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四川省广元中学2026届高三上学期入学考试数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设集合，则，则等于( )
A. B. C. D.
2.复数的虚部为( )
A. B. C. D.
3.函数的图象大致为( )
A. B.
C. D.
4.已知为单位向量，且，则向量与的夹角为( )
A. B. C. D.
5.双曲线的一条渐近线的倾斜角为，则的离心率为
A. B. C. D.
6.用数字，，，，组成的无重复数字的四位偶数的个数为( )
A. B. C. D.
7.已知等差数列的公差，记该数列的前项和为，则的最大值为( )
A. B. C. D.
8.已知定义在上的连续函数的导函数为，则下列说法错误的是( )
A. 若关于中心对称，则关于对称
B. 若关于对称，则有对称中心
C. 若为周期函数，则为周期函数
D. 若为奇函数，为偶函数，则周期为
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知函数在处取得最小值，与此最小值点最近的图象的一个对称中心为，则下列结论正确的是( )
A.
B. 将的图象向左平移个单位长度即可得到的图象
C. 在区间上单调递减
D. 在区间上的值域为
10.如图，正四面体的棱长为，，分别是棱，上的点，且，，则( )
A. 不存在，使得平面 B. 直线与直线异面
C. 不存在，使得平面平面 D. 三棱锥体积的最大值为
11.已知抛物线和椭圆有相同的焦点，且交于，两点，的准线与交于，两点，则( )
A. 存在，使为等边三角形
B. 存在，使四边形为正方形
C. 任意，点总在圆外
D. 任意，椭圆上任一点总在圆外
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知向量在向量上的投影向量是，且，则 ．
13.某圆台的上、下底面半径和高的比为，若母线长为，则该圆台的侧面积为 ．
14.函数，若在恒成立，则的取值范围是 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知数列满足，，
求；
当为奇数时，求数列的前项和
16.本小题分
如图，，，且，是中点，沿将折起到的位置如图，使得．
求证：面面；
若线段上存在一点，使得平面与平面夹角的余弦值是，求的值．
17.本小题分
已知双曲线与双曲线：有共同的渐近线．
若经过抛物线的顶点，求双曲线的方程；
若双曲线的两个焦点分别为，，点为上的一点，且，求双曲线的方程．
18.本小题分
如果曲线存在相互垂直的两条切线，称函数是“正交函数”已知，设曲线在点处的切线为．
当，时，是否存在直线满足，且与曲线相切？请说明理由；
如果函数是“正交函数”，求满足要求的实数的集合；
若对任意，曲线都不存在与垂直的切线，求的取值范围．
19.本小题分
从五个网络节点中随机选择三个进行数据传输测试．
若三个核心节点中被选中的数量为随机变量，求的分布列；
若现只有三个节点进行数据传输测试每次传输规则如下：
数据在节点时：掷骰子，若点数大于，则传输至节点；否则保留在节点；
数据在节点时：掷骰子，若点数大于，则传回节点；否则传输至节点；
数据在节点时：掷骰子，若点数大于，则传回节点；否则传回节点．
初始时数据在节点，设经过次骰子投掷即次传输后，数据在节点的概率为，
求
求
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.因为，所以数列构成首项为，公差为的等差数列，
所以．
由，所以数列构成首项为，公差为的等差数列，得到，
设，
则，
又，所以为奇数时，

16.因为，，，平面，
所以平面，
又平面，
所以平面平面．
面面，面面，
故以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，在平面内过点作的垂线所在直线为轴，建立空间直角坐标系．
，
，，，
则平面的一个法向量，
设，则，
，
设面的一个法向量为，
，即
令，得，
平面与平面夹角记为，
则，解得．
所以．

17.依题意可设的方程为．
抛物线，顶点为，
将代入的方程，得，则的方程为．
由题意易知，．
当焦点在轴上时，，可设双曲线的方程为，则，，
则双曲线的方程为．
当焦点在轴上时，，可设双曲线的方程为，则，，
则双曲线的方程为．
综上所述，双曲线的方程为或．

18.当时，，则，即的斜率，
假设存在，则的斜率，
则有解，即在上有解，
该方程化简为，解得或，符合要求，
因此该函数存在另外一条与垂直的切线．
，
令，则，
当时，单调递减；当时，单调递增；
设曲线的另一条切线的斜率为，
当时，，显然不存在，即不存在两条相互垂直的切线；
当时，，且，
，，且，，
在、上各有一个零点，
故当，或时，都有；
当时，
故必存在，即曲线存在相互垂直的两条切线，
所以，
所以．
因为，由知，曲线存在相互垂直的两条切线，
不妨设，，满足，即，
又，，
所以，
故，
当且仅当时等号成立，所以，
解得，
又，即，
解得，
因为，，
所以．
综上可知，对任意满足的所有函数不存在与垂直的切线的的取值范围是．

19.的可能取值为，，
，，
所以得分布列为：
由题意，当投掷次骰子后，点数大于的概率为，若点数大于的概率为，
数据在中，共有种情况：
，其概率为；
，概率为；
，概率为；
，概率为；
所以投掷次后，数据在中的概率为．
设投掷次后，数据在中的概率为，
所以当时，，
，
所以，，
所以数列是以为首项，为公比的等比数列，
所以，，
所以，所以．

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