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广东省四校2026届高三上学期联考（一）
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B.
C. D.
2.命题，的否定是( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
3.已知，则“”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件
4.已知幂函数在上单调递增，则的值为( )
A. B. C. D. 或
5.在某个时期，某湖泊中的蓝藻每天以的增长率呈指数增长若增长为原来的倍经过了天，则增长为原来的倍需要经过的天数约为 参考数据：
A. B. C. D.
6.已知，函数的值域为，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
7.函数，则函数的零点个数为( )
A. B. C. D.
8.已知，，则下列结论正确的是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知函数，关于函数的结论正确的是( )
A. 的最大值为 B.
C. 若，则 D. 的解集为
10.已知函数的定义域为，若为偶函数，为奇函数，且，则( )
A. 为周期函数
B. 的图象关于点对称
C. ，，成等差数列
D.
11.定义对于集合中的任意两个元素，，定义，，若，则称具有对称性．下列判断正确的是( )
A.
B. 若，则不具有对称性
C. 对于任意，，且，恒成立
D. 集合中不存在三个互不相等的元素，，，使得
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.函数的定义域是 ．
13.若曲线在原点处的切线也是曲线的切线，则 ．
14.函数的最小值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
销售甲、乙两种商品所得利润分别是万元，它们与投入资金万元的关系分别为，，其中都为常数，函数对应的曲线、如图所示．
求函数与的解析式；
若该商场一共投资万元经销甲、乙两种商品，求该商场所获利润的最大值．
16.本小题分
已知函数．
求的单调区间；
若，求的最小值；
若方程有四个不等实根，求实数的取值范围．
17.本小题分
已知函数．
求曲线在点处的切线方程；
若函数在上恰有两个零点，求的取值范围．
18.本小题分
设，曲线在处的切线方程为．
求，的值；
证明：；
若存在两根，，且，证明：．
19.本小题分
设函数．
若，，求证：有零点
若，，是否存在正整数，，使得不等式的解集为，若存在，求，若不存在，说明理由
若，非空集合，求的取值范围．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.【详解】由题意，将与代入得，，解得，
将代入中，可得，；
设销售甲商品投资万元，则乙投资万元，则，，
设总利润，
令，则，
当即时，取到最大值为．
答：该商场所获利润的最大值为万元．
16.解：
所以的增区间为，减区间为；
由知在上单调递减，在上单调递增，
，即，
，，，
，
当且仅当，即时取等号，
的最小值为．
有四个不等实根，即有四个不等实根，
设，得，
只需方程有两个不等正实根，
，解得，
的取值范围为．

17.解：根据函数，得导函数，
那么，，
因此函数在点处的切线方程为，即；
令函数，那么，
记函数，
那么导函数，
令导函数，那么，令导函数，那么，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，
因此，
，当时，，
当时，，
如图，作出函数的大致图象，
因为函数在上恰有两个零点，
所以函数，的图象恰有两个交点，
所以的取值范围为．
18.【详解】由题意得，所以，即，
因为，所以点在切线上，即，所以．
由知，切线的方程为，所以要证，即证．
设，则，
当时，此时单调递增：
当时，此时单调递减，
所以，当且仅当时，等号成立．所以．
因为，当时，此时单调递减；
当时，此时单调递增，则的极小值为，
且，且小于，，；且；
因为存在两根且，所以，且．
要证明：，即证因为在上单调递减，
所以只要证，结合，即证．
设，则，
当时，，则，所以在上恒成立，
所以在上单调递增，所以，
故，所以．

19.解：若，，则，
因为，，所以．
又在上的图象是连续不断的，
所以有零点．
若，，则，因为不等式的解集为，
所以
由得，，是方程的两个不等实根，即，是方程的两个不等实根，
所以，得，
所以又因为，，，
所以解得，此时符合，
所以，．
设，则，所以．
所以，．
设，
因为非空集合，
所以无实根或的解是的解．
若无实根，则，，解得．
若的解是的解，令，得或，
当时，，，，，符合题意
当时，，，符合题意．
综上，，
所以的取值范围是．
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