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上海市控江中学2026届高三上学期9月开学考试
数学试卷
一、单选题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列函数中，值域为的是
A. B. C. D.
2.若，且，则下列不等式中，恒成立的是
A. B. C. D.
3.设为数列的前项和，“是递增数列”是“是递增数列”的 ．
A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件
C. 充要条件 D. 既非充分又非必要条件
4.已知圆锥曲线的对称中心为原点若对任意给定的，均存在上的三点使得与相似，则称曲线为“完备曲线”现有如下两个命题：
任意椭圆都是“完备曲线”；
存在双曲线不是“完备曲线”
下列判断正确的是 ．
A. 都是真命题 B. 只有是真命题 C. 只有是真命题 D. 都是假命题
二、填空题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
5.设全集，集合，则 ．
6.不等式的解集为 ．
7.在中，，则
8.已知直线的倾斜角为直线的倾斜角的一半，则直线的斜率为 ．
9.已知，若，则的最小值是 ，
10.如果圆锥的底面圆半径为，母线长为，则该圆锥的侧面积为 ．
11.在的展开式中，的系数为 用数字作答
12.若是虚数单位是方程的一个根，则
13.若是定义在上的奇函数，当时，，则 ；
14.一份考卷有道考题，分别为两组，每组道．现要求考生选答道，但每组最多选道，有 种选法．
15.已知数列满足：，，记数列的前项和为，若对所有满足条件的列数，的最大值为，最小值为，则 ．
16.已知平面向量、、都是单位向量且若对区间内的任意实数，，，都有，则的最小值为 ．
三、解答题：本题共5小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
四棱锥，底面为正方形，边长为，为中点，平面．
若为等边三角形，求四棱锥的体积；
若的中点为，与平面所成角为，求与所成角的大小．
18.本小题分
在中，角、、对应边为、、，其中．
若，且，求边长的值；
若，求的面积．
19.本小题分
为迎接我校校庆，文创中心组织师生共同准备了书签及明信片这两种校庆纪念品，每种纪念品均分为手绘款和普通款两类．校庆当日，志愿者小江负责在弦歌台服务点发放纪念品．在做准备工作时，小江清点了服务点已有的各类纪念品的份数，发现缺失手绘款明信片，准备向文创中心申请补领，其余纪念品的份数如下表所示：
书签 明信片
手绘款
普通教
设每位抵达的校友可以随机抽取份纪念品，小江补领了手绘款明信片张．记事件：首位抵达的校友抽到手绘款纪念品，事件：首位抵达的校友没有抽到明信片，分别计算、，并判断事件，是否独立；
设每位抵达的校友可以随机抽取份纪念品．若小江希望事件“首位抵达的校友恰好抽到一张明信片，且恰好抽到一份手绘款纪念品”发生概率大于，且考虑到纪念品总数有限，希望补领的手绘款明信片的张数尽可能地少，则他应该申请补领多少张手绘款明信片？
20.本小题分
已知椭圆．
求椭圆的离心率；
设、、是椭圆上的不同三点，若，点为线段的中点，求证：点在椭圆上；
已知直线过点且斜率为，直线与椭圆相交于，设与的面积比为，当时，求实数的取值范围．
21.本小题分
设函数和函数的定义域均是是的非空子集若对任意，当时，总有，则称函数是函数的一个“关联函数”．
若，求函数的所有“关联函数”；
若，且函数是其自身的一个“关联函数”，求实数的取值范围；
已知是定义在上的函数．若存在定义在上的函数，使得对任意正整数，都满足是的一个“关联函数”，求证：是上的严格增函数．
参考答案
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17.解：为等边三角形，且为中点，，
，
又平面，
四棱锥的体积正方形．
平面，
为与平面所成角为，即，
为等腰直角三角形，
，分别为，的中点，
，
，
，
或其补角即为与所成角，
平面，，
又，，、平面，
平面，，
在中，，
故与所成角的大小为．

18.由，可得，结合，
得，即，
则，可得，
由于，故，则，
故，得；
由题意知，故，
由于，故，
结合，可知为锐角，则，
故，，
故，得；
所以．

19.依题意，
书签 明信片
手绘款
普通教
，
，
，
因为，
所以事件，不独立．
设手绘款明信片的张数为，首位抵达的校友恰好抽到一张明信片，且恰好抽到一份手绘款纪念品为事件，
则，解得，
考虑到纪念品总数有限，希望补领的手绘款明信片的张数尽可能地少，且为整数，
所以手绘款明信片的张数为．

20.由可得，则，
则椭圆的离心率为．

如图，设，
因是椭圆上的不同三点，则，
由可得，
即，
由可得：，
即，
将代入整理得：．
又因点为线段的中点，故，
由
，可知点在椭圆上
依题意，设直线，将其与联立，
消元整理得：，
显然，且，因，
则，又，则，
由
，
因，则得，故，即得．
又函数在上单调递减，在上单调递增，且，
又由解得或，由解得或，
由函数图象可得或，
故实数的取值范围为．


21.设是的关联函数，
对于，
当时，即，总有，
所以，
设，则，
所以，
所以的关联函数为．
因为是其自身的一个关联函数．
对于，当时，．
所以函数在上单调递增，
所以在上恒成立，
即在上恒成立，所以，
设，则，
令，则；，则，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，
所以，
所以的取值范围为．
因为存在定义在上的函数，使得对于任意正整数，都满足是的一个关联函数．
所以对任意，当时，有，
取，则，
取，则，
取，则，
因为
所以
若，则存在，使得，此时，矛盾，
所以，
所以对任意，对于任意正整数，当时，
有，
可得当时，，
则对于任意整数，在上单调递增，
当时，存在整数，使得，
则可得，
则是上的严格增函数．

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