根据一元二次不等式解集与方程的根的对应关系可得，即A正确，B错误，再代入解不等式可判断C正确，D错误.
【解答过程】由题意可知，则，
对于A，所以且，故A正确，
对于B，， 故B错误；
对于C，不等式，故C正确；
对于D，不等式，又，
可得，所以或，故D错误.
故选：AC.
第II卷（非选择题）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．（5分）已知集合，且，则 ．
【答案】
【解题思路】由，可得或，然后分情况求出的值，再利用集合中的元素的互异性判断即可
【解答过程】由，可得或，
由，解得，经过验证，不满足条件，舍去.
由，解得或，经过验证：不满足条件，舍去.
∴.
故答案为：.
13．（5分）若不等式对一切实数都成立，则实数的取值范围为 .
【答案】
【解题思路】对讨论，结合判别式即可求解.
【解答过程】当时，则对一切实数都成立，符合题意，
当时，则，解得，
综上可得，
故答案为；.
14．（5分）如图，某规划组计划建设一个矩形花草园，在矩形的中心位置建造一个面积为的矩形花园，在矩形的四周铺设草坪，要求南北两侧的草坪宽，东西两侧的草坪宽，则矩形面积的最小值为 ．
【答案】
【解题思路】设，则，根据可求出的取值范围，求出，，利用基本不等式可求得矩形面积的最小值.
【解答过程】设，则，其中，
因为，则，可得，
由题意可得，，
所以，矩形的面积为，
当且仅当时，即当时，等号成立，
因此，矩形面积的最小值为.
故答案为：.
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。
15．（13分）用适当的方法表示下列集合，并判断它是有限集还是无限集.
(1)由大于且小于的偶数组成的集合；
(2)所有被除余的整数所构成的集合；
(3)平面直角坐标系中第四象限的全体点的坐标构成的集合；
【答案】(1)有限集；
(2)，无限集；
(3)，无限集.
【解题思路】由集合的表示方法以及相关概念，可得答案.
【解答过程】（1）有限集.
（2），无限集.
（3），无限集.
16．（15分）已知命题．命题．
(1)写出两个命题的否定；
(2)若两个命题都是真命题，求实数的取值范围．
【答案】(1)答案见解析
(2)
【解题思路】（1）结合含有量词的命题的否定即可求解；
（2）结合含有量词的命题的真假，列出不等式即可求解．
【解答过程】（1）因为，
所以非，
因为，
所以；
（2）因为，所以，
又，故，故，
命题．
即，又，故．
综上，当两个命题都是真命题时，的取值范围为．
17．（15分）已知正数满足.
(1)求的最小值；
(2)求的最小值；
(3)求的最小值.
【答案】(1)8
(2)
(3)18
【解题思路】（1）根据题意直接利用基本不等式即可得最值；
（2）由题意可得，利用乘“1”法结合基本不等式运算求解；
（3）由题意可得，化简整理结合基本不等式运算求解.
【解答过程】（1）因为，且，
则，即.
当且仅当，即时等号成立，
所以的最小值为8.
（2）因为，且，则，
可得，
当且仅当，即，即时等号成立，
所以的最小值为.
（3）因为，且，所以，
可得，
当且仅当，即时等号成立，
所以的最小值为18.
18．（17分）已知集合，集合．
(1)若，且，求实数a的取值范围；
(2)是否存在实数m，使“”是“”的必要不充分条件 若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)存在，
【解题思路】（1）由集合交集运算可得，根据集合的包含关系并讨论是否为空集，列不等式组求参数范围；
（2）由题意是真子集，列不等式组求参数m范围．
【解答过程】（1）对于，等价于或，解得或，
所以或，
且，可得，
若，则有：
①当时，，即 ，满足
②当时，，解得，
综上所述：a的范围是.
（2）由（1）得，
若“”是“”的必要不充分条件，可知是真子集，
因为，即集合，
可得，且等号不同时成立，解得．
故存在实数m满足条件，且 m的范围是：.
19．（17分）已知函数．
(1)若不等式的解集为，求的取值范围；
(2)解关于的不等式；
(3)若不等式对一切恒成立，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)答案见解析
(3)
【解题思路】（1）根据不等式解集为，结合二次函数性质分情况讨论，解不等式；
（2）分情况讨论二次方程解的情况及不等式解集情况；
（3）分离参数，可得，结合基本不等式可得参数范围.
【解答过程】（1）由已知的解集为，
当，即时，不等式为，解集为，不成立；
当时，，解得；
综上所述；
（2）不等式，即，
即，
当，即时，不等式为，解集为；
当时，不等式对应方程为，，
当时，，不等式解集为；
当时，不等式解集为；
当时，不等式的解集为；
（3）由已知不等式，对恒成立；
可转化为，在恒成立，
所以，
则，
设，当且仅当，即时等号成立，
所以，即.

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