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江苏省南京市临江高级中学2026届高三上学期一模考前模拟
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知复数满足，则的虚部为( )
A. B. C. D.
2.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
3.已知平面向量，若，则( )
A. B. C. D.
4.已知数列是等比数列，若，，则( )
A. B. C. D.
5.用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，截得的圆台上底面半径为，下底面半径为，且该圆台侧面积为，则原圆锥的母线长为( )
A. B. C. D.
6.已知双曲线：的焦距为，焦点到渐近线的距离为，则该双曲线的渐近线方程为( )
A. B. C. D.
7.已知圆关于直线对称，则的最小值是( )
A. B. C. D.
8.若，，且都为锐角，则( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法正确的是( )
A. 若幂函数的图象过点，则
B. 若函数的定义域为，则函数的定义域为
C. 若函数在上只有一个零点，则实数的范围为
D. 函数的单调增区间为
10.已知函数，则( )
A. 在定义域内是增函数
B. 的最小正周期为
C. 直线是图象的一条对称轴
D. 是图象的一个对称中心
11.某校开展“强国有我，筑梦前行”主题演讲比赛，共有位男生，位女生进入决赛．现通过抽签决定出场顺序，记事件表示“第一位出场的是女生”，事件表示“第二位出场的是女生”，则( )
A. B. C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知实数满足，则 ．
13.已知数列满足，若，则 ．
14.椭圆的左、右焦点分别为，是椭圆上一点，直线的斜率为，，则椭圆的离心率为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
在中，角的对边分别为，且．
求角；
若为边上一点，且，求的值．
16.本小题分
已知函数．
若曲线在点处的切线与轴平行，求实数的值；
若，求的单调区间．
17.本小题分
随着科技的发展，技术已经深度介入普通人的生活，正在改变着人们的生活和工作．为了调查技术在普通人中的使用情况，一调查机构对此进行了调查，并从参与调查的市民中分别抽取男，女各人进行统计分析，整理得到如下列联表：
性别 经常借助技术 不经常借助技术 合计
男
女
合计
完成上述列联表，并根据小概率值的独立性检验，分析是否经常借助技术与性别有关联；
采用按比例分配的分层随机抽样的方法，从表中不经常借助技术的人中抽取人，再从这人中随机抽取人，记人中男性人数为随机变量，求的分布列和数学期望．
参考公式：，．
18.本小题分
如图，在四棱锥中，平面．
证明：是直角三角形．
若，求平面与平面夹角的余弦值．
19.本小题分
已知椭圆的离心率为，右焦点为，是上一点．
求的方程；
过的直线交于两点，求为坐标原点的面积的最大值．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.【详解】依题意，，由正弦定理可得，
因为，所以，所以，
法一：即，
因为，所以，
所以，所以：，
所以，即．
法二：即，
所以，即，
因为，所以，
所以，即．
因为，又因为，
所以为等边三角形，
则，
由余弦定理得，
所以，解得或舍去，故．

16.【详解】由题意知，则，
又因为曲线在点处的切线与轴平行，
故，解得．
时，，定义域为，
，令可得，
当时，，当时，，
所以的单调增区间为，单调减区间为．

17.【详解】列联表为：
性别 经常借助技术 不经常借助技术 合计
男
女
合计
零假设为：是否经常借助技术与性别无关联．
根据表中数据，得：
，
根据小概率值的独立性检验，可以推断不成立，即是否经常借助技术与性别有关联，这种推断犯错误的概率不超过．
采用按比例分配的分层随机抽样，
男性抽取人数为，女性抽取人数为，
所以随机变量的可能取值为，
，
，
，
，
所以的分布列为：
所以．

18.【详解】在四棱锥中，取的中点，连接，
由，得四边形是边长为的正方形，
则，又，于是，
由平面平面，得，
又平面，因此平面，
又平面，所以，即是直角三角形．
以为坐标原点，直线分别为，，轴建立空间直角坐标系，
则，．
设平面的法向量为，则，取，得，
显然是平面的一个法向量，设平面与平面的夹角为，
则，
所以平面与平面夹角的余弦值为．


19.【详解】因为是上一点，代入椭圆方程解得，
又，解得，
所以椭圆的方程为．
由得半焦距，点，显然的斜率不为零，
设直线的方程为，，
由消去，得，显然，
则，，
所以，
则的面积，
令，函数在上单调递增，当时，取得最小值，
则当时，取得最小值，，
所以的面积的最大值为．


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