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高一数学上学期第一次月考检测试卷
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
测试范围：必修第一册第一章、第二章；
第I卷（选择题）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。
1．（5分）设集合，，满足，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．（5分）若，则下列不等式中不成立的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（5分）已知命题，，则（ ）
A．为真命题，且的否定是“，”
B．为真命题，且的否定是“，”
C．为假命题，且的否定是“，”
D．为假命题，且的否定是“，”
4．（5分）已知集合，.若“”是“”的充分不必要条件，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．（5分）已知，且，若恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6．（5分）已知全集，，，，，，则下列选项不正确的为（ ）
A． B．的不同子集的个数为8
C． D．
7．（5分）已知关于x的不等式组仅有一个整数解，则k的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
8．（5分）定义运算：.若关于的不等式恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9．（6分）下列说法正确的是（ ）
A．“对任意一个无理数，也是无理数”是真命题
B．“”是“”的既不充分又不必要条件
C．命题“，”的否定是“，”
D．若“”的一个必要不充分条件是“”，则实数的取值范围是
10．（6分）已知不等式的解集为，且，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．
C．有最大值
D．不等式的解集为
11．（6分）已知，为正实数，且，则（ ）
A．的最小值为 B．的最小值为
C．的最大值为 D．的最小值为
第II卷（非选择题）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．（5分）已知非空集合，.若“”是“”的充分而不必要条件，实数a的取值范围是 .
13．（5分）设集合，，则满足且的集合有 个.
14．（5分）若对任意的恒成立，则实数的取值集合为 .
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。
15．（13分）写出下列命题的否定，并判断命题的否定的真假．
(1)，；
(2)有一个素数是偶数；
(3)任意两个三角形的底边长和底边对应的高的长度相等，那么这两个三角形相似．
16．（15分）已知集合.
(1)若，求实数的取值集合.
(2)若的子集有两个，求实数的取值集合.
(3)若且，求实数的取值集合.
17．（15分）已知，.
(1)若，证明：；
(2)若，求的最小值；
(3)若恒成立，求x的取值范围.
、
18．（17分）在①是的充分不必要条件；②；③这三个条件中任选一个，补充到本题第（2）问的横线处，求解下列问题．
问题：已知集合．
(1)当时，求；
(2)若选__________，求实数m的取值范围．
19．（17分）已知函数，．
(1)当时，解不等式；
(2)若对任意，都有成立，求实数的取值范围；
(3)若对，，使得不等式成立，求实数的取值范围．
答案解析
第I卷（选择题）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。
1．（5分）设集合，，满足，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解题思路】利用集合包含关系得不等关系，从而求解．
【解答过程】， ， ，
由题意如图：
，解得a
故选：C．
2．（5分）若，则下列不等式中不成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解题思路】对于每个选项，我们将根据已知条件，利用不等式的性质进行分析判断.
【解答过程】对于A选项，因为，那么.
不等式两边同时除以，得到，即，所以，A选项成立.
对于B选项，由可得，
因为，此时，B选项不成立.
对于C选项，因为，和都是负数，所以，.
又因为，两边同时乘以，得到，即，C选项成立.
对于D选项，因为，和都是负数，绝对值大的反而小.
由，可得，，所以，D选项成立.
故选：B.
3．（5分）已知命题，，则（ ）
A．为真命题，且的否定是“，”
B．为真命题，且的否定是“，”
C．为假命题，且的否定是“，”
D．为假命题，且的否定是“，”
【答案】A
【解题思路】举例可判断为真命题，进而根据存在量词命题的否定求解即可.
【解答过程】当时，，所以为真命题，
根据存在量词命题的否定，
命题的否定是“，”.
故选：A.
4．（5分）已知集合，.若“”是“”的充分不必要条件，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解题思路】分集合是否为空集讨论即可，当时，由集合间的包含关系求出；
【解答过程】由“”是“”的充分不必要条件，则是的真子集，
当时，，解得；
当时，，前两个等号不能同时取得，解得，
综上m的取值范围是，
故选：A.
5．（5分）已知，且，若恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解题思路】由已知条件得出，将代数式与相乘，展开后利用基本不等式求出的最小值，根据题意可得出关于的不等式，解之即可.
【解答过程】因为，，且，则，
则，
所以
，
当且仅当时，
即当，时，所以的最小值为，
因为恒成立，所以，解得，
所以实数的取值范围是.
故选：A.
6．（5分）已知全集，，，，，，则下列选项不正确的为（ ）
A． B．的不同子集的个数为8
C． D．
【答案】D
【解题思路】根据集合之间的关系作出图，逐项判断即可.
