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2025-2026学年安徽省六安市独山中学高三（上）第一次月考数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知，则( )
A. B. C. D.
2.已知平面单位向量满足，则( )
A. B. C. D.
3.已知数列中，，，且，则通项公式( )
A. B. C. D.
4.抛物线的焦点到顶点的距离为( )
A. B. C. D.
5.已知，，，则( )
A. B. C. D.
6.已知定义在上的函数满足为奇函数，为偶函数若，则( )
A. B. C. D.
7.五一劳动节前夕，名同学各自在周六、周且两天中等可能地任选一天参加公益活动，且周六、周日都有同学参加公益活动，则周六恰有位同学参加公益活动的概率为( )
A. B. C. D.
8.已知函数，若的零点个数为，则实数取值范围为( )
A. B.
C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知由个数据组成的一组数据的平均数为，方差为，现再加人一个数据，组成一组新数据，则( )
A. 这组新数据的平均数为 B. 这组新数据的平均数为
C. 这组新数据的方差为 D. 这组新数据的方差为
10.已知空间中不同的直线，和不同的平面，，，且点，则下列命题中不正确的是( )
A. 如果，则 B. 如果，则
C. 如果，则 D. 如果，则
11.已知函数的部分图象如图所示，下列说法正确的是( )
A. 函数的最小正周期为
B. 函数在单调递减
C. 函数的图象关于直线对称
D. 该图象向右平移个单位可得的图象
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.函数的最小正周期为______．
13.已知函数则 ______．
14.若双曲线的一条渐近线被圆所截得的弦长为，则的离心率为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
在中，内角，，所对的边分别，，其中，且．
求的值；
求的值．
16.本小题分
在等比数列中，，且成等差数列．
Ⅰ求数列的通项公式；
Ⅱ设，求数列的前项和．
17.本小题分
已知函数．
求函数的极值；
若对任意，都有成立，求实数的取值范围．
18.本小题分
已知双曲线分别是的左、右焦点若的离心率，且点在上．
求的方程；
若过点的直线与的左、右两支分别交于，两点，与抛物线交于，两点，试问是否存在常数，使得为定值？若存在，求出常数的值；若不存在，请说明理由．
19.本小题分
某企业拥有甲、乙两条零件生产线，为了解零件质量情况，采用随机抽样方法从两条生产线共抽取个零件，测量其尺寸单位：得到如下统计表，其中尺寸位于的零件为一等品，位于和的零件为二等品，否则零件为三等品．
生产线
甲
乙
将样本频率视为概率，从甲、乙两条生产线中分别随机抽取个零件，每次抽取零件互不影响，以表示这个零件中一等品的数量，求的分布列和数学期望；
已知该企业生产的零件随机装箱出售，每箱个产品出厂前，该企业可自愿选择是否对每箱零件进行检验若执行检验，则每个零件的检验费用为元，并将检验出的三等品更换为一等品或二等品；若不执行检验，则对卖出的每个三等品零件支付元赔偿费用现对一箱零件随机检验了个，检出了个三等品将从两条生产线抽取的所有样本数据的频率视为概率，以整箱检验费用与赔偿费用之和的期望作为决策依据，是否需要对该箱余下的所有零件进行检验？请说明理由．
参考答案
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10.
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13.
14.
15.因为，所以由正弦定理可得，
又，，所以，解得；
由可得，，，
所以，
可得，
所以．
16.解：Ⅰ由题意等比数列中，，且成等差数列．
可知，，又，得，，
故．
Ⅱ由，得，
．
17.解：函数，定义域为，
则，
令，解得，令，解得，
故在上单调递增，在上单调递减，
所以的极大值为，无极小值；
若对任意，都有成立，
即对任意恒成立，
令，则，
令，则，
所以在上单调递增，即，
所以在上恒成立，
所以在上单调递增，
故，
所以，
即的取值范围是．
18.设双曲线的半焦距为，
由题意可得，解得，
所以双曲线的方程为．
存在常数满足条件．
理由如下：由知，显然直线的斜率不为，则设直线的方程为，
联立，消去并整理可得，
所以，，
设，，则，
．
因为直线过点且与的左、右两支分别交于，两点，所以，两点在轴同侧，所以．
此时，即，所以．
设，，将代入抛物线方程，得，
则，
所以
．
所以．
故当时，为定值，
所以当时，为定值．
19.解：由已知任取一个甲生产线零件为一等品的概率为，
任取一个乙生产线零件为一等品的概率为，
的所有可能取值为，，，，，
，
，
，
，
，
所以的分布列为：
；
由已知，每个零件为三等品的频率为，
设余下的个零件中的三等品个数为，则，
所以，
设检验费用与赔偿费用之和为，
若不对余下的所有零件进行检验，则，
，
若对余下的所有零件进行检验，则检验费用元，
因为，所以应对剩下零件进行检验．
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