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2025-2026学年山东省菏泽一中高三（上）开学数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，集合，则( )
A. B. C. D.
2.设复数满足，则在复平面上表示的图形是( )
A. 直线 B. 直线 C. 圆 D. 抛物线
3.记为数列的前项和下列说法正确的是( )
A. 数列成等差数列的充要条件是对于任意的正整数，都有
B. 数列成等比数列的充分不必要条件是对于任意的正整数，都有
C. 已知数列的前项和，则数列是等差数列的充分不必要条件是实数
D. 已知数列的前项和，则数列是等比数列的充要条件是
4.满足条件，且的一组，，为( )
A. ，， B. ，，
C. ，， D. ，，
5.函数的最小正周期为( )
A. B. C. D.
6.甲、乙轮流抛一枚均匀硬币，先抛出正面者获胜若甲先抛，则甲获胜的概率为( )
A. B. C. D.
7.函数的零点个数为( )
A. B. C. D.
8.设正四棱锥的底面是边长为的正方形，高为，若该四棱锥的外接球与内切球的球心重合，则外接球半径与内切球半径之比为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知向量，，若，则可能为( )
A. B. C. D.
10.设随机变量，且，则( )
A. B.
C. 的方差为 D. 若增大，则增大
11.已知集合，现随机选取集合中个元素组成子集简称元子集，记该子集中的最小数为( )
A. 的最小取值为，最大取值为
B. 集合中以为最小数的元子集共有个
C. 取到“集合中以为最小数的元子集”的概率为
D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知函数，若，则 ______．
13.展开式中的系数为______．
14.平面上的整点横纵坐标都是整数的点到直线的距离的最小值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
在中，已知角，边，且．
证明：；
若点在上，且为角平分线，求的长度．
16.本小题分
在四棱锥中，底面为边长为的菱形，，底面，且，点为中点，点为上靠近点的一个三等分点，点在线段上的动点．
若平面，求出点的位置；
求直线与平面所成角的正弦值的最大值．
17.本小题分
某游戏有三个骰子，其面数如下：骰子：四个面，分别标有数字，，，；骰子：四个面，分别标有数字，，，；骰子：六个面，分别标有数字，，，，，；玩家按骰子面数比例随机选择一个骰子即选择概率等于其面数占总面数的比例，然后掷该骰子两次，记录两次结果的最大值请解答以下问题：
若玩家选择骰子，求两次投掷的最大值为的概率；
求两次投掷的最大值为的概率；
设奖金为最大值的平方单位：元，若玩家获得的奖金超过元，求玩家选择骰子的概率．
18.本小题分
已知函数，其中为常数．
当时，求曲线在点处的切线方程；
讨论函数的单调性；
若函数在区间内存在两个不同的极值点，求的取值范围．
19.本小题分
已知椭圆和双曲线有共同的焦点，设椭圆和双曲线的离心率分别为和．
求证：；
设点为椭圆与双曲线在第一象限的交点，且，求的最小值，并求此时与的值；
在的条件下，设点为椭圆上任意一点，过点作双曲线的两条渐近线的垂线点不在两条渐近线上，垂足分别为和，试问面积是否有最大值，如果有最大值，求出此时的值，如果没有最大值，请说明理由．
参考答案
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14.
15.证明：由余弦定理可知，，即，
又，
所以，
解得；
解：由，
及，
可以解得，再与联立，
解得：，或，，
利用三角形的面积相等公式，
即，
解得．
16.假设为上靠近的三等分点，
、分别为、的三等分点，
，
，
，
又平面，平面，
平面，
所以为上靠近的三等分点．
在平面内，过点作垂线，
底面，，
，，，平面，
平面，
以为原点，，，所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，
则，，，，
，
设，，
，，
，
且，，
设平面的一个法向量，
则，则，
取，
设直线与平面所成角为，
则，
当时，，．
即直线与平面所成角的正弦值的最大值为．
17.骰子的面为，，，，每个面出现的概率为，两次投掷共有种可能的结果组合，
最大值是的情况包括至少有一次掷出，两次都不出现的概率为，
因此至少有一次出现的概率为；
玩家选择骰子的概率为、骰子的概率为，骰子的概率为，
骰子最大值为的概率为，
骰子最大值为的概率：两次投掷共有个结果，两次投掷的最大值为的情况是两次结果都不超过且至少有一次为，
共有种情况，，，故概率为，
骰子最大值为的概率：没有数字，因此概率为，
总概率为：；
奖金超过元意味着最大值超过，
骰子最大值超过的概率：不可能超过，概率为，
骰子最大值超过的概率：至少有一次掷出或共有种，故概率为，
骰子最大值超过的概率：共有个结果，至少有一次掷出超过，共有，故概率为，
设最大值超过为事件，选择骰子为事件，
计算全概率：，
则．
18.当时，，，
，此时，
因此曲线在点处的切线方程为．
函数的定义域为，，
当，即时，，令，解得，
令得，令得，
此时函数在上单调递增，在上单调递减；
当时，中，，
当，即时，
方程在上有两个不等正根，
分别为，，
，故，
令得，令得，
此时函数在和上单调递增，
在上单调递减．
当，即时，
方程在上仅有一个正根，
令得，令得，
此时函数在上单调递增，在上单调递减．
综上，当时，函数在上单调递增，在上单调递减；
当时，函数在和上单调递增，
在上单调递减；
当时，函数在上单调递增，
在上单调递减；
由可知，若函数在区间内存在两个不同的极值点，则，
函数的对称轴为，且，
故，且，解得．
19.证明：因为椭圆与双曲线有公共的焦点，
所以，
整理得，
则；
设椭圆和双曲线在第一象限的交点为，
此时，
解得，
由余弦定理得，
因为椭圆和双曲线的离心率分别为和，
即，
所以，
当且仅当，即，时，等号成立，
则椭圆离心率，双曲线的离心率．
设，渐近线斜率分别为和，
设点在渐近线上，倾斜角为，
此时，
同理得，
在四边形中，，
所以，
，
因为，
所以，
此时面积最大值．
则．
故面积有最大值，．
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