【解答过程】，
由，，，，，
作出图，如图所示，

由图可知，，，故A，正确；
集合的子集个数为个，故B正确；
因为，所以，错误.
故选：D.
7．（5分）已知关于x的不等式组仅有一个整数解，则k的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解题思路】先解不等式可得或，再解不等式，进而分三种情况讨论，结合交集的定义求解即可.
【解答过程】由，即，解得或，
由，即，
当时，不等式为，无解；
当时，不等式解集为，
结合题意，此时原不等式组的解集为，且仅有一个整数解，
所以，即，
当时，不等式解集为，
结合题意，要使不等式组仅有一个整数解，
则，即，
综上所述，k的取值范围为，
故选：D.
8．（5分）定义运算：.若关于的不等式恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解题思路】由定义运算将所求不等式化简，再结合一元二次含参不等式恒成立问题求解即可；
【解答过程】由题意可变形为
，
即，
化简可得恒成立，
所以恒成立，
化简可得，
解得，
所以实数的取值范围为，
故选：B.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9．（6分）下列说法正确的是（ ）
A．“对任意一个无理数，也是无理数”是真命题
B．“”是“”的既不充分又不必要条件
C．命题“，”的否定是“，”
D．若“”的一个必要不充分条件是“”，则实数的取值范围是
【答案】BCD
【解题思路】根据命题的真假，充分必要条件，命题的否定的定义判断各选项．
【解答过程】是无理数，是有理数，A错；
时，，但；
反之，时，，但；
则“”是“”的既不充分又不必要条件，B正确；
命题的否定是：，C正确；
“”的必要不充分条件是“”，则，
两个等号不同时取得．解得．D正确．
故选：BCD.
10．（6分）已知不等式的解集为，且，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．
C．有最大值
D．不等式的解集为
【答案】ACD
【解题思路】由一元二次不等式的解法判断A；由题意可知方程的一个根为，将代入，再结合，可得，从而判断B；将代入，可得，从而得，利用基本不等式判断C；将、代入，求解后即可判断D.
【解答过程】解：因为不等式的解集为，
所以，故A正确；
由题意可知方程的一个根为，
所以，
又因为，
所以，即，故B错误；
因为，，
所以，
所以，
当且仅当，即时，等号成立，故C正确；
因为，，
所以，
即为，，
即，
解得：或，
所以原不等式的解集为：，故D正确.
故选：ACD.
11．（6分）已知，为正实数，且，则（ ）
A．的最小值为 B．的最小值为
C．的最大值为 D．的最小值为
【答案】ACD
【解题思路】A，利用变形，利用基本不等式求解即可；B，由可得，利用基本不等式求解即可；C，利用，解一元二次不等式即可；D，原式变形为，利用基本不等式求解即可.
【解答过程】由得，
所以
，
当且仅当，即时取等号，
此时取得最小值，对
,
，
当且仅当时取等号，此时取得最小值，B错
因为，当且仅当时取等号，
解不等式得，故的最大值为，C对
，
当且仅当即时取等号，
此时取得最小值，D正确
故选：ACD.
第II卷（非选择题）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．（5分）已知非空集合，.若“”是“”的充分而不必要条件，实数a的取值范围是 .
【答案】
【解题思路】利用充分不必要条件的定义，分类讨论集合可求实数的取值范围.
【解答过程】因为“”是“”充分不必要条件，所以是的真子集，
又，，
所以，所以；
当时，是的真子集；
当时，也满足是的真子集，
综上所述：.
故答案为：.
13．（5分）设集合，，则满足且的集合有 个.
【答案】12
【解题思路】由集合的包含关系及交集运算即可求解.
【解答过程】因为且，，．
中一定含有4或5或4、5．当
中含有一个元素时，或，共2个；
当中含有两个元素时，，，，，，共5个；
当中含有三个元素时，，，，，共4个；
当中含有四个元素时，，共1个．
所以满足条件的集合有个．
故答案为：12.
14．（5分）若对任意的恒成立，则实数的取值集合为 .
【答案】
【解题思路】当时，借助函数的性质分析即可；当时，由于，故必定是方程的一个正根，代入即可求.
【解答过程】因为，故原式可等价于恒成立，
由题意当时，因为，则，
由于的图象开口向上，则不恒成立，
当时，由可解得，
由于，
故方程有两个不相等的实数根且异号，
所以必定是方程的一个正根，
则，
，则可解得，
故答案为：.
