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2025-2026学年四川省广元中学高三（上）入学数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设集合，则，则等于( )
A. B. C. D.
2.复数的虚部为( )
A. B. C. D.
3.函数的图象大致为( )
A. B.
C. D.
4.已知，为单位向量，且丄，则向量与的夹角为( )
A. B. C. D.
5.双曲线：的一条渐近线的倾斜角为，则双曲线的离心率为( )
A. B. C. D.
6.用数字，，，，组成的无重复数字的四位偶数的个数为( )
A. B. C. D.
7.已知等差数列的公差，，，记该数列的前项和为，则的最大值为( )
A. B. C. D.
8.已知定义在上的连续函数的导函数为，则下列说法错误的是( )
A. 若关于中心对称，则关于对称
B. 若关于对称，则有对称中心
C. 若为周期函数，则为周期函数
D. 若为奇函数，为偶函数，则周期为
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知函数在处取得最小值，与此最小值点最近的图象的一个对称中心为，则下列结论正确的是( )
A.
B. 将的图象向左平移个单位长度即可得到的图象
C. 在区间上单调递减
D. 在区间上的值域为
10.如图，正四面体的棱长为，，分别是棱，上的点，且，，则( )
A. 不存在，使得平面
B. 直线与直线异面
C. 不存在，使得平面平面
D. 三棱锥体积的最大值为
11.已知抛物线：和椭圆：有相同的焦点，且交于，两点，的准线与交于，两点，则( )
A. 存在，使为等边三角形
B. 存在，使四边形为正方形
C. 任意，点总在圆：外
D. 任意，椭圆上任一点总在圆：外
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知向量在向量上的投影向量是，且，则 ______．
13.某圆台的上、下底面半径和高的比为：：，若母线长为，则该圆台的侧面积为______．
14.函数，若在恒成立，则的取值范围是______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知数列满足，，．
求；
当为奇数时，求数列的前项和．
16.本小题分
如图，，，且，是中点，沿将折起到的位置如图，使得．
求证：面面；
若线段上存在一点，使得平面与平面夹角的余弦值是，求的值．
17.本小题分
已知双曲线与双曲线：有共同的渐近线．
若经过抛物线的顶点，求双曲线的方程；
若双曲线的两个焦点分别为，，点为上的一点，且，求双曲线的方程．
18.本小题分
如果曲线存在相互垂直的两条切线，称函数是“正交函数”已知，设曲线在点处的切线为．
当，时，是否存在直线满足，且与曲线相切？请说明理由；
如果函数是“正交函数”，求满足要求的实数的集合；
若对任意，曲线都不存在与垂直的切线，求的取值范围．
19.本小题分
从，，，，五个网络节点中随机选择三个进行数据传输测试．
若，，三个核心节点中被选中的数量为随机变量，求的分布列；
若现只有、、三个节点进行数据传输测试每次传输规则如下：
数据在节点时：掷骰子，若点数大于，则传输至节点；否则保留在节点；
数据在节点时：掷骰子，若点数大于，则传回节点；否则传输至节点；
数据在节点时：掷骰子，若点数大于，则传回节点；否则传回节点．
初始时数据在节点，设经过次骰子投掷即次传输后，数据在节点的概率为．
求；
求．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：因为，所以数列，，，构成首项为，公差为的等差数列，
所以；
由，所以数列，，，构成首项为，公差为的等差数列，得到，
设，
则，
又，所以为奇数时，．
16.证明：因为，，，
所以平面，又面，
从而面面．
解：面面，面面，
过点作，则底面，
所以以为坐标原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴，
建立空间直角坐标系，
则，，，，
则，，，
设，则，
，
设面的一个法向量为，
由，
令，可得，，
可得，
不妨取平面的一个法向量为，
设平面与平面的夹角为，
则由题意有，
整理得，解得，
即平面与平面夹角的余弦值为时，．
17.解：双曲线与双曲线：有共同的渐近线，
不妨设双曲线的方程为，
抛物线的顶点坐标为，
，
解得，
双曲线的方程为，即为；
双曲线与双曲线：有共同的渐近线，
双曲线的渐近线方程为，
，
，
即，
或
解得或，
则双曲线的方程为或．
18.当时，，
则，
即的斜率，
假设存在，则的斜率，
则有解，
即在上有解，
该方程化简为，
解得或，符合要求，
因此该函数存在另外一条与垂直的切线；
，
令，则，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增；
设曲线的另一条切线的斜率为，
当时，，
显然不存在，
即不存在两条相互垂直的切线；
当时，，
且，
所以，，
且，，
所以在，上各有一个零点，，
故当，或时，都有；
当时，，
故必存在，
即曲线存在相互垂直的两条切线，
所以，
所以；
因为，
由知，曲线存在相互垂直的两条切线，
不妨设，，满足，
即，
又，，
所以，
故，
当且仅当时等号成立，所以，
解得，
又，即，
解得，
因为，，
所以
综上可知，对任意满足的所有函数不存在与垂直的切线的的取值范围是
19.解：的可能取值为，，，
，
所以得分布列为：


由题意，当投掷次骰子后，点数大于的概率为，若点数大于的概率为，数据在中，共有种情况：
，其概率为，
，概率为，
，概率为，
，概率为，
所以投掷次后，数据在中的概率为；
设投掷次后，数据仍在中的概率为，
所以当时，，
，
所以，
所以数列是以为首项，为公比的等比数列，
所以，
所以，所以．
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