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安徽省合肥市第七中学2026届高三上学期第一次质量检测数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设集合，，则( )
A. B. C. D.
2.“”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
3.已知非零实数满足，则下列不等式一定成立的是( )
A. B. C. D.
4.已知函数若的值域为，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
5.已知函数在上单调递增，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
6.已知是定义在上的奇函数，，恒有，且当时，，则( )
A. B. C. D.
7.已知函数的定义域为，且，，则不等式的解集为( )
A. B. C. D.
8.设函数，若关于的方程恰好有六个不同的实数解，则实数的取值范围为( )
A. B.
C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.设，则下列不等式中一定成立的是( )
A. B. C. D.
10.某同学根据著名数学家牛顿的物体冷却模型：若物体原来的温度为单位：，环境温度为，单位，物体的温度冷却到，单位：需用时单位：分钟，推导出函数关系为，为正的常数．现有一壶开水放在室温为的房间里，根据该同学推出的函数关系研究这壶开水冷却的情况，则 参考数据：
A. 函数关系也可作为这壶外水的冷却模型
B. 当时，这壶开水冷却到大约需要分钟
C. 若，则
D. 这壶水从冷却到所需时间比从冷却到所需时间短
11.设是的导函数，是函数的导函数．若方程有实数解，且在的左右附近，异号，则称点为函数的“拐点”经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”且“拐点”就是三次函数图象的对称中心．已知函数的对称中心为，则下列说法中正确的是( )
A.
B. 的极小值为
C. 若函数在区间上存在最小值，则的取值范围为
D. 若过点可以作三条直线与的图象相切，则的取值范围为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若函数有一个零点，则实数的取值范围是 ．
13.已知直线是曲线与的公切线，则 ．
14.在同一平面直角坐标系中，，分别是函数和图象上的动点，若对任意，有恒成立，则实数的最大值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
化简求值：
；
．
16.本小题分
已知函数的定义域是，对定义域内的任意，都有，且当时，，．
证明：是偶函数；
证明：在上是增函数；
解不等式．
17.本小题分
已知函数．
当时，求曲线在处的切线方程；
若存在极大值，且极大值不大于，求实数的取值范围．
18.本小题分
已知定义在上的奇函数满足，且
求的值．
若对任意有恒成立，求实数的取值范围．
若且函数满足，其中，问是否存在实数，使函数在上的最大值为？若存在，求出的值或取值范围；若不存在，说明理由．
19.本小题分
已知函数，其中．
讨论函数在上的极值点的个数．
若函数．
设点和点是曲线上任意两点不重合，曲线在这两点处的切线能否重合若能，求出该切线方程；若不能，说明理由．
当时，若对于任意的，不等式恒成立，求实数的最小值．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.【详解】解：
解：

16.【详解】证明令，得，
令，得，
．
是偶函数．
证明设，
则
，
，．
，即．
在上是增函数．
解，．
又是偶函数，
不等式可化为．
又函数在上是增函数，．
解得，又，解得：
即不等式的解集为．

17.【详解】当时，，故，
，
曲线在处的切线方程为，即．
由题意得，，故函数的定义域为，
，，
当时，，，在上为增函数，无极值．
当时，由得，
由得，，由得，，
在上为增函数，在上为减函数，
当时，有极大值，极大值为，
，即，
令，则，
，，
在上为增函数，
，
要使，则，
实数的取值范围是．

18.【详解】因是定义在上的奇函数，故，由可得，
则由，解得．
由可得，设，则，
代入可得，故，
由，可得，又，故得，
则在上为增函数，
由在上恒成立，
可得在上恒成立，也即在上恒成立．
设，则，由，解得，
则当时，，当时，．
故函数在上单调递减，在上单调递增．
又，即时，，故．
即实数的取值范围为．
由可得，即，因，解得，则，
则由可得，
化成对数式，则有，
设，则，因，则，
此时．
因函数在上的最大值为，则在上恒成立且等号成立．
当时，取得最小值；当时，取得最大值．
设，其对称轴为直线．
当时，，则函数在时取得最小值，
即，解得，不合题意，舍去；
当时，，则函数在时取得最大值，
即，解得，符合题意；
当时，，则函数在时取得最大值，
即，符合题意．
综上，存在实数，使函数在上的最大值为．

19.【详解】的定义域为，，
当，，在单调递增，无极值点，
当时，，
时，，单调递增，时，，单调递减，
所以，此时有一个极值点，
综上，当时，无极值点，当时，有一个极值点．
不能重合，理由如下：
，，
不妨设，所以在点的切线方程为，
即，
同理可得在点的切线方程为
，又两切线重合，
所以，即
即，
令，则，
，
所以在上单调递增，则，即无解，
所以曲线在这两点处的切线不能重合．
，，令，，
即，
即在恒成立，
令，
又，解得，
当时，，
令，
，令，
，所以在单调递增，
又，所以时，，单调递减，
时，，单调递增，所以，
即，
综上，，的最小值为．

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