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。
15．（13分）写出下列命题的否定，并判断命题的否定的真假．
(1)，；
(2)有一个素数是偶数；
(3)任意两个三角形的底边长和底边对应的高的长度相等，那么这两个三角形相似．
【答案】(1)“，”，假命题
(2)“所有的素数都不是偶数”， 假命题
(3)“存在两个三角形的底边长和底边对应的高的长度相等，它们不相似”，真命题
【解题思路】（1）（2）（3）根据全称命题、特称命题的否定写出相应命题的否定，进而判断真假性.
【解答过程】（1）命题的否定为“，”，
因为，可得命题的否定是假命题．
（2）命题的否定为“所有的素数都不是偶数”，
由2是素数也是偶数，可得命题的否定是假命题．
（3）命题的否定为“存在两个三角形的底边长和底边对应的高的长度相等，它们不相似”，
若这两个三角形底边对应的高的垂足不在同一个位置，
那么这两个三角形不相似，可得命题的否定是真命题．
16．（15分）已知集合.
(1)若，求实数的取值集合.
(2)若的子集有两个，求实数的取值集合.
(3)若且，求实数的取值集合.
【答案】(1)
(2)
(3)
【解题思路】（1）根据，可得，再分和两种情况讨论即可；
（2）由题意可得集合中只有一个元素，再分和两种情况讨论即可；
（3）先根据求出，进而求出集合，再分和两种情况讨论即可.
【解答过程】（1）因为，所以，
当时，则，与题意矛盾，
当时，则，解得，
综上所述，实数的取值集合为；
（2）因为的子集有两个，所以集合中只有一个元素，
当时，则，符合题意，
当时，则，解得，
综上所述，实数的取值集合为；
（3）因为，
所以，解得，
所以，
当时，，
当时，，
因为，所以或，解得或，
综上所述，实数的取值集合为.
17．（15分）已知，.
(1)若，证明：；
(2)若，求的最小值；
(3)若恒成立，求x的取值范围.
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)
【解题思路】（1）利用基本不等式即可证明；
（2）根据给定条件，利用基本不等式及“1”的妙用求出最值即可；
（3）不等式可化为恒成立，求出最小值，再借助恒成立求解即得.
【解答过程】（1）因为，，所以，
则，故，
当且仅当，即，时取等号.
（2）因为，所以，则，
则
，
当且仅当，即时取得等号，
故的最小值为.
（3）因为，，所以，
则可化为恒成立，
又，当且仅当时取得等号，
所以，
则，
故的取值范围为.
18．（17分）在①是的充分不必要条件；②；③这三个条件中任选一个，补充到本题第（2）问的横线处，求解下列问题．
问题：已知集合．
(1)当时，求；
(2)若选__________，求实数m的取值范围．
【答案】(1)
(2)答案不唯一，具体见解析
【解题思路】（1）根据集合的交集运算可得答案；
（2）选择①：由已知得 ，建立不等式求解即可；
选择②：由已知得．建立不等式求解即可；
选择③：由，建立不等式求解即可；
【解答过程】（1）解：当时，集合，，
所以；
（2）解：选择①：因为“” 是“”的充分不必要条件，所以 ，
因为，所以．
又因为，所以（等号不同时成立），所以， 所以
解得，
因此实数m的取值范围是．
选择②：因为，所以．因为，
所以．又因为，所以，解得，
因此实数m的取值范围是．
选择③：因为，而，且不为空集，
，所以或，解得或，
所以实数m的取值范围是或．
19．（17分）已知函数，．
(1)当时，解不等式；
(2)若对任意，都有成立，求实数的取值范围；
(3)若对，，使得不等式成立，求实数的取值范围．
【答案】(1)或；
(2)；
(3).
【解题思路】（1）利用十字相乘的方法解二次不等式即可；
（2）利用参变分离的方法解恒成立问题，其中最值可由均值不等式求得；
（3）将问题转化为，分类讨论求出，再解范围即可.
【解答过程】（1）当时，即，
所以，所以，所以或，
所以不等式的解集为或.
（2）“对任意，都有恒成立”等价于“对任意，都有恒成立”，
因为时，（当且仅当时等号成立），
所以即，
所以实数的取值范围是.
（3）因为对，，使得不等式成立，
所以不等式，
因为，
所以在单调递增，
所以.
因为，
所以当，即时，在单调递增，
所以，
则成立，故；
当，即时，，
由得，所以；
当，即时，，
由得，所以.
综上所述，实数的取值范围是.

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