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山东省潍坊市寿光第一中学2026届高三上学期直升班拉练9月月考
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.的虚部为( )
A. B. C. D.
2.设集合，则的真子集的个数是( )
A. B. C. D.
3.已知幂函数的图象经过点，则函数的图象大致为( )
A. B.
C. D.
4.已知事件满足，，则( )
A. 若，则 B. 若与互斥，则
C. 若与相互独立，则 D. 若，则与不相互独立
5.已知圆柱和圆锥的底面半径相等，侧面积相等，且它们的高均为，则圆锥的体积为( )
A. B. C. D.
6.已知是定义在上且周期为的偶函数，当时，，则( )
A. B. C. D.
7.若命题：“，”使命题为假命题的一个必要不充分条件是( )
A. B. C. D.
8.已知函数在上单调递增，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列选项正确的是( )
A. 若随机变量，且，则
B. 一组数据，，，，，，，，，的第百分位数为
C. 若样本数据，，，的方差为，则数据，，，的方差为
D. 已知回归直线方程为，若样本中心为，则样本点处残差为
10.已知数列满足，则下列结论正确的是( )
A. 为等比数列 B.
C. 的前项和 D. 的前项和
11.已知函数的定义域为，，则 ．
A. B.
C. 是偶函数 D. 为的极小值点
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知平面向量若，则
13.若直线是曲线的一条切线，则 ．
14.设双曲线的左右焦点分别为，过作平行于轴的直线交于，两点，若，则的离心率为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知分别为三个内角的对边，且．
求；
若，且的面积为，求的周长．
16.本小题分
已知数列的前项和，．
求数列的通项公式；
设，求数列的前项和．
17.本小题分
一家调查机构在某地随机抽查名成年居民对新能源车与燃油车的购买倾向，得到如下表格：
倾向于购买燃油车 倾向于购买新能源车 合计
女性居民
男性居民
合计
能否在犯错误不超过的前提下认为对新能源车与燃油车的购买倾向存在性别差异？
从倾向于购买燃油车的居民中按性别采用分层随机抽样的方法抽取人，再从中抽取人进行座谈，求在有女性居民参加座谈的条件下，恰有名男性居民也参加座谈的概率．
从所有参加调查的男性居民中按购买这两种车的倾向性，采用分层随机抽样的方法抽出人，再从中随机抽取人进行座谈，记这人中倾向于购买新能源车的居民人数为，求的分布列与数学期望．
参考公式：，
18.本小题分
已知．
讨论的单调性；
若任意的，求的取值范围．
19.本小题分
如图，在四棱锥中，四边形是直角梯形，，且，，，为中点．
证明：平面；
证明：平面；
在线段上是否存在点，使得平面与平面夹角的余弦值为若存在，求出点的位置；若不存在，请说明理由．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.因为，由正弦定理得，
因为，可得，所以，
若，则，不合题意，故，所以，
又因为，所以．
因为的面积为，可得，可得，
又因为，所以，由余弦定理，
可得，所以，
所以的周长为．

16.因为数列的前项和，，所以；
当时，，
又适合上式，所以；
，
所以数列的前项和，
当为偶数时，，
当为奇数时，
．
综上，．

17.因为，
所以在犯错误不超过的前提下认为对新能源车与燃油车的购买倾向存在性别差异．
由表格可得倾向于购买燃油车的居民中男、女性别比为：，
所以抽取男性人，女性人，再从中抽取人进行座谈，有女性居民记为事件，则，恰有名男性居民记为事件，则，
所以在有女性居民参加座谈的条件下，恰有名男性居民也参加座谈的概率为．
在所有参加调查的男性居民中按购买这两种车的倾向性，采用分层随机抽样的方法抽
人，抽样比为：，可得抽取结果如下表：
倾向于购买燃油车 倾向于购买新能源车
男性居民
再从中随机抽取人进行座谈，记这人中倾向于购买新能源车的居民人数为，
可取，，，，可求出，，
，，
的分布列如下：
数学期望．

18.的定义域为．
若，则．
若，当时，；当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增；
若，当或时，；当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增；
若，当且仅当时取等号，此时在上单调递增；
若，当或时，；当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增．
综上所述，当时，在上单调递减，在上单调递增；
当时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增；
当时，在上单调递增；
当时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增．
不妨设，则
．
设，则，
所以在上单调递增，所以对恒成立，
所以对恒成立，
又，所以当时，取最大值，
所以，解得，即的取值范围为．

19.证明：取中点记为，连接，，
则，且；
，且；
所以平行且等于，
所以四边形为平行四边形，所以．
又因为平面，平面，
所以平面．
记中点为，连接，，
则四边形为正方形，
且根据勾股定理得，
所以，
则，所以．
又因为，，平面，所以平面．
因为平面，所以．
又因为，
所以，且，平面，
所以平面．
由知，平面，且．
以为坐标原点，以，，分别为，，轴建立空间直角坐标系，
，，，，，
设，，则，
则，，，
设平面与平面的法向量分别为和
则
令，得．
令，得．
设平面与平面的夹角为，，
则，解得．
因此存在点为的中点，使得平面与平面夹角的余弦值为．

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